創(chuàng)新分形的圖像及應用呂克林(河南省科學技術信息研究院,河南鄭州450003)摘要]本文首先闡述了分形的基本概念,并具體介紹了一些典型的分形曲線和分形集,加深讀者對分形的理解。重點描述如何生成分形的計算機圖像,以及分形主要的應用領域,強調計算機科學與其他學科之間的緊密聯(lián)系。關鍵詞]分形;自相似;選代; Mandelbrot[中圖分類號]TP3914文獻標識碼]文章編號:1671-0037(2014)12-94-3隨著計算機圖形學的發(fā)展,最近幾年,分形作為一種藝術形1.2自相似性。自相似性是指部分與整體具有相似的性式已經相當流行。對分形有一個基本的了解,能提高人們的鑒質。在自然界中,具有自相似性的客觀對象是非常多的。除了賞力,幫助人們更好地體會分形藝術的美。分形作為一門剛剛山形的起伏,河流的彎曲,樹木的分枝結構外,生物體內也有許誕生的學科,正在許多領域開展應用和探索。很多傳統(tǒng)的科學多例子,如血管或氣管的分岔,神經網絡等。抽象的自相似例子難題,都由于分形的引入取得了顯著的進展。就更多了,例如數列012122312232334…,這是一個去掉奇數項1分形的定義后,仍然得到自身的數列。下文中將提到的 Cantor集是一個更1.1分形的出現(xiàn)。中國的海岸線有多長?很明顯,這取決好,更有故事的例子于測量所用的標度單位。若以公里為標尺,會遺漏大量的細節(jié),1.3維數。維數是重要的幾何特征量,通常定義為表示對標尺越小,測出的海岸線就越長。隨著計算機的迅速發(fā)展,人們象的一個點所需的獨立變量個數。人們習慣認為空間是三維在討論和處理一系列問題的時候,逐漸感到無法描述一些自然的,平面是二維的,直線是一維的,高等代數中還引入了高維空界普遍存在的對象,如海岸線,樹木,巖石,云團,閃電等等。同間概念。然而維數有許多定義方法,下面介紹兩種基于拓撲樣對于星系分布,凝聚生長,湍流等復雜現(xiàn)象,也需要一門新的和測度論的定義。學科來描述。1973年,B.B. Mandelbrot在法蘭西學院講課時,首拓撲維數:經拓撲變換能轉換為孤立點的集合D=0,變?yōu)橹贝翁岢隽朔志S和分形幾何的設想。 fractal一詞由他所創(chuàng),其原線的D=1,依次類推。意具有不規(guī)則,支離破碎等意義。分形幾何是一門以非規(guī)則幾Hausdoff維數:若用直徑不超過x的小球去覆蓋S,所需小球何形狀為研究對象的學科,也被稱為大自然的幾何學因素屏蔽掉,并采用面向對象原則設計。服務層以平臺共享信綜上所述,“感知礦區(qū)”信息系統(tǒng)把“事前預防為主、事后取息模型為基礎,提煉和抽取出一組業(yè)務層面的公共服務。服務證為輔”的智能安防新理念作為設計的出發(fā)點,它包括新一代智的設計采用面向對象、面向服務等原則,并統(tǒng)一透明部署在軟件能防入侵系統(tǒng)、智能視頻監(jiān)控系統(tǒng)、重點部位防范系統(tǒng)、身份識總線上。由于物聯(lián)網應用具有多樣性和復雜性的特點,這就要別系統(tǒng)和來訪人員信息管理系統(tǒng),以及與公安部門聯(lián)動的智能求物聯(lián)網邏輯層能夠向上支撐多樣化的、差異化的業(yè)務應用。聯(lián)網報警系統(tǒng),對礦區(qū)大門、貨物運輸通道、圍墻、主副井口、人4“感知礦區(qū)”信息化平臺員出入通道等多個重要環(huán)節(jié)、重點部位進行全方位監(jiān)控,真正做為實現(xiàn)“平安礦區(qū)”目標,有效應用感知系統(tǒng)采集到的相關到對危險因素的有效防范。當任何一個子系統(tǒng)檢測到有異常情信息,建立基于“感知礦區(qū)”的信息管理平臺至關重要。這個平況時都會自動報警,由礦區(qū)保衛(wèi)人員根據報警信息及時處理,防臺首先要能夠適應礦區(qū)的管理模式,并能滿足上級部門的安防止異常事件發(fā)生。隨著物聯(lián)網技術的深λ應用,“感知礦區(qū)”信要求,這個信息平臺應具有以下的特點:其一,完整的報警功息系統(tǒng)也將得到更廣泛的應用,不僅僅應用于礦區(qū),該方案也可能。系統(tǒng)能夠分析有物聯(lián)網系統(tǒng)產生的異常情況,給岀完整的以廣泛應用到其他類型企業(yè)、廠礦,以及黨政機關、工業(yè)集聚區(qū)報警信息,通知相關人員做出相應處理,并且能夠與移動、聯(lián)通、等有安防需求的單位,市場前景較為廣闊。電信網絡鏈接,實現(xiàn)短信報警。其二,數據分析、整理和統(tǒng)計功參考文獻能。其三,完善的數據查詢功能,根據多種要求向多種需求人員∏余立建,王茜物聯(lián)網/無線傳感網實踐與實驗[H北京:西提供相應的查詢功能。其四,數據與系統(tǒng)的安全管理。由于該南交通大學出版社,2010.系統(tǒng)與因特網連接,企業(yè)內部網絡要設有相應的防火墻、網絡隔2楊丙根,物聯(lián)網在平安校園建設中的應用[J無錫商業(yè)職離等設備,確保信息的安全傳輸。其五,友好的人機界面。一個業(yè)技術學院學報,2010友好的人機界面是各類軟件應用系統(tǒng)的基礎。通過對多種組件[3]張飛舟,楊東凱物聯(lián)網技術導論[M]北京:電子工業(yè)出版的合理組織,才能搭建起豐富多彩的物聯(lián)網應用平臺。其六,基社,2010于 SQL Server的數據庫和BS架構的訪問模式。 SQL Server數據庫可以滿足大量信息的需求,BS架構的訪問模式可以使得訪問作者簡介:鄭剛,(1982-),男,碩士研究生,工程師,研究方更加方便和實用。向:企業(yè)電氣信息化的規(guī)劃與實施工作創(chuàng)新論壇·技術創(chuàng)新l的最小數量記為N(x),則維數D1=-lin復數c,如果復平面上的一個點是自由的,就把這個點涂成白色否則就涂成黑色,此時邊界就呈現(xiàn)出了 Julia集的圖形。如果能14分形集。目前還很難給出一個分形的嚴格定義。但可依據自由點的逃跑速度給它涂上漸變的顏色,就會得到非常美以效仿生物學中,通過列出生命體的一系列特性來解釋“生命”麗的圖案。不同的復數c決定不同的Ja集。的概念。下面給出分形集合的一些性質:一是 Hausdoff:維數大Julia集的自相似性似乎不很明顯,但實際上,任何 Julia集均于其拓撲維數;二是具有近似的或統(tǒng)計的自相似性;三是從整體能由它自身的拷貝覆蓋。然而這些拷貝都是通過非線性變換得到局部均難以用傳統(tǒng)的幾何描述;具有精細結構,即任意小比例到的,這里的相似與前面是有著本質區(qū)別的下的細節(jié);四是一般可以用非常簡單的遞歸性方法定義?？梢?.5 Mandelbrot集。仍然考慮z=x2+c,取定Z=0,計算哪看到分形的理論工作還有待加強?，F(xiàn)有的研究多集中在計算機些c是“自由的”。用相同的作圖方法可以得到 Mandelbrot集的模擬與維數計算,對分形的認識還有待深入。圖形。 Mandelbrot的特殊之處在于,將它的邊界放大,會顯示出2典型的分形曲線與分形集許多微型縮影,但沒有一個是和母集完全相同的2 I Von Koch曲線。1804年,瑞典數學家 Von Koch發(fā)現(xiàn)最后介紹一個定理:復了一種曲線,它處處連續(xù),卻處處不光滑。在分形理論的建立過數c對應的Juia集有連通性程中, Von Koch線占有重要的地位。 Von Koch曲線的生成方的充要條件為,c是從法:首先從一個簡單的圖形出發(fā),反復進行同樣的操作:將當前圖 Mandelbrot集內部選出的。形中的所有直線段用段折線(生成元)代替,讓操作次數趨于無其實,通過c在 Mandelbrot窮,就得到了 Von Koch曲線。不同的原圖形和生成元決定了曲集中的哪個區(qū)域,可以推斷線的不同形態(tài)。最常見的是對正三角形,用右圖的生成元進行操Jia集的特征,預測的范圍作,所得曲線的形狀像一朵雪花,稱為Koch雪花曲線。雪花曲線遠不止連通性。把的周長沒有上界,因為每次操作圖形的周長都增加1/3Mandelbrot集比作 Julia集的22 Sierpinski三角形。分形不難從曲線推廣到平面圖圖解目錄表是很貼切的。形。1916年,波蘭數學家 Waclaw Sierpink提出了三角形。它的3分形的計算機圖像構造方法如下:從等邊三角形開始,每次把圖中所有等邊三角形3.1計算機圖形學。計算機圖形學研究如何用計算機生四等分,去掉中間的一個小三角形,不斷重復分割與舍棄的過程成處理并顯示圖形。分形理論的創(chuàng)立和發(fā)展都和計算機圖形直到無窮。 Sierpiski三角形兩種常見的推廣:對正方形用類似的學密切相關。Jlia曾研究過 Julia集并使當時的復分析達到了很生成規(guī)則,得到的圖案叫 Sierpiski地毯。三維空間中,從一個正高的水平,只是由于當時還沒有計算機,因而使他們的研究中方體開始,將所有的正方體27等分,去掉體心與面心處的7個小斷。分形的創(chuàng)始人 Mandelbrot詳細地研究過Jula的手稿,借助正方體,反復操作得到 Sierpiski海維體。 Sierpinski集具有分形的計算機為工具,才使研究開花結果。科學可視化可以將抽象的典型特征:經典幾何無法描述,局部放大后和整體完全相同。它概念和數據形象化,幫助人們更好地認識和理解問題。有些問們曾被稱為是病態(tài)的幾何圖形,因為在周長(表面積)趨向于無題只有借助計算機,依靠實驗數學的方法,才能得到豐富的直窮大的同時,面積(體積)卻趨向于0觀的啟示。23 Cantor集。G. Cantor在1883年構造了如下的一類集3.2仿射變換。仿射變換是計算機圖形學中幾何變換的重合。將區(qū)間0,1三等分,保留兩邊的閉區(qū)間,再對這兩部分重復要內容,是一種R2上的線形變換相同的操作,直至無窮。最后得到離散的點集稱為 Cantor集。Cantor集有明顯的自相似性和精細結構,還有和 Sierpinski集相似的特點: Cantor集包含的元素是不可數的,但是它的長度是0。另外, Cantor集是一個閉集(關于極限封閉),而且[O,n內的任何其中e和f對圖形進行平移,r和q是放縮比例,是繞原點旋個實數,都可以表示成3個 Cantor集中元索的和。實數全體是轉的角度。分形構圖中一般只需相似變換,即r=q的情況。仿射個不容易被傳統(tǒng)思維接受的概念。舉例來說,任兩個有理數變換通常也會寫成:x=ax+by+cy=dx+ey+f之間都存在一個有理數,這是很難直觀想象的。換句話說,用再個仿射變換由六個參數寫出,分形通常需要一組仿射變精細的顯微鏡去看數軸,它的密集程度都沒有變化,假想你是一換。例如對于 Sierpinski三角形,三個變換分別將原圖向三個頂個數軸上的有理數,你無法知道站在你兩邊的是誰。在G.點收縮到原來的一半大小。Cantor所生活的時代,如果有分形理論,這些看似荒謬的結論,應3.3迭代函數系統(tǒng)。分形圖形具有自相似性,其定義往往該比較容易被人們接受。就是遞歸的,最樸素的生成方法是不斷對當前圖形使用各種仿24 Julia集。Juli集是由法國數學家 Gaston Julia在1918射變換。由于直線段經仿射變換后還是直線段,對于三角形只年發(fā)展了復變函數迭代的基礎理論后獲得的,研究2,=2+c這要把頂點變換后相連即可。圖形越來越復雜后,記錄當前圖案變換在復平面中所生成的一系列讓人眼花繚亂的變化。每個變得困難。迭代函數系統(tǒng)( Iteration function system)更多采用復數對應平面上的一個點。給定c和a之后,通過迭代可以得到的是隨機算法:由一系列仿射變換按隨機順序,對一個初始點反連串復數。如果所得復數的模長是發(fā)散的,也就是這個點最復作映射,并記錄下它變換的軌跡,最終這些點會“填滿”整個分終可以“跳”到無窮遠的地方去,我們就稱Z是“自由的”。取定形圖形的區(qū)域。IFS通常依據變換后的面積大小,給每個仿射變創(chuàng)新?lián)Q設定概率,這樣做是為了讓點盡量“平均分布”,避免點很難不同的投資者,交易金額不同,而買賣決斷的方法卻是大致相同跳人”某個局部的。另一個例子來自城市規(guī)劃。當城市發(fā)展到一定規(guī)模時,會34 Ultra Fractal Ultra Fractal是一款強大的分形作圖軟產生新的開發(fā)區(qū)和衛(wèi)星城,這些新的區(qū)域也有相同的發(fā)展模件。它最大的特點在于可以簡單地改變參數,定義新的公式。式。以半徑變化的圓模擬城市,可以研究城市“分裂”的臨界值軟件還采用了多種加速算法,能夠快速繪制圖案和哪些因素相關4分形的應用5分形雜談4.1藝術設計。早在1999年,中國科技館就舉辦過“分形5.1認識的改變?！稊祵W分析教程》全書的最后一節(jié)給出了藝術展覽”。網絡上也可以找到大量的分形藝術作品。在計算兩個函數,一個處處連續(xù)處處不可導,我們在上文已經看過一個機如此普及,計算機輔助設計技術成熟的今天,分形在藝術設計例子。另一個函數連續(xù)且填滿一個正方形,也是利用分形思想領域的前景是十分樂觀的。相信在不久的將來,分形會以印染構造的。 Mandelbrot在《自然界的分形幾何》中提到:“我贊揚這品或裝飾品的形式,點綴人們的現(xiàn)代生活。些早年的數學家,他們?yōu)槲姨峁┝诉@樣的結構,使我能夠將它4,2凝聚生長。一些樹木的形態(tài)看起來像是分形,樹干可串在一起思考,從而發(fā)現(xiàn)其寶貴的價值。同時,我也責備他們以在不同的位置分出樹枝,每個樹枝又繼續(xù)分為枝杈。分形在因為他們雖然構造出許多精彩的反例,卻沒有發(fā)現(xiàn)他們內在的原始植物(比如苔蘚和海藻)上更加明顯,因為對于高級植物,生聯(lián)系,反而認為那是不正常的事情,從而忽視了真正的內涵?！笨莆镆?guī)律的作用過于復雜,掩蓋了數學模型。所以我們選用一個學史上的每一次爭論都推動科學本身向前發(fā)展。就像 G. Cantor簡單實驗:在圓形碟子的底部覆蓋一層很薄的硫酸銅溶液,將銅的集合論起初被認為是“怪胎”一樣,許多分形的現(xiàn)象在漫長的制的陰極立在中央進行電解,大約半小時后,析出的銅將擴展成時間里被認為是不正常的。而現(xiàn)在人們已經認識到,這些有餑幾英寸的分形圖形。有限制的擴散凝聚( Diffusion Limited于直覺和經典理論的現(xiàn)象,是合理且廣泛存在的Aggregation)模型提供了很有說服力的模擬:在白色方格紙上,從52簡單的規(guī)則。分形通過重復簡單的操作,得到極復雜中心一個代表陰極的黑色小方格開始,以它為中心做一個大的圖形。生命游戲依靠簡單的規(guī)則,賦予了模型自我復制和進圓。圓周附近一個隨機點釋放出的粒子在平面上隨機運動,直化的能力。我們再來看一個著名的例子, Langton螞蟻從一張白到它離開這個圓或與到達與黑色方格相鄰的格子為止,這個格紙的某個方格開始爬行,按照如下規(guī)則:一是如果它進入了一個子也被涂黑。模擬得到16000個~黑色方格時的效果,與實驗結白色方格,就將其涂成黑色,并左轉90度。二是如果它進人了果很相似。DLλA模型盡管描述起來很簡單,然而對于為什么產個黑色方格,就將其涂成白色,并右轉9度。在前500步中,它生分形的樹枝形態(tài),現(xiàn)在還沒有嚴格的理論解釋,但毫無疑問這不斷回到原點,留下一系列相當對稱的圖案。此后的10000步是一個非常引人注目的現(xiàn)象。中,圖形變得混沌。突然,仿佛終于拿定主意要干些什么,它不43模擬自然景物。喜歡3D卡通片的人,一定知道 Pixar斷重復著一個104步的過程,畫出公路一樣的帶狀圖案。自然界工作室。在繪制山峰和樹木等自然景物時,用直線、圓弧,樣條曲的神奇無處不在,水分子居然知道如何構造雪花,使其具有復雜線去建模生成,逼真程度就非常差,那么 Pixar又是如何用電腦制的對稱性。這些分子能夠自行“裝配”起來,既沒有建筑師的指作這些美麗風景的呢?很自然地想到利用分形,也就是我們常說導,也沒有結晶形式的模版,大尺度上的形狀完全是依靠短距離“分數維的山峰”。下面是一種簡單的生成方法:從一個三角形開的相互作用產生的。最后引用MI教授 T Toffoli的一段話,“幾十始,取三邊中點,各自在垂直方向上移動一個與邊長成正比的隨億年來,自然界都在不停地計算宇宙的下一個狀態(tài),我們要做的機量,再將它們相連,形成四個新的小三角形。用同樣的辦法繼實際上也是我們唯一能做的,就是跟著這碩大無比的計算過程前續(xù)分割,直到分辨率極限為止,就得到了充滿褶皺的山峰。進,并企圖發(fā)現(xiàn)它的哪一部分恰好接近我們所希望的地方?！盤ixar繪圖計算機如今廣泛應用于醫(yī)學成像、工程設計、虛擬6結語電影和動畫制作等領域分形現(xiàn)象普遍地存在于自然界中,是它受到廣泛關注的根44圖像壓縮。設想我們要存儲一幅 Julia集的圖像,如果本原因。分形作為一門年輕的學科,在廣大科學工作者的共同用位圖來存儲,需要記錄每個像素的顏色,占用大量空間。當然努力下,無論是理論還是應用方面都取得了巨大的進展。分形可用標準壓縮技術對其進行壓縮,但事實上只需要記下復數c,的創(chuàng)立是數學與計算機科學結合的典范,如今計算機科學正在就可以在任何時候重建這張圖片,而且不會遺漏任何細節(jié),甚至逐漸滲透到各個學科當中。作為計算機專業(yè)的科技工作者,同比原圖更清楚。上面是一個極端的例子,卻很好地說明了IFS碼樣要關注其他學科的發(fā)展,重視它們和計算機科學之間的聯(lián)系壓縮技術的關鍵,在于存儲迭代函數系統(tǒng)而不是存儲圖像。實參考文獻際操作時,首先把原始圖像分解為一些相連的顏色穩(wěn)定的小塊,[]胡瑞安,胡紀陽,徐樹公分形的計算機圖像及其應用從大量的仿射變換公式中選出能產生相似效果的,記錄對應參北京:中國鐵道出版社,1995數作為編碼。IFS編碼是一種有損壓縮,其失真率與壓縮比有2]張濟中分形M]北京:清華大學出版社,1995.關。IFS的優(yōu)點在于對自然景物和細節(jié)豐富的圖像,壓縮比很3]常庚哲,史濟懷.數學分析教程[M],北京:高等教育出版高還原效果較好。同時IS編碼在縮短處理時間,自動生成,失社,2003真度準則等方面,還有大量問題有待解決。5郭凱聲,等數學游戲「M]北京:科學技術文獻出版社,19994.5經濟學與社會學。分形理論在對價格波動,利率變化作者簡介:呂克林(1960-),男,本科,高級工程師,研究方證券指數的研究中有很好的表現(xiàn),因為群體行為存在相似性。向:計算機應用