200年《和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)》(漢文綜合版)J1200第28卷第五期總第61期從分牛問題談起徐興國(guó)1楊慶升2(1.揚(yáng)州教育學(xué)院高郵校區(qū)數(shù)學(xué)系江蘇揚(yáng)州225600:2.高郵車邏中學(xué)江蘇揚(yáng)州225600[摘要]本文從“分牛問題”出發(fā),分析討論了目中的矛盾性在|第三種分發(fā):極限法,首先,老大分得19x1頭,老二分得19盡可能公平的將牛分完的過程中,提出了多種分配方法。并對(duì)不同的分配方法產(chǎn)生的不同分配結(jié)果經(jīng)行了討論,最終確定最優(yōu)分配方案×1頭,老三分19×1頭。他們一共分得19×1+19×1+19[關(guān)鍵詞]分牛問題:矛盾;分配方法;公平性1.問題背景分牛問題是一個(gè)古老的問題,經(jīng)過歷年翻新己有很多版本,但=19頭還剩19-19x1919頭,于是還有9頭沒分完20其原理基本相同,其大意是說:繼續(xù)分第二次,仍按老大得1,老二得1,老三得1,分別分得一位老人,臨終前留下遺囑,要把19頭牛分給三個(gè)兒子,老大分得總數(shù)的1,老二分得總數(shù)的1,老三分得總數(shù)的L,按印度的/;+19頭、119、1、19.結(jié)果仍沒分完,還剩教規(guī),牛被視為神靈,不能宰殺,只能整頭分,三兄弟為此一籌20820+270520-203頭如法炮制繼續(xù)分第三展位牽牛的智者路過,詢問之下知事原委,說:“把我牽的這次,第四次…最后,老大分得的數(shù)目為:頭牛添進(jìn)去分吧。”添上智者的這頭牛,現(xiàn)在共有20頭牛。按去世老人的要求:老大分總數(shù)的1,得頭10頭;老二分總數(shù)的1,得5x一+=20頭;老三分總數(shù)的1,得頭4,分完了,恰好還剩下智者的那一頭,老二分得的數(shù)目為智者把他的那一頭牽回,問題到此被解決。你可能會(huì)感嘆:這真是巧妙絕倫的辦法,一個(gè)難題通過“借一還一”的方法輕松的解決了1;19+1x19+1x19+.=4可是你再仔細(xì)想一想,就會(huì)發(fā)現(xiàn):其實(shí)這種分的方法違背了去世老人的遺囑。因?yàn)楝F(xiàn)在老大分得總數(shù)的10=1,老二分得總數(shù)老三分得的數(shù)目為:的5≠L,老三分得總數(shù)的4≠1.還可以從另外一個(gè)角度看,以19119194x19+老大為例按遺囑的要求老大應(yīng)得19的1,應(yīng)是頭,可是現(xiàn)在他卻得了10頭,怎么會(huì)這樣呢?為什么會(huì)有這樣的矛盾呢?下面我們討論以上三種分法的具體操作過程,進(jìn)而推廣到一般分配問題。第那是因?yàn)檫z囑本身就是矛盾的,矛盾之一一方面老人家說把部分的大小排序,再依次將余下的牛分完,第二種方法呢,則先拋9頭的1分給大兒子,9頭的!分給二兒子,19頭的!分給三兒子,開了牛的總頭數(shù)這個(gè)條件,將老人要求的分?jǐn)?shù)化為比例,悄的偷這樣三個(gè)兒子分到的頭數(shù)都不是整數(shù),另一方面老人又說,牛必須|數(shù),按這些整數(shù)分即可若不全是整數(shù),則可以繼續(xù)按第種方法要“整頭分”,矛盾之二:一方面,老人說要把9頭全部分掉,而“余數(shù)法”再分,最后再來看第三種方法,因?yàn)榇朔ú捎昧藰O限這222,故牛不可能數(shù)全部分掉,正是為這兩個(gè)自相個(gè)數(shù)等具所以直微版目中的矛,將一次分后下的牛再矛盾,才使得本來十分簡(jiǎn)單的求一個(gè)數(shù)的幾分之一的問愿,變得撲限是一個(gè)整數(shù)就可結(jié)束,如果不是整數(shù)仍然可以再接照第一種方法朔迷離。老人家跟我們開了一個(gè)不大不小的玩笑。2.一般分法“余數(shù)法”來分,這里需要說明的是方法二和方法三其實(shí)是一回事都是劃歸為比例來做了,只有在非常巧合的情況下才有可能恰好分這里,你會(huì)就會(huì)明白:完全按照遺囑的要求來分是不可能實(shí)|完,但是如果再結(jié)合方法一,這種分法是一種普遍適用的方法了現(xiàn)的,也就是說:按照遺囑的要求,整分和分完是不可能實(shí)現(xiàn)的。既然這樣,那我們就只能退而求其次,尋求一種更為合理的分發(fā),3.公平性問題具體要求是:保證整分的前提下盡可能的公平。到這里問題似乎已經(jīng)解決了,不論老人留下多少頭牛我們都有辦法分了。但是還有一個(gè)問題沒有考慮:“余數(shù)法”是否一定公平第一種分發(fā)余數(shù)法,19的1是95,19的1是475,19的上是合理呢,要討論什么是公平合理,音先我們需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),那就是38.第一步先將牛按整數(shù)部分,先分給老大9頭牛、老二4頭牛、老5盡可能的符合去世老人的遺愿,為了行文的方便,這里記n為老人三3頭牛,還剩下19-(9+4+3)=3頭牛;第二步將余下的牛按小數(shù)部留下牛的頭數(shù),m為去世老人依次給各個(gè)幾子的份數(shù),p1為各個(gè)分的大小依次分完,此時(shí)老大、老二、老三的小數(shù)余數(shù)分別是5.兒子實(shí)際得到牛的頭數(shù)于是這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)可以是:使得0.75、0.8,于是將剩下的三頭牛按小數(shù)部分的大小先給老三,再給老二,最后剩下的那一頭給老大對(duì)應(yīng)本文中具體的題目也就是要求最小第二種分發(fā):比例法。因1:1:1=10:5:4,這樣,老大19最小,其值等于0.050得4頭你會(huì)發(fā)現(xiàn)最優(yōu)分法就是p1=10,P2=5,P2=4,這也恰209年《和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)》(漢文綜合版)J1200第28卷第五期總第61期不等式(組)建模應(yīng)用題解題策略鄧小玲(烏魯木齊市第八十二中學(xué)新疆烏魯木齊830000摘要]數(shù)學(xué)不等式(組)應(yīng)用愿,反映了數(shù)學(xué)與生產(chǎn)實(shí)際的聯(lián)系,際問題抽象為不等式(組)的數(shù)學(xué)問題得以解決。本文談一下常見它要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的思想和方法建立解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生不等式(組)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題策略分析和解決問恩的能力有很大幫助在解決不等式(組)的應(yīng)用題時(shí),要有一定其解題程序?yàn)?讀題(實(shí)際問題)一建模(數(shù)學(xué)問題)→求解的閱讀能力和分析問題的能力及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)思維方法解決問題的能力,把實(shí)際(數(shù)學(xué)問題的解)→反饋(檢驗(yàn)作答問題抽象為不等式(組)的數(shù)學(xué)問題從而得以解決,[關(guān)鍵詞]不等式(組)1應(yīng)用題:建模;能力;解題策略一、解不等式(組)應(yīng)用題應(yīng)具備閱讀理解能力數(shù)學(xué)不等式(組)應(yīng)用問題,反映了數(shù)學(xué)與生產(chǎn)實(shí)際的聯(lián)系般的,不等式(組)建模應(yīng)用題題目較長(zhǎng),解決這類問題它要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的思想和方法建立解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型閱讀理解能力差,則分不清文字的主次,抓不住題中的關(guān)鍵,這樣對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力有很大幫助,因此通過數(shù)學(xué)建|成為分析和解決問愿的一大圖難模解決不等式(組)應(yīng)用性問題是近幾年中考的熱點(diǎn)問題。但是這例1:某公司要將100噸貨物運(yùn)往某地銷售,經(jīng)與一運(yùn)輸公司協(xié)類問題也是多數(shù)同學(xué)感到困難的問題。在解決不等式(組)的應(yīng)用商,計(jì)劃租用甲、乙兩種型號(hào)的汽車共6輛,用這6輛汽車一次將貨題時(shí)要認(rèn)真讀題,分析處理好各種關(guān)系,把問題的主線由實(shí)|物全部運(yùn)走,其中每輛甲型汽車最爹能裝該種貨物噸,每輛乙型轟改變處不該可盒夫數(shù)這意即和叫米給驗(yàn)可以r的19改為21,其他條件不變,自己來嘗試一下看看結(jié)果會(huì)是怎樣。由文獻(xiàn)[]可知,實(shí)際上在正整數(shù)的范圍內(nèi),能用“借一還一”法的情11非常少,僅有7種,分別是:老大佬老二老三件的頭數(shù)2111/2|1/31/741由1<3,可得后一種分配方案比前一種更合理。這就告訴我1/21/31/823們運(yùn)用上面的方法得到的分配結(jié)果不一定相同的,是否是最優(yōu)方案1/21/31還要通過比較才能判斷出。同時(shí)還有一點(diǎn)需要說明的是,最優(yōu)方案有時(shí)不止一種。例如當(dāng)老人留下的牛的頭數(shù)是25時(shí),老大得13頭、1/21/31/1211老二得7頭、老三得5頭和老大得14頭、老二得6頭、老三得5頭都是1/21/41/5最優(yōu)解。1/2|1/41/6114.再論公平性對(duì)于分配問題中的公平性,美國(guó)數(shù)學(xué)家 M L Balinsky和由此你不得不感低古人的巧炒思,仿佛早在幾千年前他們事先根據(jù)具體的現(xiàn)實(shí)問題給出一系列合理的約束,稱之為“公理”就知道了其中的幾組數(shù)據(jù),對(duì)于如何處理以上組以外的數(shù)據(jù),大家然后運(yùn)用數(shù)學(xué)分折的方法證明是否存在某一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或者什么適可以直接運(yùn)用本文中的“余激法或者先運(yùn)用比法、“極當(dāng)?shù)暮瘮?shù)或關(guān)系能滿足所給定的公理,或者運(yùn)用邏輯的方法去考察這些公理之間是否相容。如果不相容,則說明符合這些公理的對(duì)象現(xiàn)在普遍的分配方法有了,最優(yōu)的分配指標(biāo)又有了:就是要并不存在。經(jīng)過 M. LBalinsky和 H Young的不懈努力,對(duì)經(jīng)典席位分配問題發(fā)表了一個(gè)令世人眠目的結(jié)果:關(guān)于席位分配問題的公平整分不可下面就是要討論分配方法在實(shí)施過程中會(huì)出現(xiàn)的問題,請(qǐng)看具能性定理,即完全公平的席位分配方法是不存在的。其本質(zhì)原因在體的例子:若老人留下的是16頭牛,其他條件不變于“局部公平性”與“整體公平性”之間的矛盾,即當(dāng)要使的某個(gè)若直接運(yùn)用“余數(shù)法”得:“局部公平”最優(yōu)時(shí),往往要犧牲“整體公平”:而當(dāng)要使的“整老大佬老體公平”最優(yōu)時(shí),往往要犧牲“局部公平”。對(duì)于本文中的具體問牛的頭數(shù)161/2題,我們要求盡可能的按照老人的選嘛來分,要使的“整體公平”最優(yōu),即最小,這樣就能使得最優(yōu)解有了確定性實(shí)際得到8參考文獻(xiàn)若綜合運(yùn)用“余數(shù)法”和“極限法”可得:〕韓學(xué)濤.從驚訝到思考[M]湖南科技出社,199老大老2]姜啟源數(shù)學(xué)模型(第二版)[M.高等教育出版社,19933]劉來福,曾文藝數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模[],北京師范大學(xué)出版社,2002件的頭數(shù)161/2|1/4l/5searching on Distribution of Cattle次極限法一次余數(shù)法.41.2Abstract: This article introduces the contradiction in the problem of"dicattle", then introduces three methods to distribute cattle fairly as could as實(shí)際得到These three methods are studied, and ultimately the optimal distribution schdetermined這里的“極限法”并不是取極限,而是上文提到的第三種分 words: the problem of"distributing cattle"; contradiction: distributi法的思想)scheme: fair通過比較上面的具體例子我們不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)用不同的方法,得出作者簡(jiǎn)介:給興國(guó)(s)男,揚(yáng)州教學(xué)院高郵校區(qū)助教,華東范大學(xué)在讀碩士。收稿日期:2009-04-16