第34卷第1期力學(xué)進(jìn)展003年2月25日ADVANCES IN MECHANICSFeb.25,2004不變變分問(wèn)題Emmy noether(此文獻(xiàn)給F. Klein,為博士研究50周年紀(jì)念日作)(1918年6月206日F. Klein推薦)編者按語(yǔ):眾多學(xué)者在研究對(duì)稱性與守恒量問(wèn)題時(shí),都在引用德國(guó)數(shù)學(xué)家 Emmy noether(1882~1935)1918年的莫基性論文 Invariante Variationsprobleme(不變變分問(wèn)題).論文是用德文寫(xiě)的.我們從Joak1959年主編的《力學(xué)的變分原理》(俄文)中找到論文的俄譯本.本刊刊岀俄譯本的譯文,供廣大硏究者參考,原文沒(méi)有擿要和關(guān)鍵詞.下面的摘要和關(guān)鍵詞是譯者加上去的摘要研究Lie意義下的允許連續(xù)群的變分問(wèn)題.基于形式變分學(xué)方法與Le群理論方法的聯(lián)系,得到以下兩個(gè)定現(xiàn)定上如果積分1=/-/(u…)相某有續(xù)群2是不變的則Lm購(gòu)表示v的p個(gè)線性獨(dú)立組合將變?yōu)樯⒍?反之,由后一條件得到積分I相對(duì)某群Dp的不變性。對(duì)無(wú)限多個(gè)參數(shù)的極限情形,定理也對(duì).定理2:如果積分I相對(duì)無(wú)限連續(xù)群D∞p是不變的,在此群中會(huì)出現(xiàn)直至σ階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),那么 Lagrange表示ψ及其至a階導(dǎo)數(shù)之間有p個(gè)恒等關(guān)系成立;這里反述也對(duì).定理1在v=0時(shí)給出P個(gè)第一積分.定理2表明, Lagrange方程總數(shù)中的p個(gè)方程是其余方程的結(jié)果關(guān)鍵詞不變性,變分問(wèn)題,Lie群, Lagrange表示,散度,積分1預(yù)備知識(shí)與定理的表述值的.眾所周知,變換群”理解為這樣的變換組,在變這里所談到的是允許連續(xù)群(Le意義下)的變換時(shí)每一個(gè)變換都對(duì)應(yīng)有同組內(nèi)的逆變換,而由組內(nèi)分問(wèn)題;由此導(dǎo)出的關(guān)于相應(yīng)微分方程的結(jié)果在第任意兩個(gè)變換組成的變換也在給定組內(nèi)個(gè)群稱為1節(jié)表達(dá)的定理中找到它最一般的表達(dá)式并在后幾有限連續(xù)群,如果其變換包括在解析地依賴于ρ個(gè)節(jié)中給出證明.對(duì)于這些由變分問(wèn)題產(chǎn)生的微分方實(shí)參數(shù)p(即這些p參數(shù)不可能作為參數(shù)最小數(shù)目的程,可以認(rèn)為要比作為L(zhǎng)e研究工具的相對(duì)微分方程P個(gè)函數(shù))的最一般的變換中的任意可允群更為精確的表達(dá).這樣,下面的描述是依此,無(wú)限連續(xù)群D∞。理解為這樣的群,即對(duì)基于形式變分學(xué)方法與Le群理論方法的聯(lián)系對(duì)特它的最一般的變換依賴于p個(gè)實(shí)任意函數(shù)p(x)及其殊群和特殊變分問(wèn)題,這種方法聯(lián)系不是新的;我已導(dǎo)數(shù),或解析地,或至少這種依賴性用允許有限個(gè)連提到 Hamel和 Herglotz致力的特殊有限群, Lorentz續(xù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表達(dá).依賴于無(wú)限多個(gè)參數(shù),但和他的學(xué)生們(如 Fokker), Weiler和 Klein致力的特不依賴于任意函數(shù)的群處于中間情況.最后,依賴于殊無(wú)限群. Klein的第2篇論文和本文特別的彼此任意函數(shù),也依賴于參數(shù)的群稱為混合群,相互影響;為此,我愿意在 Klein的論文中給出末尾設(shè)x1,…,xn為獨(dú)立變量,u1(x),…,t(x)為的注釋它們的函數(shù).如果x和u發(fā)生某個(gè)群變換,那么以下出現(xiàn)的所有函數(shù)都假設(shè)在所論域上是解析由變換假設(shè)的可逆性,被變換了的量將精確地包含的,或者至少是連續(xù)有界的,通常是連續(xù)可微的、單n個(gè)獨(dú)立量v,…,m;其余的量依賴于前者,記作U1(y),……,vn(y).在變換中可遇到u對(duì)x的導(dǎo)數(shù),即au a2u某函數(shù)稱為群不變的,如果成立關(guān)系P(T, u 8221對(duì)單重積分,對(duì)u的κ次導(dǎo)數(shù),方程(3)取形式∑6u1+其中可注意的是,積分I是群不變的,如果成立關(guān)系af1=//(=amdu au∑6+y,這里積分遍及x的任意實(shí)域和y的相應(yīng)域上du另一方面,對(duì)某個(gè)任意的不必是不變的積分I我得到一次變分6I,并利用分部積分法按變分法變換它如果認(rèn)為,在邊界上6u連同所有遇到的導(dǎo)數(shù)+(-1都為零,那么得到6I=/…/y=相應(yīng)的等式在n重積分下成立;其中,A包含6u至(κ-1)階導(dǎo)數(shù).用方程(4),(5),(6)事實(shí)上可確//(∑(=a)m定 Lagrange表示v的情況由以下得知:用右端組(2)合可消去u的所有高階導(dǎo)數(shù),此時(shí)另一方面,分部積分單值地導(dǎo)出的關(guān)系(2)得以滿足這里ψ標(biāo)記 Lagrange表示,即對(duì)相應(yīng)變分問(wèn)題將表述如下兩個(gè)定理:6I=01.如果積分Ⅰ相對(duì)某群D。是不變的,那么La的 Lagrange方程的左端.這個(gè)積分關(guān)系對(duì)應(yīng)bu與 grange表示的p個(gè)線性獨(dú)立組合將變?yōu)樯⒍?反之,其導(dǎo)數(shù)間不含積分的等式這個(gè)等式用寫(xiě)出邊界上相由后一條件得到r相對(duì)某群D的不變性對(duì)無(wú)限多應(yīng)值的項(xiàng)來(lái)得到正如分部積分證明的,這些項(xiàng)就是個(gè)參數(shù)的極限情形,定理也對(duì)散度的積分,即表達(dá)式2.如果積分Ⅰ相對(duì)群D∞。是不變的,在此群中aAl會(huì)遇到直至σ階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),那么在 Lagrange表示及其至σ階導(dǎo)數(shù)之間有P個(gè)恒等關(guān)系成立;這里也的積分,并且在表達(dá)式A中6u及其導(dǎo)數(shù)線性地出能反演現(xiàn).因此,得到對(duì)混合群這兩個(gè)定理也成立;因此,無(wú)論依賴性∑wi dui=df+ div a(3)還是不依賴于它們的散度關(guān)系( Divergenzrelationen都存在其中可注意的是,如果∫僅包含u的一階導(dǎo)數(shù),那么如果由這些等式引向相應(yīng)的變分問(wèn)題,即如果取在單重積分情形,等式(3)與Heun稱之為' Lagrangeψ=0,那么對(duì)散度成為全微分的一維空間情形,定理中心方程1表明存在p個(gè)第1積分,在所有情形第一積分之間∑d∑d可存在非線性依賴性;在多維情形得到散度關(guān)系,現(xiàn)在它們常確定為‘守恒定理;定理2是說(shuō), Lagrange方程總數(shù)中的p個(gè)方程是其余方程的結(jié)果的方程相重合,此時(shí)對(duì)n重積分,方程(3)變?yōu)橄率蕉ɡ?的最簡(jiǎn)單例子,不用說(shuō),乃是 Weierstrass∑w0-m.(>m)參數(shù)表示;這里在一階齊次下積分顯然是不變的,如果用x的任意函數(shù)取代獨(dú)立變量x,而保持函數(shù)u不變[y=p(x),vi(y)=ut(ax)].因此,出現(xiàn)一個(gè)任意函應(yīng)為2,原文似有印誤一譯者注數(shù),但沒(méi)有導(dǎo)數(shù);這對(duì)應(yīng) Lagrange表示本身間的已也是不變的;對(duì)此情形關(guān)系(1)變?yōu)橹€性依賴性0=△I=0//(o)另一例子是物理學(xué)家的廣義相對(duì)論;這里涉及x的/…/(xa)所有變換群其中第1個(gè)積分遍及對(duì)應(yīng)域x的域x+△x上.不yi=pi(e)過(guò),這個(gè)積分可借助下述對(duì)無(wú)限小△x所具有的變換此時(shí)u(用gμ和q表示)受到變換,這些變換歸為/-/woy-)+=二次和線性型系數(shù)的首項(xiàng)并包含任意函數(shù)p(x)的一階導(dǎo)數(shù).這對(duì)應(yīng) Lagrange表示及其一階導(dǎo)數(shù)間的已知n個(gè)相關(guān)性其中可注意的是,如果特指在變換中不許有u(x)…/div(f.△a)dr導(dǎo)數(shù)的群,此外需變換的獨(dú)立量?jī)H依賴于x而不依賴于,那么(將在第5節(jié)中證明)由積分Ⅰ的不變性而變換為域x上的積分.因此,如果代替無(wú)限小變得到∑v6v的相對(duì)不變性,以及定理1中提到的散換△u寫(xiě)出變分度的相對(duì)不變性,既然參數(shù)發(fā)生相應(yīng)的變換.由此還du:=vi(=)-ui(a得知前面所指的第一積分允許有群.對(duì)定理2恰好得到借助任意函數(shù)組成的依賴性的左端的相對(duì)不變性;由此還得到一個(gè)函數(shù),它的散度恒為零并允許有群,這個(gè)群在物理學(xué)家的相對(duì)論中實(shí)現(xiàn)這些依賴性與那么方程()和(8)引向下述形式能量定律之間的聯(lián)系.最后,定理2用群論方法給出與此相關(guān)的 Hilbert關(guān)于廣義相對(duì)性’中涉及能量的0=/-/+k)h(00某些定理不成立的論斷的證明.由這些補(bǔ)充說(shuō)明,定右端是依賴變量和獨(dú)立變量等時(shí)變分的已知公式理1包含力學(xué)中所有關(guān)于第一積分的定理,同時(shí)定因?yàn)殛P(guān)系(10)在任意域上積分都滿足,那么被積表理2從疒廣義相對(duì)論’的群論觀點(diǎn)來(lái)看,可認(rèn)為是最達(dá)式應(yīng)恒為零;這樣,Lie微分方程在I不變情形取具普遍性的形式6f+div(f·△x)=02散度關(guān)系和依賴性如果這里按式(3)將6∫用 Lagrange表示代入,那么得到設(shè)D是某個(gè)有限或無(wú)限連續(xù)群;此時(shí)需要達(dá)到的是恒等變換對(duì)應(yīng)參數(shù)∈或相應(yīng)任意函數(shù)p(x)的零(B=A-∫·△x)(12)值.因此,最一般的變換將有形式而這個(gè)關(guān)系對(duì)每個(gè)不變積分I相對(duì)所有出現(xiàn)于其中的自變量都是恒等的;這就是對(duì)I的Le微分方程A ila=x;+△x;+的待求形式開(kāi)始認(rèn)為D是有限連續(xù)群;因?yàn)閾?jù)假設(shè),△uau(v)=B和△x相對(duì)參數(shù)1,…,Ep是線性的,那么據(jù)式(9),對(duì)變分6u及其導(dǎo)數(shù)也對(duì);這樣,A和B對(duì)E是線這里△x1,△u1表記對(duì)6,相當(dāng)p(x)及其導(dǎo)數(shù)的最低性的,因此,如果取次項(xiàng);由此得知,這里它們線性地出現(xiàn).下面可查明B=B1)1+…+Bl這不是共有的限制現(xiàn)設(shè)積分I相對(duì)D是不變的,因此將滿足關(guān)系6u=b()1+…+buo)c1)其中可注意的是,此時(shí)I相對(duì)包括在D中的無(wú)這里bn(4),…是x、υB'的函數(shù),那么由方程限小變換(12)得到散度的待求關(guān)系y=x;+△;∑vu=dvB0)U(y)=t+△u∑vnP=dvB這樣, Lagrange表示的P個(gè)線性獨(dú)立組合過(guò)渡到(-ya(ew)}=0,(=12,…,)散度;線性獨(dú)立性可這樣得到:按等式(9)由條件(16)6u=0,△x=0可得△a=0,△x=0,而因此在無(wú)限小變換之間存在相關(guān)性.但按條件相關(guān)性對(duì)無(wú)論怎這就是在積分r相對(duì)D不變下 Lagrange表示及樣的參數(shù)值都不成立,因?yàn)橛脽o(wú)限小變換的積分重新其導(dǎo)數(shù)間的待求關(guān)系;線性獨(dú)立性如上已找到,因?yàn)榈玫降娜篋。依賴于比p要小的實(shí)參數(shù).另一可能性演將返回等式(12),可得到由無(wú)限小變換返回到有6u=0,div(f·△x)=0應(yīng)除去,這些結(jié)果在無(wú)限多隈的結(jié)論,這將在第4節(jié)詳細(xì)展開(kāi).因此,對(duì)D∞p在個(gè)參數(shù)的極限情形仍保持無(wú)限小變換中經(jīng)常出現(xiàn)p個(gè)任意變換.由方程(15)現(xiàn)設(shè)D為無(wú)限連續(xù)群D∞i;此時(shí)bu及其導(dǎo)和(16)還得到數(shù),因此B,相對(duì)任意函數(shù)p(x)及其導(dǎo)數(shù)還將是線性的;假設(shè)代入bu的值,獨(dú)立于(12),得到∑=∑(叫(…加(a)+如果涉及'混合群,假設(shè)△x和△u相對(duì)c和p(x)是線性的,那么可以看出,一次可讓所有p(x)為零,另次讓所有ε為零,在此情形仍成立散度關(guān)系(13)(x,,…,)+…+以及相關(guān)性(16)3有限群情形下的反演為證明反演,首先基本上將前面引出的結(jié)論反過(guò)現(xiàn)在根據(jù)等式來(lái)看.由關(guān)系(13)存在,在乘以E并相加之后可得a p(a)知等式(12)的正確性,按等式(3)得到關(guān)系8f +div(A-B)=0類似于分部積分公式,P的導(dǎo)數(shù)用p本身和散度替代,它們對(duì)P及其導(dǎo)數(shù)仍然是線性的;因此得到這意味著,如果取(-1 D2 (c waylay那么可導(dǎo)致等式(11);最后,由此用積分得到等式(7)+div T(14)△Ⅰ=0與(12)聯(lián)立,有即積分Ⅰ相對(duì)由△x,△u確定的無(wú)限小變換的不變性,且Δa按等式(9)由△x和bu確定,而△u相∑{a)8a))+…對(duì)參數(shù)仍是線性的.但眾所周知,等式△I=0(-1)°(15)導(dǎo)致相對(duì)有限變換的不變性,這些變換用聯(lián)立方現(xiàn)在某域上組成(15)的n重積分;選函數(shù)p()使程組它們連同出現(xiàn)于(B-r)中的所有導(dǎo)數(shù)在邊界上為dt= 4u零.因?yàn)樯⒍鹊姆e分歸為沿域邊界的積分,那么,對(duì)僅限制本身連同充分多的導(dǎo)數(shù)在邊界上為零的任意當(dāng)t=0(17)函數(shù)p(x),方程(15)左端的積分也為零;由此按已知方法得知,積分號(hào)下表達(dá)式對(duì)每個(gè)p(x)為零,即成立p個(gè)如下關(guān)系的積分來(lái)得到∵這些有限變換包含p個(gè)參數(shù)a1,……,ap,即組合∑{.")+…+e1,…,tep由應(yīng)有p個(gè)且僅有p個(gè)獨(dú)立散度關(guān)系的假設(shè),進(jìn)而得知,有限變換,既然它們不含導(dǎo)數(shù)原文為一,疑為印誤—譯者注總組成群.反之,至少一個(gè)由Le括號(hào)方法( Lie' schen它們通常稱為守恒律.在一維情形下,由此得到Klammerprozess組成的無(wú)限小變換不是P個(gè)其余的線性組合,而因?yàn)棰裨试S這個(gè)變換,那么存在大于onst,…B(p)= constp的關(guān)于散度線性獨(dú)立關(guān)系,或者這無(wú)限小變換有特殊形式使得bn=0,div(f·△a)=0,但此時(shí)△x和這里B包含u的不高于2k-1階導(dǎo)數(shù)(據(jù)(6),因△y與假設(shè)相矛盾而依賴于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是能否是這種為4u和△不包含比出現(xiàn)于f中階更高階的導(dǎo)情形,即在△x或△中出現(xiàn)導(dǎo)數(shù),仍是懸案;此數(shù)因在中一般說(shuō)會(huì)遇到2階導(dǎo)數(shù),那么因此有時(shí)前述△x與使div(f·△x)=0的△x發(fā)生了聯(lián)系P個(gè)第一積分.在它們中間可存在非線性依賴性,由使得重新得到群,但按條件,這樣附加的參數(shù)不應(yīng)考前例可再證明、線性獨(dú)立的△u=4,4x=B2對(duì)慮.這就證明了反演.應(yīng)線性獨(dú)立關(guān)系由此反演還得到,事實(shí)上我們有理由選△x和1 d△u相對(duì)參數(shù)是線性的.實(shí)際上,如果Δx和△u是d對(duì)ε的高階形式,那么由于ε階積的線性獨(dú)立性相應(yīng)的關(guān)系(13)在大多數(shù)下可得到,而由此在反此時(shí)在第一積分之后得到積分Ⅰ相對(duì)其無(wú)限小變換包含參數(shù)的群是u'=const, u=const不變的.如果這個(gè)群應(yīng)十分準(zhǔn)確地包含P個(gè)參數(shù),那么因?yàn)橛袑?duì)c的高階項(xiàng)而原先得到的散度關(guān)系之之間存在非線性依賴性.因此涉及基本情形,當(dāng)間的線性相關(guān)性必然存在△u,△x不含u的導(dǎo)數(shù)還需注意,當(dāng)△z和△u包含u的導(dǎo)數(shù)時(shí),有限變換可依賴于u的無(wú)限多個(gè)導(dǎo)數(shù),實(shí)際上,當(dāng)m”4無(wú)限群情形下的反演02x;82va2確定時(shí),在此情形系統(tǒng)(17)的積分引向方程首先證明,△x和△u的線性假設(shè)不是任何限制,這不用反演便可由這樣的事實(shí)得知:Dp形式00△uaua△x地依賴ρ個(gè)且僅p個(gè)任意函數(shù).即,可證明,在非線性情形當(dāng)施加變換時(shí),對(duì)低次項(xiàng)求和,任意函數(shù)的因此α的導(dǎo)數(shù)數(shù)目,一般說(shuō)來(lái)隨各階而增大.這樣,數(shù)目就會(huì)增大實(shí)際上,設(shè)例如y=’v·z=(u-tx),bu=xex+∑,…+6x…)y=2m+v,△v=(x2因散度的 Lagrange表示恒為零,那么反演證明如p=(p1)"+…+(po)°下:如果I允許群D,那么每個(gè)僅在積分時(shí)沿邊界不相應(yīng)地同于I的積分,即散度的積分,也允許有帶同樣u的群D,其無(wú)限小變換一般說(shuō)將包含u的導(dǎo)數(shù).這樣,例如依照前例此時(shí)加上{"()}du允許有無(wú)限小變換對(duì)低次項(xiàng)得到△u=xs,△x=0z=x+∑ap2+q")+此時(shí)在對(duì)應(yīng)于f∫的無(wú)限小變換中出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)aql如果轉(zhuǎn)向變分問(wèn)題,即如取v;=0,那么關(guān)系(13)導(dǎo)致方程apdiv b(l)=0., div b(p)=0{p"(a如果這里異于a和b的任何系數(shù)不等于零,因此對(duì)任何a>1實(shí)際上會(huì)遇到項(xiàng)∑{…ypa= +a2+…+c"ax那么它不可以作為一個(gè)單值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者作為這樣的階項(xiàng)來(lái)研究;因此,任意函數(shù)的數(shù)目與假設(shè)相比因?yàn)橛蔁o(wú)限小變換△x=px得到帶任意g(y)的每個(gè)較增大了.如果異于a和b的所有系數(shù)為零,那么依變換x=y+g(y),那么尤其是需建立P(x)對(duì)t的依賴于指數(shù)n,,v可有兩種情形:或者第2項(xiàng)是第賴性使之得到單項(xiàng)群1項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)(例如,對(duì)D∞1總成立),因此實(shí)際上得Ti=yi +tgi(y)到線性性,或者任意函數(shù)的數(shù)目增大,這樣,由于函數(shù)p(x)的線性性,無(wú)限小變換滿足線性偏微分方程此群在t=0時(shí)成為恒等式,而對(duì)t=1時(shí)引向待求組,而因?yàn)槿旱拇嬖跅l件滿足,那么按Le的定義,變換x=y+g(y)它們組成無(wú)限小變換的無(wú)限群這里類似于有限群情形來(lái)得到反演.依賴性(16)實(shí)際上,由方程(18)求導(dǎo)數(shù),得的存在,在乘以p)(x)并借助恒等變換(14,引向方程dt=(y)=p°(x,t)∑lisui= div r這里p(x,t)用表達(dá)式(18)反演的方法由g(y)確定,如同在第3節(jié)中,由此得到△a和△u的定義和積分反之,在補(bǔ)充條件當(dāng)t=0時(shí)x;=v下,由式(19)Ⅰ相對(duì)這些無(wú)限小變換的不變性,而這些無(wú)限小變換可得到方程(18);這條件單值地確定積分.借助方程實(shí)際上線性地依賴于p個(gè)任意函數(shù)和它們直到σ階(18),△u中出現(xiàn)的x可用積分常數(shù)y和t表示出的導(dǎo)數(shù)這些無(wú)限小變換如果它們不含導(dǎo)數(shù)a2,…來(lái),此時(shí)90)恰好進(jìn)入直至階導(dǎo)數(shù)的記號(hào)下因定組成群,正如第3節(jié)中由這樣事實(shí)得知:否則在此在表達(dá)式相加時(shí)會(huì)引出更多的任意函數(shù),此時(shí)按假設(shè)應(yīng)僅有p個(gè)依賴性(16)};因此,這些變換組成‘無(wú)限小變換的無(wú)限群.但這樣的群由Le意義下有限變換的無(wú)限中,b2用表示,一般說(shuō)群D所定義的最一般的無(wú)限小變換組成.每個(gè)有限p表為ay變換由無(wú)限小變換用積分聯(lián)立方程組的函數(shù).于是,得到為確定u的方4c.du=△u程組F{9(y)當(dāng)t=0Ui= Ui(當(dāng)t=0,u4=v),來(lái)得到,并且還需將任意函數(shù)p(x)當(dāng)作依賴于t來(lái)研究.就是說(shuō),D實(shí)際上依賴于ρ個(gè)任意函數(shù);其其中僅t和u是變量,而g(y)作為系數(shù);因此,積中,只要設(shè)p(x)不依賴于t,就足以使得這種依賴性分給出相對(duì)任意函數(shù)q(x)=t·p(x)是解析的.如果出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)那么在作出結(jié)論之前,補(bǔ)充無(wú)限小變換二+B(0…)6u=0,div(f.△x)=0應(yīng)是必要的與Lie引出的例子相關(guān),還要指出足夠一般情即僅依賴于任意函數(shù)的a階導(dǎo)數(shù)的變換根據(jù)式(18)形,其中勉強(qiáng)得到顯式,而在顯式中出現(xiàn)任意函數(shù)不這些變換包括當(dāng)g(y)=0時(shí)的恒等式,那么這些變高于σ階的導(dǎo)數(shù);在此情形仍然可完全得到反演換組成群,因?yàn)樗阜椒ńo出每個(gè)變換x=y+這就是,這些無(wú)限小變換群,它們對(duì)應(yīng)x的所有變由此得到的對(duì)u的變換也被單值地確定;因此,換以及由此發(fā)生的u的變換的群,即u的這些變D被完全確定換,在變換時(shí)△u,因此u僅依賴于△x中出現(xiàn)的任由反演還得知,如果我們得到僅依賴于x而不意函數(shù);因此還假設(shè)在△u中導(dǎo)數(shù)z,不出現(xiàn).依賴于t,的任意函數(shù),那么這不意味任何限于是有制.后一情形在恒等變換式(14)中,而因此在式(15)△x;=p{(x中,除p(外還出現(xiàn)du a(au/ar因此,如果繼續(xù)認(rèn)為p)相對(duì)帶x的任意函數(shù)的vm,…的如果在第3個(gè)積分中將6用xu如表示,并零階,一階,…作為系數(shù),那么在多數(shù)情形重又出讓它等于第1個(gè)積分,那么對(duì)在邊界為零而在其他方現(xiàn)關(guān)系式(16);但是,這些關(guān)系根據(jù)所論反演用聯(lián)合面任意的6u就有關(guān)系僅依賴于x的任意函數(shù)的辦法將導(dǎo)致前述情形.這樣可精確地證明,依賴性和不依賴于它們的散度關(guān)系/…/()的同時(shí)出現(xiàn)對(duì)應(yīng)混合群.眾所周知,由此得對(duì)任意bu的被積函數(shù)為零;因此,5關(guān)系式各自組成部分的不變性我們有對(duì)6u的恒等關(guān)系v(u,…)6uv(U,…)6如果專指群D,通常限于最簡(jiǎn)單情形:變換中不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)且變換的獨(dú)立變量?jī)H依賴z而不依賴它建立了表達(dá)式∑的相對(duì)不變性,而因此建首先用已知推理方法得到積分∑vbu)dz/…/(∑w)的不變性的相對(duì)不變性,而因此得到表達(dá)式為將其應(yīng)用于導(dǎo)出散度關(guān)系和依賴性,需再證明,由△u,△x引出的u實(shí)際上要滿足對(duì)6u的變換規(guī)律,既然bU中的參數(shù)或相應(yīng)的任意函數(shù)可如此確定以使它們對(duì)應(yīng)相對(duì)yv的無(wú)限小變換的相似群.的相對(duì)不變性,6理解為某個(gè)變分事實(shí)上,一方面如果用表記由x,u到v的變換,用表記,自身組成的變換,那么與其相似的變換由公式a, uI=lgPl/…/6(w-)6代(y,y給出,因此這里工的參數(shù)或相應(yīng)的任意函數(shù)借助p和q來(lái)確定.用公式表示為另一方面,在邊界上值6,6,…等于零,而由于:5=x+a(x,p)量6u26。變換的線性齊次性,它們對(duì)應(yīng)邊界上為零=u+△u(x,u,p)的量I q: y= A(=, q)C. 2Lc. i工xp:n=A(x+△x(x,p)q)…/∑()B(x+△x(p)但由此得工=工1因此Uy+△y(r)+△v(r)因此,對(duì)在邊界上為零的值我們有并且由于反演,工可作為y的函數(shù)來(lái)研究,并僅考慮無(wú)限小項(xiàng),因而成立等式∑v(u,…)6ud△)=y+∑aA(, q△x(p)∑響(,…)6n)dU=+△()=+∑8B(.9△ax(p)+8B(.g△u(p)這里如果ξ=x+Δx用ξ-Δξ替代,因ξ重又過(guò)不依賴于x或不依賴于α,對(duì)應(yīng)無(wú)限小變換Δx=ε,渡到x,因此△x為零,那么按公式(20)的第一個(gè),△u=0或相應(yīng)地△x=0,△a=ε.此時(shí)bu變?yōu)榈萵也過(guò)渡到y(tǒng)=n-△;如果用這種代入,△)變于出或相應(yīng)地6,因?yàn)锽由∫和bu用微分和有為♂u(p),那么△v(T)也變?yōu)閎v(,式(20)的第二個(gè)理運(yùn)算得到,那么因此它也不依賴z或相應(yīng)地u,并給出允許相應(yīng)的群u+2(…,+=+.6 Hilbert的結(jié)論6u(n…,)=∑aBSux(a, u, p)最后,由前述還得到 Hilbert關(guān)于能量本征定律因此對(duì)變分的變換公式實(shí)際上得以滿足,既然僅b與廣義相對(duì)論無(wú)關(guān)聯(lián)的結(jié)論的證明(Kem的第1假設(shè)依賴于參數(shù)或相應(yīng)地依賴于任意函數(shù)r其中可注意的是,由此得到,表達(dá)式∑wu4的是在一般提法下用群論觀點(diǎn)相對(duì)不變性以及(考慮到式(12),那么散度關(guān)系對(duì)設(shè)積分Ⅰ允許群D。∞p并設(shè)D為由前述群用使y,U也滿足)量dvB的相對(duì)不變性;進(jìn)而,據(jù)式(14)任意函數(shù)有特殊形式構(gòu)造出的某有限群;因此,D和式(13,得到dr以及與p相關(guān)聯(lián)的依賴性左是D∞p的子群.此時(shí)無(wú)限群Dp對(duì)應(yīng)依賴性(16),端的相對(duì)不變性,這里通常在變換公式中需用r代替而有限群D對(duì)應(yīng)散度關(guān)系(13;反之,由某個(gè)散度滿足函數(shù)p(x)(及相應(yīng)參數(shù)).由此還得到dv(B-r關(guān)系的存在引起I相對(duì)某有限群的不變性,這有限的相對(duì)不變性,即不恒為零的函數(shù)組B-r,其散度群在且僅在那種情形才與D重合,即當(dāng)b為由D恒為零.得到的bu的線性組合.因此,對(duì)D。的不變性不能由dvB在一維情形對(duì)有限群的不變性,還可得導(dǎo)出異于(13)的某些散度關(guān)系,但因由依賴性(16)出第一積分相對(duì)不變性的結(jié)論對(duì)應(yīng)無(wú)限小變換的參的存在得到I對(duì)群Dx在任何形式的p(x)下的無(wú)數(shù)變換,據(jù)式(20)將是線性齊次的,由所有變換的限小變換△x,△u的不變性,那么其中也得到用函數(shù)反演,ε也用變換了的參數(shù)e線性齊次地表出特殊形式的方法引起的對(duì)群D。的無(wú)限小變換的不個(gè)反演無(wú)疑地保持,如果取ψ=0,因?yàn)樵诠?0)變性,而因此得到群D本身的不變性,散度關(guān)系中不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)如果在方程∑列n=dvBdiv b(ae)= -div b(y,t,…,e)應(yīng)是依賴性(16)的結(jié)果,它們可寫(xiě)成中讓e*的系數(shù)相等,那么函數(shù)B((y,U,…)這里x()是 Lagrange表示及其導(dǎo)數(shù)的線性組合.因ψ無(wú)論在(13)還是在(16)中線性地出現(xiàn),那么其中也是散度關(guān)系應(yīng)是關(guān)系(16)的線性組合;因此得BM(x,u,…)的線性齊次函數(shù),因此由等式dzB(x(x,u,…)=0而B(niǎo)()本身用x線性地表示,即用 Lagrange表示及其導(dǎo)數(shù)以及其散度為零的函數(shù)線性地表出,例如,甚至如B-F(第2節(jié)末),對(duì)它有div(B-r)=0而B(niǎo)(4(x,u,…)= const這里散度同時(shí)具有自身不變性.其中B(用給定方法由 Lagrange表示及其導(dǎo)數(shù)組成的散度關(guān)系,其將也得到稱之為‘非本征的,所有其余的稱為本征的B((y,v,…)=0反之,如果對(duì)散度的關(guān)系是依賴性(16)的線性組合,即它們是‘非本征的,那么由對(duì)D∞p的不變性B((y,U,…)=得到對(duì)D的不變性;D。成為D∞p的子群.對(duì)應(yīng)const某有限群D。的散度關(guān)系,當(dāng)且僅當(dāng)散度關(guān)系是牛非這樣,對(duì)應(yīng)某個(gè)群Dρ的ρ個(gè)第一積分也允許群,因此本征的’,即群Dσ是某無(wú)限群的子群,積分I相對(duì)它下一步的積分可簡(jiǎn)化.最簡(jiǎn)單的例子就是,當(dāng)函數(shù)∫是不變的用群的專門化方法得到 Hilbert的第1個(gè)結(jié)論n=+11+p()=+lm混合群'我們理解為有限群△x=p(x),yi=ci+Ei, vi y=ui(a)Sui=p(e-up(a)因此這里依賴性(16)將是△x;=ε,△u=0,bv1=∑(wn相對(duì)混合群的不變性顯然意味著在積分1=//(=ua…)能量本征關(guān)系取形式∑(+)-0中z不明顯出現(xiàn)于f中.相應(yīng)的n個(gè)散度關(guān)系0u=divB(刈),(入群的最簡(jiǎn)單不變積分是=1,2,……,n)我們稱之為“能量關(guān)系,因?yàn)榕c變分問(wèn)題相應(yīng)的守恒律最一般的積分I由Le微分方程(11)對(duì)應(yīng)能量定律,而B(niǎo)()為“能量分量∵這樣,下述6f+(f·△x)=0結(jié)論是對(duì)的如果Ⅰ允許混合群,那么能量關(guān)系僅在的積分來(lái)確定,因?yàn)檎J(rèn)為函數(shù)∫僅依賴于u的一階那種情形才是非本征的,即積分Ⅰ相對(duì)將混合群作為子群的無(wú)限群是不變的導(dǎo)數(shù),用代入△x和△u的方法,可將其表為所有對(duì)x的變換以及由此產(chǎn)生的對(duì)u(x)的變換afna)+∑af af的群,是這類無(wú)限群的例子,在變換中僅出現(xiàn)任意函au: Ou ' ":+fSp'(數(shù)p(a)的導(dǎo)數(shù);混合群可用專門取p((x)=;的辦af∑a}p"()法得到;但仍有待解決的問(wèn)題,與對(duì)I補(bǔ)充邊界上積分所產(chǎn)生的群相聯(lián),這些最一般的群是否給出了,當(dāng)量u受到全微分形式系數(shù)變換時(shí),即形式(對(duì)p(x),p(x),p(x)恒等的)此方程組對(duì)兩個(gè)函數(shù)(x)的情形已有解,這個(gè)解實(shí)際上包含任意函數(shù)ad Ti+>bd即∫=(4-2)(u1-a2,它除dx外還包含高階微分,給定類型的導(dǎo)出變換將u1-u2會(huì)發(fā)生;更專門的變換,其中p(x)僅以一階導(dǎo)數(shù)出其中表記所指自變量的任意函數(shù)現(xiàn),會(huì)給出常微分形式的系數(shù)變換眾所周知, Hilbert做出結(jié)論:能量本征定律的不成立正是“廣義相對(duì)論的特征跡象.為了使這個(gè)cdr;……dxx結(jié)論在字面上說(shuō)得有理,必須對(duì)“廣義相對(duì)論這個(gè)述語(yǔ)比通常給出的更廣泛的理解,即將其擴(kuò)充到上述而通常僅研究這些變換所論依賴于n個(gè)任意函數(shù)的群給定類型的另一個(gè)群,由于出現(xiàn)對(duì)數(shù)項(xiàng)不能成為系數(shù)變換,是這樣的(北京理工大學(xué)梅鳳翔譯自 MMI HerepHBapnaHTHble BapnanmoHHbIe OanayKMocKBa:rⅥΦMH,1959,611~630清華大學(xué)王照林校)