第26卷第4期聊城大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)ol. 26 No. 42013年12月Journal of Liaocheng University( Nat. Sci.Dec,2013仿射變換的應(yīng)用梁秀紅1:3竇龍江2于興江3(1.聊城八中,山東聊城252000;2.聊城文軒中學(xué),山東聊城2520003.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東聊城252000摘要利用仿射變換研究了橢圓的性質(zhì)關(guān)鍵詞仿射變換,橢圓,圓中圖分類號(hào)O182.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)1672-6634(2013)04-0033-03仿射變換(見[1])是一種常見的變換其定義為定義稱平面x到自身的一個(gè)變換T為仿射變換如果對(duì)r上的任意點(diǎn)P(x,y)與其像P(x,y)之間的關(guān)系,由公式下式確定x-a11x+a12ya13a11a12≠0.仿射變換保持圖形的同素性和結(jié)合性所謂保持同素性就是把點(diǎn)(線)變成點(diǎn),保持結(jié)合性就是把點(diǎn)在線上變成點(diǎn)在線上現(xiàn)在利用仿射變換把圓的幾個(gè)性質(zhì)推廣到橢圓上我們知道,半圓上的圓周角是直角.現(xiàn)把推廣到橢圓上圖1半圓上的圓周角圖2半橢圓的圓周角設(shè)橢圓的方程為則它的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-a,0),B(a,0).設(shè)M(x,y)為橢圓上異于A,B的點(diǎn),見圖2.作仿射變換b中國(guó)煤化工收稿日期:2013-06-01CNMHG基金項(xiàng)目:山東省中青年科學(xué)研究獎(jiǎng)勵(lì)基金資助(Bs20l0SF004)通訊作者:于興江, E-mail: yuxingjiang lcu.edu.cn.34聊城大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第26卷則橢圓變成了單位圓:x2+y2=1,直線MB和MA的斜率分別為設(shè)橢圓上的點(diǎn)M在上述變換下變成了單位圓上的點(diǎn)M(x,y),而A和B分別變成A'(-1,0)和B(1,0)(見圖1)易見直線MB和MA的斜率分別為(y)和(x+1),而這二者垂直所以(y。)(x。-1)(x。+1)(x3-1)于是利用公式(1)得kM·ks這就得到下述定理定理1設(shè)M是橢圓x+=1上的一點(diǎn),A和B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)則直線MA和MB的斜率之積為常數(shù)2013年高考數(shù)學(xué)(全國(guó)大綱卷,理科)有這樣一道題橢圓C:4+x2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,點(diǎn)P在C上且直線PA2的斜率取值范圍是[-2,1.那么,直線PA1斜率的取值范圍是(B)3324由上述定理kPA即4現(xiàn)在一2≤km2≤-1,可見km1>0.所以-2kmA2≤kPA,k,≤一1m,即-2kA,≤一≤-1km,因此?！躪p,≤,所以答案為B我們知道,對(duì)于圓下面的結(jié)論成立從圓x2+y2=2外一點(diǎn)M(m,n)(mn≠0)向圓引切線MA和MBA,B是切點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O是圓心則弦AB被直線OM垂直平分.見圖3證我們知道,從圓外一點(diǎn)向圓引切線,若(s,t)是切點(diǎn),則切線方程為5x+ty=r2.于是s2+t2=r2,s7tn將(3)代人(2),整理得到關(guān)于t的二次方程圖3圓上弦AB被直線OM垂直平分+n2)t2解之得t=(m土m),其中,0=、m+n一如此,便得兩組切點(diǎn)坐標(biāo)r(mr-ng) r(nrB:(52,t2)=(從而弦AB的斜率為kA=2二2=-m直線OM的斜率為k=n,由于kkA=-1,所以O(shè)M與AB中國(guó)煤化工垂直此外,AB之中點(diǎn)的坐標(biāo)為ts, t,tt2m2+n2CNMHG為y=nx,AB之中點(diǎn)的坐標(biāo)顯然滿足OM的方程,這表明OM平分AB.現(xiàn)在,我們把這個(gè)結(jié)論推廣到橢圓上第4期梁秀紅等:仿射變換的應(yīng)用給定橢圓從它之外一點(diǎn)M(m,n)(mn≠0)向橢圓引切線MA,MB,A,B為切點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),見圖4.作仿射變換則它把圓x2+y2=r2變成了橢圓把圓的切點(diǎn)變成了橢圓上的切點(diǎn),把圓外的一點(diǎn)變成了橢圓外點(diǎn),而坐標(biāo)原點(diǎn)保持不動(dòng),設(shè)切點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(s1,t'1)和(s2,t2),由公式(4)得x=2,y=b.于是圖4橢圓上弦AB被直線(M平分(s1,t1)=n bt,)_/a(mr-nom十m)(1,!2)={a2,n2)=/a(mr+m)7g所以,AB的斜率為k=~bm注意在仿射變換下,M的坐標(biāo)變成了(如、r^),所以QM的斜率為k≈如m,由于kamkb所以O(shè)M不垂直于AB此外,OM的方程為y=x,AB之中點(diǎn)坐標(biāo)為2它顯然滿足OM的方程,此表明直線OM平分AB.至此,我們得到下面的結(jié)論定理2給定橢圓從它之外一點(diǎn)M(m,n)(mn≠0)向橢圓引切線MA,MB,A,B為切點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)則直線OM平分弦AB,且OM和AB的斜率之積是個(gè)常數(shù)參考文[1羅崇善龐朝陽(yáng)田玉屏高等幾何[M北京:高等教育出版社,200.The application of Affine TransformationLIANG Xiu-hong. DOU Long-jiang2 YU Xing-jian(1. Eighth Middle School of Liaocheng, Liaocheng 252000, China 2. Liaocheng Wen中國(guó)煤化工0Chim3. School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, LiCNMHGAbstract The ellipse properties is discussed by affine transformalionKey words affine transformation, ellipse, circle