系統(tǒng)科學與數學J. Sys. Sci. Math. Scis28(1)(2008,1),4050局部熵的高維重分形分析嚴珍珍(南京師范大學數學與計算機科學學院,南京210097;南京郵電大學數理學院,南京21003陳二才(南京師范大學數學與計算機科學學院,南京210097)瘸要對不變測度建立了高維形式的重分形分析,即考察與多維參數相關聯(lián)的重分形分解利用非緊集或非不變集的高維(q,山)嫡,給出了局部熵的高維重分形譜的一個關系式關鍵詞重分形分析,局部熵,拓撲熵,熵倍增條件MR(2000)主題分類號28A80,37D251引言設(X,d為緊致的度量空間,f:X→X是連續(xù)映射,μ是非原子的Bore不變測度,重分形分析的主要問題是描述測度的局部奇異性.一般地,重分形分析主要是與研究 Borel測度的局部(點態(tài))維數相關聯(lián),在文(中,重分形譜是維數譜,即函數f(a)= dimH({t:d(x)=a})由于一般的動力系統(tǒng)不具有微分結構,因此文(2用不變測度μ的局部熵取代了局部點態(tài)維數,同時用集合的拓撲熵取代了集合的 hausdorff維數,其重分形譜是熵譜,即函數E(a)=hop(f{x∈X:h4(f,x)=a}).而文3對某些雙曲動力系統(tǒng)建立了高維形式的重分形分析.本文對不變測度p,建立了局部熵高維形式的重分形分析,即Va1,a2≥0,Vq,q2∈R,有hiop (, Kai, aa)=q1a1 +9202+hha(, 91, 92, Ka1, a?)2定義及引理定義21關于測度μ的下、上點態(tài)(局部)熵的定義如下A)=二(-1(B9),項2單1(-1其中B1)={∈x;(a,()<=0,,中國煤化工述關于E的極限存在CNMHG國家自然科學基金(10271057,10571086)和南京郵電大學青藍計劃(NY206053)資助項目收稿日期:20050415,收到修改稿日期,200605-101期嚴珍珍等,局部熵的高維重分形分析稱在z的局部熵存在,若b(f,)=h2(,2),由文囤,對μ-ae,x∈x,局部熵存在,Bp: hu(f, r)=hu(, a)=hu(, r)設l={U1,U2,…,UM}是X的一個開覆蓋,串U是一個序列U1,U2,…,Un,其中ik∈{1,2,…,M},其長度n記作n(U),所有長度為n的串組成的族記為Wn),且Wn4UW().對任意U∈Wn(),定義k>nx(U)=U∩fUn∩1…∩fn+Un=ex:/ CE E Ui,k=12…,n稱串族F覆蓋集合Z≌X,若ZsUX(U設s∈R,P為串族,定義自由能量如下F(F,8)=∑exp(n(U)8)U∈r對給定集合2,記M2,)=fF(F,,其中下確界取遍覆蓋2且滿足rcW2n)的所有串族.令M(z,,8)=limM(z,l,s,n),則存在唯一值h(z,)滿足h(z,0)=sup{8:M(∠z,,8)=+0=inf{:M(z,l,)=0}由文間],下面的極限存在hp(,Z)=,limh(2Z,0定義22稱hp(f,Z)為∫限制在集合Z上的拓撲熵,簡稱拓撲熵引理21拓撲熵具有以下性質i)htop(, Z1)s hop (, Z2), Z1 CZ2iii)hop (f, UZi)=sup htop(, Zi),VZisx, i=1, 2,設,2為非原子的 Borel不變測度,qn,q∈況,下面定義集合的高維(q,2,p1,2)熵.這種思想方法來自文⑤,6]設g={Bn(x1,)}是至多可數族,t∈R,定義族9的(q,g2,t)-自由能量為FuI,a(9,91, 92, t)=A1(Bn (c e ))u2(Bn (z;, e))exp(tni)給定集合ZX,Z≠以及c>0,N∈N,令M12(,n,q,te,N)=infF2(,q,,這里下確界取遍所有滿足下列條件的有限或可數族g={Bn,(x1,l)};:x;∈z,n≥N, ZCUBn、(r;2)當Z=時,對任意的q,9a,e,N,定義M,2(0,q,9,te,M)=0由于M1n(2,n,g,t,E,N)關于N是非減的,因此下面的極限存在Ma.(Z, 91, 92, t, e)=lim MC, u (Z, 91, 92, t, E, N)=sup Ma u(Z, 91, 92, t,E, N)由于M1m2(zq1,q2,t,E)關于Z不具有單調性,令中國煤化工Mui, wa(Z, q1, 92, t, e)=sup MeYHCNMHG由上述定義,不難證明系統(tǒng)科學與數學28卷引理22集函數M1,2(,q,g,t,e)具有以下性質i)Mx2(,q2,q,t,E)=0;ii)MH1,a(Z1, 91,92, t,e)< MH1 a(Z2, 91, 92, t, e),VZ1SZ2i)lMnn2(U;2,q1,m2,t,e)≤∑AM12(2,q,g,t,e),V么sx,讠=1,2,引理23存在唯一確定的值h12(f,q1,g,z,e)∈|-∞,+],使得t< hHi, u?(, 1, 92, Z, e)Mn1,2(z,q1,g2,t,E)=0,t>hn1,n2(,q1,g,Z,e)引理24下面的結論成立i)h-1,2(f,q1,g2,0,E)=-∞;ii)hui, ua(, 1, 92, Z1, E)shui, ua(, 41, 92, Z2, e), vZ1 Z2ii)hui, Ha(, 91, 92, UZi, e)=sup hp1 u2 (, 91, 92, Zi, e),VZiSX, i=1, 2,定義23集合Z的(1,g,p1,p2)熵定義為91, 92, 2)=lim p1, ua(, 91, 92, Z,E)(21)下面說明上述定義中關于E的極限的存在性若q,q2≤0,對e1>E2>0,令g={Bn,(x;,E2)}是Z的中心覆蓋,則￠"={Bn1(x,1)}也是Z的中心覆蓋,且F412(,q1,g,)≥F2,2(y,q,g,t),故MHl, ua(Z, 91, 92, t, E2)>MHl, 2(Z, 91, 92, t, E1),從而n12(f,q1,9,2,e1)≤h,2(,q,g,Z,e2因此(21)中的極限存在一般地,當q1,q2>0時,關于E的單調性不再成立,因此需要附加的條件定義24稱不變測度μ滿足熵倍增條件,若對任意充分小的ε>0,有C(=n()<0容易看出,若測度滿足熵倍增條件,則8upup出:12<∞對任意a>1及充分小的E>0成立若測度,j=1,2對任意的e∈(0,0)滿足熵倍增條件,取e1,e2∈(0,E0,a=a>1,則存在C=C(a)<∞,使得ui Bn(a,Ai B,Ai(Bn(, E2))(qi+qa)Mul,a(Z, 91, 92, t, E1)嚴珍珍等:局部熵的高維重分形分析從而hu, ua(, 91, 92, Z, E2)>hu1, wa(, 91, 92, Z,E1)因此(21)中的極限存在當q1≤0,g>0時,若測度p對任意的ε∈(0,-o)滿足熵倍增條件,結合前面兩種情況的討論,(21)中的極限存在引理25由引理24及定義23,下面的結論成立i)hn1,n2(,q1,g2,)=-0;i)hn,2(f,qh,q,z1)≤h,(f,q,g,2),ⅤZ1sZ2ii)hmi, ua(, 91, 92, Z4)s sup hul, a(, 91, 92, Z1),ZiSX, i=1, 2,3主要結果及證明設a1,a2≥0,q1,g∈R,記Ka,a2={x∈x:h1(,x)=a1,hn2(f,x)=a2}下面證明本文的主要結果htop(, Kan ag)=qa1+q2a2+hua,ua(, 91, 92, Ka1, a2)當x∈Ka1,a2時,有如(-1()21m(k(B()=,了=12選取單調遞減序列EM→0(M→∞),令>0,j=1,2記Ka1a2.M={x∈Ka1aaj-5y< lim inf ( -i1logA(B(r,EM))), j顯然Ka1,a2,MsKa,a21M+1,且Ka,a2=UKa1,a2,M由-1ogH(Bn(x,e),=1,2關于c的單調性,x∈Ka1a2,Ve>0,有l(wèi)imsup( ogu(Bn(z,e)))N,有a-6<-lgH(Bn(x,)<∝+;,j=1,2令Ka1a2,MN={x∈Ka,a2,M:N=N(x,61,6,M)N,9={Bn、(r;eM)}是Ka1.2.M,N的開覆蓋,其中x;∈Ka1,a2MN,且n;≥n.由EM<,則Vx,存在串U(u):n(U(l)=n,使得Bn(z1,EM)sX(U(l).從而Ka1a2,M,NUBn(x;,EM)sUX(U),故族F={U(}是Ka1a,M,N的串覆蓋,由vi∈N,xi∈Ka1.a2,MN且n≥n>N,有exp(-(a,+i)ni)sui(Bn(i, EM ))S exp(-(a-S)ni),j=1,2若q,q≥0,則(Bn、(r,EM)>∞xp(-q(x+6)mn),j=1,2,且Wi(Bn (=i, EM))u2(Bn, (ai, EM)9 exp(≥∑exp(-1(a1+61)n)eap(-ga2+62)n)exp(-tn2exp(-ni(q1@1+92a2+q181+9262+t)2∑e∞p(-n(U))≥M(KaMN,l,n其中s≥qa1+qa2+q61+qo2+t因為g是任意的中心覆蓋,則MAl, a(Kai, aa, M, N, 91,92,t, EM, n)>M(Ka1,a3, M N, U, 8, n)若q,≤0,則H(Bn1(z;eM)>exp(-9(a-5)n),j=1,2,且∑H(Bn,(r,EMl)2(Bn、x;,M)"e-tn)≥∑1(Bn1(x,EM)2(Bn1(z,EM)ep(-tm)≥∑∞(-q(a1-6)n)exp(-g2(a2-62)n)exp(-tn)>exp(-ni(ana1+9202+9101-92 2+t)2> exp(n(U)a)>M(Ka, aa, M, N, u, 8, n)DEr其中s≥qa1+q2a2-q61-q2+t因為g是任意的中心覆蓋,則Mhl, ua (Ka1, aa, M, N, 91, 92, t, EM, n)2 M(Kai,a2, M, N u, s, n)若q≤0,q≥0,結合以上兩種情況的證明,也有Me,a (Kai, a, M, N, 91, 92, t, EM, n)>M(Kal,az, M, N, u, s, n)總之對q,g∈B有M(Ka,a1M,N,b,a,n)sMe中國煤化工八令n→∞,則CNMHGM(Kai,ap, M, N, u,s)s Mh, a(Kan, aa, M, N, 91, 92, t, EM)S Mui, a(Ka1, ga, M,N, 91, 92, t, EM)1期嚴珍珍等:局部熵的高維重分形分析定理31Va1,a2≥0,Vq1,q∈R,有top(, Ka,an)qa1+qa2+h12(f,q1,g2,Ka1,a2),則存在q,q∈R使得y=(huop(Ka1a2)-q1an1-a2(f,q1,q2,Ka1a2))>0.因為hok)=dm0ka,,O,從而對上述>0,可找到有限開覆蓋滿足h(kanga, u)>91a1+9202+hh1,ua(, 91, 92,若q=0,取為任意數,j=1或2若|>0取6=如7,j=12選取足夠大的M,N,使得以下條件成立h(Ka1,a2,MN,b0)>qa1+g2a2+hl1,(f,q1,2,Ka1a2)+2eM<6(0hun2(,g,g,ka1a)+2>h(,9,9,a,M由h(Ka1,a2,MN,O的定義,得M(Kai,ga, MN, u, q1@1+92@2+hul, a(, 1, 92, Ka1, aa )+2n)=+oo令8=qa1+q2a2+h,兩(f,q,g,Kan,a2)+2,t=h,2(,q1,g,Kan,a2)+y-|q11-21,8-t=qa1+qza2+y+q161+|g2|62>q1a1+g2a2+|q|61+|ga|62由引理31,Mui, u,(Ka1,a3, 91, 92, hui, Ha(, 41, 42, Kai, a)+r-1q1d1-192 02, EM)=+oo. (3但是hn1n2(f,q1,gz,Ka1a2)+-|q1|61-|q2|62h2(,,9,Kam)+y-4-4hnn(9,9,Ea1,M)2 hmi,ua(f, 91, 92, Ka1, a3, M, N, EM)由引理23,有M2,n2(Ka1,a2,gh,g9,h1,n2(,q1,g,Ka1a)+y-lq11-ga|52,EM)=0.(32)(31)和(32)矛盾,從而假設不成立.證畢引理32設61,62>0,l為X的任意有限開覆蓋,且存在某個M∈N,使diam4M設F為覆蓋z的任意串族n()=m(U2n>N不失一般性,假設x(U∩z≠,wU∈r.設a{U)∈X(U∩Z,由EM>2diam(4),則X(U)sBn(Un)(z(Un,eM,從而Bn(U)(x(U),eM)}是z的中心覆蓋.由x(U)∈ZcKa,.2,MN,n(U)>N有exp(-n(U)(aj+6)≤H(Bn(U)(x(Un,eM)≤exp(-n(U)(a;-6),j=1,2若q1,q2≥0,則<2A(Bn(u)((U), Em)Ha(Bn(u)(=(U/),EM) exp(-n(U)t)≤∑ep(-n(U)(a1-61)ep(-n(U)(a2-62)exp(-nmUn)U∈r≤∑p(-n{Uqna1+qa2-m61-g2+)≤∑exp(-n(U),U∈r其中,s≤q1an1+g2a2-q161-q262+t若q1,g≤0,則M.n2(2,q1,9,tEM,N)≤∑H1(Bn1(0,eM)m2(B,u(a(U),eM)exp(-n(U)≤∑ep(-n(Un(a1+61)exp(-n(U)/(a2+2)exp(-n(U1)≤∑∞(-m(Uan+ma+1+2+)≤s∑ep(-n(U))其中,8≤q1a1+g2a2+q61+q2b2+t若q1≤0,q2≥0,結合以上兩種情況的證明,也有類似結論.因為是Z的長度為n的任意串覆蓋,Ⅴ8≤q1a1+q2a2-a|61-|al|62+t,有M1n2(,q,qa,t,EM,n)≤M(∠z,l,,n兩邊令n→∞,則Man2(2,q1,q,t,EM)≤M(,l,8)≤M(Ka1a2M,N,,).由ZcKa1,a2,MN的任意性,有M12(Ka1,a,M,N,q1,q,tEM)≤M(Ka1a,M,N,v,)定理32Va1,a220,Vq,∈配,有hop(f,Ka1a2)≥qa1+g2a2+hmx,n2(f,qh,g2Ka1a2證類似于定理31的證明,結合引理32可得.由定理31和定理32即得本文的主要結果定理33a1,a2≥0,Vq1,g∈R,有htop(f,Kan1a2)=qa1+qQ2+hm,2(f,q,g,Ka1,a2)注3,1本結果對有限個參數的情形也成立4符號空間中的一個例子中國煤化工在前面我們已經得到主要結果CNMHGhop (f, Kai, aa)=q1a1+9202+hu1,a(,q1,1期嚴珍珍等:局部熵的高維重分形分析應該指出,由于無法計算h,-2(f,q1,g,Ka1a2),我們仍然不能從上式得到局部熵的高維重分形譜的更多信息.但是,我們可以借助上式對局部嫡的的高維重分形譜進行上界估計(作者已有另文論述).下面我們將給出符號空間中的一個例子來計算h1,n2(f,q,q2,Ka1,a2)設E={1,2…,m},m≥2,賦予E以離散拓撲,設積空間Zn=ⅡE,移位映射σ:跏m→跏m定義為o(x1x2…)=(x2x3…).令R=(r1,r2,…,rm)滿足00,a2(q1,g2)06(q,g2)(42)q設引理41 dimH(Ea1(,4)a2(g,y)=qa1(qn,g)+qa2(q,gz)+β(q1,g),其中(q由(41)式確定引理41的證明來自吳曉榮,見附錄在下面的討論中我們總是取R=(,r2,…,rm)=(,,…,).x∈m,設q(z)=log prs1,則P(a,1)=0.又由文7中的定理916,1存在唯一的平衡狀態(tài)p1=HP.因此,由文!中的引理6,有hwp(a,2)=a1(a,y)lm∑()=P()-a1(m,)=-a1(,g,中國煤化工CNMHGhup(o, r)=a1(g, 92)*limlogp(En)=-lim -,=a1(g1, q2)+00 logr(an)(43)系統(tǒng)科學與同理,Ⅴx∈Σm,設y2(x)= log wr1,則uw(o, r)=a2(91, 92)+lidon 2ogwz=a2(q1, 2)(44)由引理41,結合(43),(44)兩式有dimH(Kar(qn, g ) a(gi ga)=q1a1(91, 92)+92a2(q1, 92)+A(q1, 92)(4.5)文⑨給出了拓撲熵的一個等價定義,設集合zcX,固定E>0.稱至多可數球族F={Bn(x,l)}覆蓋Z若 ZCUBn,(x,E)對={Bn、(x;,E)},記n(r)=mn,令6∈B,定義m(2N)=E(-m),其中下確界取遍所有覆蓋Z且n()≥n的族F={Bn(x1,e)}令m(2,8,E)=,limm(z,s,N,),則存在唯一值h(f,Z,)滿足h(f,z,e)=sup{8:m(z,81e)=+}=inf{8:m(2,8,e)=0}從而,hop(,Z)=limh(f,z,e)下面用這個等價的定義給出拓撲熵與 Hausdorff維數間的關系引理42設ZCEm,則dimH(Z)=htop(o,Z)證若Z=0,則兩邊均為負無窮大,等式成立.若Z≠給定N∈N,e>0,設F={Bn(x2,e)}是Z的任意覆蓋對E>0,唯一存在k∈N,滿足exp(-k)≤6 dimHAgn, q2即dimH(ear(gn,g2), aa(q1, g))2q1a1(q1, 92)+92a2(a1, 92)+B(a1, 92)(51)lg(直m)logr[n+q1ogrlaz/n +B(g, ogr(z/nlogp[cn] log w( n=q1a1(q1,q)+g2a2(q1,q2)+B(q1,q2),vaz∈Ea1(,9)a(q1,q)所以dimH (Ean(gn,g),algu g)s q1a1(q1, 2)+q2@2( 91, 92)+A(q1, 92)(52)由(51)及(52)可得結論成立HIGHER-DIMENSIONAL MULTIFRACTAL ANALYSISOF LOCAL ENTROPYYAN ZhenzhenCollege of Mathematics and Computer Science, Nanjing Normal University, Nanjing 210097)(College of Mathematics and Physics, Nanying University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003)CHEN ErcaCollege of Mathematics and Computer Science, Nanjing Normal University, Nanjing 210097)Abstract The higher-dimensional multifractal analysis of local entropy for arbitrary in-variant measures is established. By using the higher-dimensional (a, u)-entropy of non-compactor non-invariant sets, the equation related with higher-dimensional multifractal spectrum oflocal entopies is obtainedKey words Multifractal, local entropy, topolTYH中國煤化工 ing conditionCNMHG