河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)第24卷第2期JOURNAL OF HEBEI UNIVERSITY OF總第65期2003年SCIENCE AND TECHNOLOGYsum652003文章編號(hào):1008-1542(2003)02005605Lagrange方程的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)王慧君,劉東旭(河北科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院,河北石家莊050054)摘要:對(duì)廣泛應(yīng)用的 Lagrange方程的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)做了探討,指出在引入速度變換矩陣后, Lagrange方程實(shí)際上是牛頓第二定律的一種表示方式;由于引入了速度變換矩陣, Lagrange方程可以方便地在任意的坐標(biāo)系中建立,對(duì)動(dòng)力學(xué)問題的求解提供了一個(gè)途徑關(guān)鍵詞: Lagrange方程;速度變換矩陣;動(dòng)力學(xué)中圖分類號(hào):O316文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:ALagrange方程是分析力學(xué)中的一個(gè)重要方程,它不僅在理論上揭示了系統(tǒng)的最小勢能原理,在實(shí)用上也有很大價(jià)值:當(dāng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能的表達(dá)式可求的情況下,可以使系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的形式和求解變得很簡單但首先該方程與經(jīng)典力學(xué)中牛頓定律的關(guān)系是一個(gè)值得探討的問題,再則由于在具體問題中 lagrange方程的簡易程度和坐標(biāo)系的選取有很大關(guān)系,對(duì)于一個(gè)任意的坐標(biāo)系,在其中建立 Lagrange方程是有實(shí)際意義的。本文在引人速度變換矩陣后,說明了Lagrange方程的實(shí)質(zhì)是牛頓第二定律,利用速度變換矩陣可以方便地在任意的坐標(biāo)系中建立Lagrange方程。1速度變換矩陣及其性質(zhì)1.I速度變換矩陣對(duì)于有N個(gè)自由度的系統(tǒng),設(shè)其K個(gè)運(yùn)動(dòng)方程為(r)=(f (qi則速度矢量為q{,a|2fK其中:收稿日期:20020114;修回日期:20020403;責(zé)任編輯:王士忠作者簡介:王意君(1946-),女,河北博野人,副教授,主要從事固體力學(xué)方面的研究中國煤化工CNMHG第2期王慧君等 Lagrange方程的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)稱為速度變換矩陣1.2速度變換矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1:性質(zhì)2:性質(zhì)3:在理想完整約束下有:AT={0}FK性質(zhì)1和性質(zhì)2可以通過計(jì)算直接驗(yàn)證,性質(zhì)3可簡單證明如下:設(shè)作用在系統(tǒng)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力按照運(yùn)動(dòng)方程順序可寫為FIFFKFK其中:{F}為系統(tǒng)主動(dòng)力,{F}為約束力(包括約束外力和約束內(nèi)力)在理想完整約束下,由理想約束的定義有6r18r;(4)F而由式(1)有(5)因而有中國煤化工CNMHG河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)2003年F2 Lagrange方程和牛頓第二定律由牛頓第二定律,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為m2,(7)將式(2)代入式(7)得(m,m2,…,m)+3(m1,m2(8)將式(8)兩邊同時(shí)作用AT并利用性質(zhì)3可得Am1,m,2da1:}=46(9)FK以下證明式(9即 Lagrange方程。設(shè) Lagrange函數(shù)為T,則方程一般形式為aT(10)按廣義力的定義,顯然有(11)f1系統(tǒng)的功能T=(4/91y+a1:/)Tm,m,…,m(A9分別計(jì)算a,和動(dòng),利用性質(zhì)1、性質(zhì)2和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)有中國煤化工CNMHG第2期王慧君等 Lagrange方程的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)72qN+u(aT myaTaTtaT元(A)m1,m2;…,mx(A2+(13)式(12)與式(13)對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)相減得aquaTAT(A)m1,m2,…,mkAATm1,m,…,m!2(14)比較式(9)式(11)和式(14)的第i個(gè)分量和式(10)可知, Lagrange方程是在系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)普通方程,式(7)兩邊同時(shí)作用速度變換矩陣速度變換矩陣A的結(jié)果,因此 Lagrange方程的實(shí)質(zhì)就是牛頓第二定律。在坐標(biāo)q1,q2,…,qN的不同選取下,牛頓第二定律表現(xiàn)出來的( Lagrange方程)形式會(huì)有不同。如果把q,q2,…qN的不同選取視為不同的狀態(tài)空間的描述, Lagrange方程中國煤化工CNMHG北科技大學(xué)學(xué)報(bào)實(shí)際上是牛頓第二定律在狀態(tài)空間中的表達(dá)形式,它把牛頓第二定律中的向量坐標(biāo)換為標(biāo)量坐標(biāo),而速度變換矩陣是實(shí)現(xiàn)這一變換的數(shù)學(xué)工具。在運(yùn)動(dòng)方程(1)不含時(shí)間t的顯式時(shí),式(9)的形式特別簡單注意到矩陣Am,m2,…;mxA是對(duì)稱矩陣在許多情況下對(duì)稱矩陣的性質(zhì)可以運(yùn)用到式(15)的求解中。數(shù)例和應(yīng)用如圖1所示,直角三角板A可以沿光滑水平面滑動(dòng),在三角板A的光滑斜面上放置一個(gè)均質(zhì)圓柱B,其上繞有不可伸長的繩索,繩索通過理想滑輪C緊掛一質(zhì)量為m的物塊D,已知圓柱的質(zhì)量為2m,三角板A的質(zhì)量為3m,a=30;設(shè)開始時(shí)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)滑輪C的大小和質(zhì)量忽略不計(jì)。試確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)解:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為XA=I3, XB=T3+(L2-xz)圖1物塊運(yùn)動(dòng)系Fig. 1 Motion system for body2,XD=x3+L1,YD=x1,其中:L1和L2分別代表三角板A的底邊和斜邊長經(jīng)簡單計(jì)算速度變換矩陣質(zhì)量矩陣和外力矩陣分別為分別計(jì)算(ATm,m2,…,mA)和(A{FW}),得 Lagrange方程為20-3 oio這個(gè)結(jié)果與傳統(tǒng)做法是一致的下轉(zhuǎn)第88頁)中國煤化工CNMHG河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)2003年參考文獻(xiàn):[1]何立民,單片機(jī)應(yīng)用系統(tǒng)設(shè)計(jì)[M]北京:北京航空航天大學(xué)出版社,1998[2]劉振字,劉恩福岳彥芳.基于數(shù)控加工的箱體零件CAPP系統(tǒng)[].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2003,24(1):65[3]劉國強(qiáng),孫蘭英,程瑋燕,等,動(dòng)平衡計(jì)算在長曲軸車削時(shí)的應(yīng)用[河北工業(yè)科技,2002,19(5):1-3Theory of Forward-plus and Back-minus Bi-pulse Coderand Its Implementation of ProgramWANG Feng- ming, HU Xiao-xiang(l. College of Bioscience and Bioengineering, Hebei University of Science & Technology, Shijiazhuang Hebei050018, China: 2. The Library, Hebei University of Science Technology, Shijiazhuang Hebei 050018, China)Abstract: In the application on shearing machine of steel reel spread flat and fixed length, in order to solveproblem that the length of steel reel becomes longer when the steel is forward and becomes shorter when the steeel is backward corresponding to the shears, the positive or negative rotation of coder should firstly be determinedfrom the two pulses created by the bi-pulse coder, thus, the design of flying shears can be implemented in the steelreel spread flat and fixed lengthKey words: Bi-pulse coder; fixed length shearing machine; forward-plus and back-minus(上接第60頁)綜前所述可得 Lagrange方程是在一組特定坐標(biāo)系中(廣義坐標(biāo)q1,q2,…,qN)牛頓第二定律被速度變換矩陣作用的結(jié)果是牛頓第二定律在特定坐標(biāo)系中的表達(dá)形式;在一些具體問題中,只要能求出速度變換矩陣就可直接從單個(gè)質(zhì)點(diǎn)或剛體的動(dòng)力學(xué)方程,通過矩陣運(yùn)算即可求解動(dòng)力學(xué)問題,它對(duì)大型復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題求解的計(jì)算機(jī)化是有意義的。參考文獻(xiàn)]史榮昌.矩陣分析[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,195[1]邊字虹,分析力學(xué)與多剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京機(jī)械工業(yè)出版社,1998The Essence of Dynamic Mechanics forLagrange equationWANG Hui-jun, LIU Dong-xu(1. College of Mechanical and Electronic Engineering, Hebei University of Science and Technology, ShijiazhuangHebei 050018, China)Abstract: In this paper the essence of dynamic mechanics for Lagrange equation is discussed. It is indicated thatiter a speeds transform matrix, the Lagrange equation is an expression form of the second Newton's law, Be-cause the transform matrix of a speed is introduced, the lagrange equation may be set up expediently. This methodprovides a way for solving the problem of dynamic mechanicsKey words: Lagrange equation speeds transform matrix dynamics中國煤化工CNMHG