中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)2005,35(6):573~608物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法Ⅰ.動力學(xué)系統(tǒng)的代數(shù)動力學(xué)解法與代數(shù)動力學(xué)算法王順金”張華(四川大學(xué)物理學(xué)院理論物理中心,成都610064)摘要用常微分方程描述的動力學(xué)系統(tǒng)的演化方程的數(shù)值求解及其保真問題首先引進時間平移算子,把經(jīng)典動力學(xué)系統(tǒng)的常微分方程的初值問題提升為偏微方程的初值問題,納入量子物理的代數(shù)動力學(xué)框架;將動力學(xué)系統(tǒng)的時間演化的局域徽分規(guī)律和整體積分規(guī)律,用李代數(shù)和李群的語言具體表示出來;用代數(shù)動力學(xué)方法求得了用 Taylor級數(shù)表示的局域收斂的常微分方程的偏微分形式的精確解和 Taylor級數(shù)系數(shù)函數(shù)的解析表達式,在 Taylor級數(shù)表示的局域精確解的有限項截斷近似下,建立起一種基于時間平移偏傲分算子的常微分方程的數(shù)值求解方法代數(shù)動力學(xué)算法.從代數(shù)動力學(xué)算法的觀點考察了辛幾何算法和Runge-Kutta算法的保真問題關(guān)鍵詞物理計算的運動學(xué)代數(shù)幾何保真和動力學(xué)保真經(jīng)典動力學(xué)方程的代數(shù)動力學(xué)解法常微分方程的代數(shù)動力學(xué)精確解和代數(shù)動力學(xué)算法科學(xué)規(guī)律和常微分方程有著密切的關(guān)系.定量的科學(xué)規(guī)律,大體分為兩類離散變量的規(guī)律和連續(xù)變量的規(guī)律.基本的科學(xué)規(guī)律,特別是物質(zhì)運動的基本規(guī)律,如物理學(xué)基本定律,大多數(shù)是連續(xù)變量的規(guī)律.連續(xù)變量的科學(xué)規(guī)律又分兩類:(i)用常微分方程描述的規(guī)律,如質(zhì)點運動的經(jīng)典力學(xué)規(guī)律、天體運行規(guī)律、用有限個變量描述的化學(xué)規(guī)律、生物學(xué)規(guī)律、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)律、氣象學(xué)規(guī)律,甚至經(jīng)濟學(xué)規(guī)律等等;(ⅱ)用偏微分方程描述的規(guī)律,如物理學(xué)中用多變量函數(shù)描述2005-02-21枚稿,200509-19收修改稿中國煤化工國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:10375039.90503CNMH③子加速器因家實驗室核理論中心基金資助項目** E-mail: swang(home. swjtu.edu.cnSCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy574中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷的經(jīng)典場(如電磁場、流體場)方程、量子力學(xué)中的 Schrodinger方程、統(tǒng)計物理學(xué)中的各種輸運方程、量子場論中的各種場方程等等此外,在求解科學(xué)(特別是物理學(xué))中的偏微分方程時,人們常常把問題化為常微分方程求解(如數(shù)學(xué)物理方法中的分離變量法和按已知函數(shù)基矢展開如Fourier展開的、截斷的、近似的方法等).由此可見,常微分方程的求解在科學(xué)問題的計算中占有十分重要的地位物理計算的保真包括運動學(xué)保真與動力學(xué)保真兩個方面.物理學(xué)是精密的科學(xué),物理問題的解答需要精確的數(shù)值結(jié)果.因此,物理計算的保真問題是物理學(xué)研究的基本問題.物理系統(tǒng)的動力學(xué)時間演化規(guī)律是由運動方程的時間演化算子的結(jié)構(gòu)決定的,物理計算保真就是運動方程時間演化算子的結(jié)構(gòu)的保真.因此,物理計算保真問題的內(nèi)涵由運動方程的結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵決定,它包括兩項內(nèi)容(i)運動方程的運動學(xué)變量的代數(shù)幾何結(jié)構(gòu)的保真,簡稱運動學(xué)保真或代數(shù)-幾何保真.具體說,就是要保持運動學(xué)變量的代數(shù)關(guān)系及其不變量和相應(yīng)的空間幾何不變量的精確度.(i)運動方程的動力學(xué)群結(jié)構(gòu)的保真,簡稱動力學(xué)保真,或速度、加速度、能量等動力學(xué)守恒量保真.具體說,就是要保持動力學(xué)軌道和所有動力學(xué)守恒律的精確度物理計算保真問題的提出有以下理由:物理運動方程是連續(xù)的微分(積分)方程.物理運動方程一般很難求得精確解,常常需要數(shù)值求解.數(shù)值求解中的差分近似和網(wǎng)格離散化近似,以及無窮級數(shù)的有限項截斷近似,都要破壞運動方程及其解的結(jié)構(gòu),造成數(shù)值解對于精確解的偏離.物理計算保真的任務(wù)就是:在數(shù)值求解時,在對方程進行的離散化和有限化近似過程中,盡可能保持運動方程的結(jié)構(gòu)及其相應(yīng)的守恒量不變,或者,把數(shù)值解對于精確解的偏離控制在設(shè)定的精度以內(nèi)在物理計算保真問題中有兩點需要說明:(i)運動學(xué)保真中運動學(xué)變量的代數(shù)保真與幾何保真的一致性.按照Kein的觀點(愛爾朗根綱領(lǐng),幾何與代數(shù)是一致的:空間幾何由空間不變?nèi)捍_定,而空間不變?nèi)旱纳稍M成一定的代數(shù)因此,空間幾何的研究可以歸結(jié)為空間不變?nèi)旱纳稍拇鷶?shù)的研究.例如:歐氏幾何由E(3)=0(3)+T(3)不變?nèi)捍_定,而相對論時空的幾何則由L(4+74)=Poincare不變?nèi)捍_定.(i)動力學(xué)保真使得運動學(xué)變量的代數(shù)和幾何保真成為動態(tài)的運動學(xué)變量的代數(shù)與幾何結(jié)構(gòu)保真,而不是靜態(tài)的運動學(xué)變量的代數(shù)和幾何結(jié)構(gòu)保真.為此要區(qū)分動態(tài)軌道和靜態(tài)軌道:消去時間變量后的由運動學(xué)變量形成的軌道是靜態(tài)的軌道,它是一個中國煤化工包含時間演化信息的動力學(xué)變量.靜態(tài)軌道保真確保CNMHG代數(shù)和幾何關(guān)系的不變性,可能造成運動學(xué)變量的動力頭具與之相,可念軌道是在動力學(xué)SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—1575群驅(qū)動下的運動學(xué)變量隨時間變化的軌道,它包含這些變量的動態(tài)代數(shù)和動態(tài)幾何的信息,以及由它們誘導(dǎo)出的動力學(xué)速度、加速度和能量等信息;動態(tài)軌道保真體現(xiàn)了動態(tài)代數(shù)-幾何保真和動力學(xué)(速度、加速度和能量)保真兩者的致性1常微分方程的代數(shù)動力學(xué)解法11多變量常微分方程組及其結(jié)構(gòu)2由于高階常微分方程組可以通過引進新變量降為一階的,不失普遍性可考慮-階常微分方程組n個變量,p個參數(shù)的一階常微分方程組可寫為x=F(an(t),x1),i=1,2,…n;M=1,2…p,(1.1)其中∝2(1)是方程所包含的參數(shù),構(gòu)成p維參數(shù)空間,與時間無關(guān)時為自治系統(tǒng),否則為非自治系統(tǒng)X()為n維相空間的曲線.F包含對x;的代數(shù)運算,定義了方程的局域微分結(jié)構(gòu).按 Amold,F(x)稱為相速度場V(X)=F(x)局域解的存在唯一性要求相速度場V(X)=F{(x)是局域連續(xù)可微的并具有緊性12多變量一階常微分方程組的代數(shù)動力學(xué)13利解法考慮自治系統(tǒng),an與時間無關(guān)基于F引進偏微分算子L(X,0x),F可改寫為F(a,X)=L(X, dx)Xi,x立(1.2)Fa,XL(X,3x)確定了方程的局域微分結(jié)構(gòu),像量子物理一樣,它是確定方程的解的時間演化算子的無窮小生成元,描述動力系統(tǒng)的時間平移特征,故可稱為動力系統(tǒng)的時間平移微分算子.引進時間平移微分算子L(X,0x)后,方程(L1)可提升為偏微分方程,納入代數(shù)動力學(xué)框架,其分量形式和矢量形式分別為(X)=ix,。X,X=Lx仿照量子物理學(xué)的方法,在收斂半徑內(nèi),可求得(1.3)式的積分形式的迭代解,其矢量形式為X(X0,1)=X0+[(X)X(1tLrX中國煤化工(14a)其分量形式為CNMHGwww.scichina.com576中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷x(x0,)=∑(x0)xm=cxxm(14ab式給出自治的常徹分方程組的局域收斂的、用無窮 Taylor級數(shù)表示的偏微分形式的嚴(yán)格的解析解,初始變量Xo起著偏微分方程中時間變量以外的其他變量的作用.(14ab)式是單參數(shù)群的代數(shù)動力學(xué)解,是對常微分方程用有限差分進行數(shù)值計算求解的基礎(chǔ)解(14ab)式的存在,要求下列導(dǎo)數(shù)Xo,(n=1,2,3.)在X0的局域存在,很多科學(xué)中的動力學(xué)系統(tǒng)都滿足這一條件.下面將看到,上述條件與軌道相流X()是t的局域的C函數(shù)因而可做 Taylor展開這一條件等價,即與軌道的各階導(dǎo)數(shù)x(L0(m=12,3.0)存在等價,但比起要求v(X)=E(X)是x0的局域的C"函數(shù)這一條件弱很多.下面的阿諾德反例(ⅶ,ⅷ)表明:即使V(X)=F(X)在X0的局域不是C函數(shù),但導(dǎo)數(shù)Xo,(n=1,2,3∞)仍然存在因而仍可用代數(shù)動力學(xué)求得其精確的、解析的、局域的 Taylor級數(shù)解應(yīng)當(dāng)指出,當(dāng)K(n=1,2,3.∞)存在分離奇點時,在這些分離奇點被隔離后的區(qū)域內(nèi),仍可用代數(shù)動力學(xué)求得精確的、解析的 Taylor級數(shù)解.這與常微分方程的通常解法的處理方法一樣仿照量子力學(xué),引進動力學(xué)系統(tǒng)的時間演化算子[X,1=c(x0,則(14ab)可寫為X(n=X(Xo, t)=U[Xo, t]xo,X()=X1(X0,1)=OXa,1]X0(1.5)式很像量子力學(xué)的波函數(shù)的時間演化解,只不過這里的“波函數(shù)”是“坐標(biāo)”的線性函數(shù),而且要取常微分方程的“坐標(biāo)”初值.如果用代表幾率分布的x0的非線性函數(shù)p(X)代替線性函數(shù)X0,則(1.5)式成為廣義 Liouville方程的解(13節(jié))應(yīng)當(dāng)指出,與量子物理一樣,時間演化算子Ux,=c4xo確定了方程整體積分解的單參數(shù)群的結(jié)構(gòu),即動力學(xué)演化的整體積分結(jié)構(gòu);時間演化算子UX0,的微分算子L(X0)是單參數(shù)群元的無窮小生成元,它起著系統(tǒng)的時間平移算子的作用,它和群元之間的關(guān)系是:無窮小生成元的指數(shù)化導(dǎo)致群元這一李群和李代數(shù)的規(guī)則.上述結(jié)果表明,經(jīng)典物理演化方程向相空間的初值函數(shù)空間的提升,就達到與量子物理類似的演化中國煤化工程的解向線性函數(shù)子空間的投影又回到了經(jīng)典演化方CNMH解法與其他解法的重要區(qū)別.因此,在代數(shù)動力學(xué)解法,習(xí)紅興忉埋存在著深刻的聯(lián)系與類比,量子物理與經(jīng)典物理的動力學(xué)演化與李群和李代數(shù)的本質(zhì)性聯(lián)系得SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法577到了充分體現(xiàn)常微分方程的上述偏微分方程解法使常微分方程描述的這一動力學(xué)系統(tǒng)變成由時間平移偏微分算子驅(qū)動的代數(shù)動力學(xué)系統(tǒng),因而可用代數(shù)動力學(xué)方法求解常微分方程值得指出的是.常微分方程可用偏微分方程求解這一事實,初想起來很難理解:相空間的變量X:作為方程的解x1(r)是時間的函數(shù),怎么在偏微分方程中竟然成為獨立于時間變量的其他變量?但是,仔細考察常微分方程的初值問題就會發(fā)現(xiàn):常微分方程的相空間變量的初值X的確是獨立于時間變量之外的其他變量而常微分方程的解的確是坐標(biāo)初值變量和時間變量的多元函X()=X(X0,1),在下面將看到常微分方程的代數(shù)動力學(xué)解法,正是利用了這一個微妙的、為人所忽視的事實1.3多變量常微分方程的代數(shù)動力學(xué)解法的正確性下面對代數(shù)動力學(xué)解法的正確性給出一般的證明,即要證明:偏微分方程(1.3)的解(14ab)或(5)式是常微分方程(1.1)的解,而初始變量{X}成為偏微分方程的、除時間變量以外的坐標(biāo)變量.1.3.1證明1:用微分算子代數(shù)運算直接證明把(14a,b)或(1.5)式對時間求偏導(dǎo)數(shù),有dX, (Xo, t)drX,=U(Xo, OL(Xo)Xo =U(Xo DFi(a, Xo),最后一步用到由(13)式得到的下式:i(X)X1=F{(X).利用以下恒等式[L(X),X]=(iX),[,、x=(2x),[,(iX)=(i+x),(1.7a)(x0)x(xo)=∑;((Xx0)x0)=D(x0,X0=X(x,)2(7)U(X0,1)F(a,X0)=F(a,K(r),(17c)可以把(1.6)式變?yōu)?X=F(a,X).這正是常微分方程(11).這就證明了:偏微分方程(13)的解(14a.b或(15式是常微分方程(1)的解,而初始變量X0}成為偏微分方程的除時間變量以外的坐標(biāo)變量.1.32證明2:用廣義劉維方程證明引進L的 Hermite共軛算子:(中國煤化工函數(shù)p(x,)滿足的偏微分運動方程CNMHGwww.scichina.cor中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷以(x,)=(xD=(x)p(x當(dāng)動力學(xué)系統(tǒng)是 Hamilton系統(tǒng)時,計=-,(1.8)式成為劉維方程(X,)=9(xL(X)P(X, t).因此,(.8)式是廣義劉維方程(推廣的劉維方程),適合于一般的自治的動力學(xué)系統(tǒng),包括 Hamilton系統(tǒng)和非 Hamilton系統(tǒng).類似量子物理學(xué)解法,(1.8)式的解為p(X,)=0+(x,1)p(X,t=0),O+(x,)=e,(1.IO)P為分布幾率函數(shù).考慮X對p的一階矩及其時間演化方程為X,()=X, p(X, tdx=x, U*(X, D)p(X,t=O)dxJU(X, I)X)P(X, t=Odx=f(eX)p(X, t=O)dx. (ID)對于點狀初始分布函數(shù)p(X,=0)=(X-X0),(1.1)式成為X(r)=e02xx1(X0,t)=X(t)R()的運動方程正是運動方程(11x,()=;()=e(x0(x0)x0=cxF1(aX)=EF(a,xX().(13)上式的推導(dǎo)用到等式(17)和(1.12)式因此,方程(113正好是常微分方程(11),而方程(1.13)的解(112)正好是常微分方程(11)的解(14a.b)或(1.5)式.這再一次證明了:偏微分方程(1.3)的解(14a,b)或(1.5)式是常微分方程(L.1)的解,而初始變量(X0}成為偏微分方程的除時間變量以外的坐標(biāo)變量1.3,3證明3:用常微分方程的解按時間變量做 Taylor級數(shù)展開證明對于自治的常微分方程(1.1)(a不依賴于時間),按照常微分方程理論,當(dāng)FA(a,X)非奇異可微和具有緊性時,在=0=0的鄰域方程(1.1)必有唯一解X()=X(X0,1).我們假定,該解在t==0的鄰域可做 Taylor展開為x(05x(0+2(1.14)另一方面,由(1.1)和(12)式有中國煤化工CNMHG=X)=F(, X)=LXX i(1.15)SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法579可以證明下面重要等式X1)=Cx1現(xiàn)用歸納法證明上式如果X=x1成立,則可證x)=DX1也成立事實上,由xm=-x1和(11)式有上式的證明用到L作用到常數(shù)上為零1x==0.由于(15)式成立遞推可知,(1.16式一般成立.至此,我們用歸納法證明了X(=Cx1,利用(11)式,(1.16)式可改寫為FLX在r==0處X)(t=0)=(X0)X0,時間有關(guān)的 Taylor級數(shù)解(114)式變?yōu)閤,()=∑2xm(=0)=2∑2P(x0)xm=xxm=0xnx,(18這就證明了:技常微分方程理論所得的時間有關(guān)的 Taylor級數(shù)解在收斂半徑內(nèi)與代數(shù)動力學(xué)解法所得結(jié)果一樣上式表明:x((=0)和X0到無窮階都存在的條件是等價的這一證明告訴我們,無論用常微分方程理論所得的時間有關(guān)的 Taylor級數(shù)解,還是用代數(shù)動力學(xué)解法所得的偏微分形式的 Taylor級數(shù)解,只是在收斂半徑以內(nèi)的局域解.按照常微分方程局域解的擴展和延拓定理,上述 Taylor級數(shù)形式的局域解可以通過延拓,得到許多分片收斂的 piece-like解.這種延拓,類似于解析函數(shù)的延拓,逐步擴展區(qū)間,每個拓展的區(qū)間都有自身的收斂半徑;而常微分方程在有限區(qū)間的解,是由若干個用 Taylor級數(shù)表示的被拓展的 piece-like(分片函數(shù)組成,每個分片函數(shù)都有自己的收斂半徑,這些被拓展的 Taylor級數(shù)解的收斂區(qū)間彼此重迭并覆蓋一個有限區(qū)間.這一點對數(shù)值計算是非常重要的代數(shù)動力學(xué)解法的意義在于,它證明了:任何自治的常微分方程,無論是線性的或非線性的,在解能用 Taylor級數(shù)形式的函數(shù)表示的局域條件下和局域意義上,都存在由分片函數(shù)組成的 Taylor級數(shù)解,而且給出了用偏微分運算計算Taylor:級數(shù)系數(shù)函數(shù)的解析方法從顯式的解析解存在就意味著方程可積這個意義上講,任何自治的、其解可做 Taylor級數(shù)展開的常微分方程都是局域可積和分片可積的通常的可積系統(tǒng)和不可積系統(tǒng)或混系統(tǒng)的區(qū)別可能是:“可積系統(tǒng)”的解可以用一個 Taylor級數(shù)表示,而不中國煤化工個分片收斂的Taylor級數(shù)形式的函數(shù)表示,而分片函數(shù)CNMH體不可積性”或混沌程度”的標(biāo)志,這和量子系統(tǒng)在有限維不可約表示子空間總是“局域可積www.scichina.com580中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷的”(有守恒量子數(shù)完全集)是一致的.從這個角度看問題,“不可積性”或“混沌”是一個整體的概念,在局域考察時則缺乏明確的意義I4用代數(shù)動力學(xué)解法計算常微分方程的解析解的若干實例為了進一步驗證上述代數(shù)動力學(xué)解法的正確性,展示如何用代數(shù)動力學(xué)方法求出方程的解析解,我們用下列8個實例展示代數(shù)動力學(xué)解法所得的結(jié)果與常規(guī)方法所得的結(jié)果是一樣的.這8個實例有 Hamilton系統(tǒng),也有非 Hamilton系統(tǒng),表明代數(shù)動力學(xué)解法對一般動力系統(tǒng)適用(i)一維諧振子:系統(tǒng)的 Hamilton量為H=(p2+q2),運動方程為dH9=3=F9=P, p=(1.19)時間平移算子為L=ah a dH運動方程(1.19)ap aq dq dp dq P ap dq可提升為偏微分方程為X=LX, X=(, p)上述偏微分方程的代數(shù)動力學(xué)解的分量形式為q(9,1D1)=c4A%o=∑上p(,1)21a)p(go, po: t)=elo(g,Po)rPo(1.21b)為此,要計算C(X0)q0和(X0)P,所得結(jié)果為(X0)o=(-1)"qo22E(x)po=(-1)"po,+(x0)p=-(-1)"g,(1.22b)把(1.22ab)代入(1.21ab)式,得到正確的諧振子解為q(9o, Po; t)=go cost+ Po sint, p(go, Po: t)=Po cost-go sin(i)自由粒子運動:系統(tǒng)的 Hamilton量為H=p2,運動方程為H(1.23)時間平移算子為L=p②·運動中國煤化工方程(120),其CNMHG解為(1.21ab)式.現(xiàn)計算i(x0)%和(x。)p0,得到SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—1(X0)%0=P0,D(X0)90=0n≥2),(X0)p=0(n≥1),(1.24)把(1.24)代入(1.21ab)式,得到正確的自由粒子運動解為q(40,Po;n)=qo+p2,p(q0,P;1)=P0(i)自由落體運動:系統(tǒng)的 Hamilton量為H=p2+8q,運動方程為dHdHdF時間平移算子為L=P西吻運動方程(1.25)可提升為偏微分方程(120,其解為(1.21a,b)式.現(xiàn)計算C(X0)q0和D(x0)p0得到i(x0)40=0,E(x0)90=-8,D(x0)q=0(n≥3(1.26a)L(Xo)PoL(Xo)po把(1.26a,b)代入(12la,b)式,得到正確的自由落體解為q 90, Po; t)=qo t pot--gt, p(o, Po; t)=po-gt(i)具有動量相關(guān)勢的振子:系統(tǒng)的 Hamilton量為、、(p+q)+kqp,運動方程為9=3-=Fo= p+kq, p(127)時間平移算子為E=(D+k)-(9+6),運動方程(127)可提升偏微分方程(1.20),其解為(1.2lab)式現(xiàn)計算(X0)q0和P(x0)p0得到E2n(x0)q0=(k2-1”q0,+1(x0)90=(k2-1)y(p0+ka0),(128aL"(X0)P0=(k2-1)”po,D(X0)Po=-(k2-1)"(q+k0),(1.28b)把(1.28ab)代入(1.21a,b)式,得到正確的解析解為q(q0,P0;t)=Po + kqoin a, p(go, Po; t)=Po其中a=√1-k2,當(dāng)k→0.m→1時,回到通常的諧振子解(v)粒子在周期性勢場中的運動中國煤化工2-k運動方程為TrCNMHGwww.scichina.com中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷oh=E=p時間平移算子為L=Msi加運動方程(29)可提升為偏微分方程20)其解為(1.2lab)式.現(xiàn)計算"(X0)q0和(x0)p到5階的表達式如下L(X0)q0=Pu=L Po, L(Xo) 40= Lpo=-k sin qoL(X0)q0=L' Po=-kpo sin go, L(Xo)q0=Lpo=kpo sin go +sin 2goL(Xgo=i po=kPo cos qo +kpo(cos 2qo-2sin2go)(又=如sm時?2sm2-kn(s24-2sn2q).(1.30)由此可以在5階近似下,計算近似解.原則上可以計算 Taylor級數(shù)的系數(shù)到任意階,給出任意階近似下的數(shù)值解.使用 Hamiltion-Jacobi方程求得的解析解為1)q(o, Po, t)=2sin"(mSNI KI+6,m), p(qo, Po, t)=2m,[vkt+8, m],品土k,B=B-k0456=C-1(1.31)2(E0+g)其中SN,CN為 Jacobi橢圓函數(shù),m,δ是初值(4o,p)的函數(shù).級數(shù)解(1.2la,b)式的 Taylor級數(shù)的系數(shù)(130)與用(131)式計算的 Taylor級數(shù)的系數(shù)的關(guān)系為q(qo, Po, t)Dd"p(go, Po, r)(132)d具體計算表明,兩者計算的結(jié)果相同(vi) Huygens振子(雙勢阱振子):系統(tǒng)的 Hamilton量為H=p2-2q2+q4,運動方程為Fa=P, p時間平移算子為L=P3-(4q3-4q),運動方程1.33可提升為偏微分方程(1.20)、其解為(1.2lab式.現(xiàn)計算(X0)9和(X0)p0到三階的表達式如下:L(A中國煤化工CNMHGI)張華,王順金.周期性勢場中經(jīng)典粒子運動的解析解,2006(待發(fā)表)SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—1P(x0)%=Ln0=20-2,(x0)0=2p0=2p0-2p的,3L(X)Po=-4p 2q22q2(134)使用 Hamiltion- Jacobi方程求得的解析解為)q(q0,p,1)=√fDN√2ft+6k]p(90,p,1)=-√2(+E0)SN√2ft+kCN√2f+6k1,(1.35)E0,E0q0 +0,dDN其中SNCN,DN,為 Jacobi橢圓函數(shù).初始條件(o,p)通過(∫,,E)進入方程的解(135).級數(shù)解(1.21a.b)式的 Taylor級數(shù)的系數(shù)(134)與用(1.35)式計算的Taylor級數(shù)的系數(shù)的關(guān)系為o”"q(q0,P0,t)l0m=1的,p具體計算表明,兩者計算的結(jié)果相同(ⅶ)Amod反例1:該例子為非 Hamilton系統(tǒng),其運動方程為:x=y(x)=x213,ν(x)在x=0點不可微,導(dǎo)致在該初始點的解不唯一.通常解法可給出初始點斯=0時的兩個獨立的解:(x)=0和12()。3也可給出與x2()相應(yīng)的通解:x()=+D),但給不出包括x,x2的通解,因Ex0(m=12,3.)存在,故可用數(shù)動力學(xué)方法求解如下:相應(yīng)的代數(shù)動力學(xué)偏微分方程為文=DxL=x23,通解為x()=e“x=∑一x·由上式,當(dāng)石=0時,給出第一個解:x1(1)=0.直接計算有:Lx=x23,2xBx0=0n≥4)代入上述代數(shù)動力學(xué)解給出第二個通解:x(t)=(c+t當(dāng)x(0)=0時,c=0,給出第二個解:x1()=·由此可以看出,代數(shù)動力學(xué)解法給出了與兩類解x()和x2()相應(yīng)的通解,這是偏微分方程中國煤化工首變量在內(nèi)的多CNMHG1)張華,王順金.惠更斯振子的解析解,2006(待發(fā)表www.scichina.com584中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷變量空間求解,給出的解自然要比只包含時間變量的解包含更多的信息.上述計算還表明:速度場在x=0不可微,但Cx在該點卻存在,后者的可微性更好般,對于方程:文=P,當(dāng)呈=n時,用代數(shù)動力學(xué)解法可求得有限項Tayr級數(shù)解;但當(dāng)1>9≠”-時,用代數(shù)動力學(xué)解法可求得無限項 Taylor級數(shù)解(經(jīng)P時間變量變換后,可求得x(t=0)=0鄰域的解).這表明:即使F(x)的某階導(dǎo)數(shù)在x=0發(fā)散,Cx仍然存在 Taylor級數(shù)解仍然存在(ⅷ) armold反例21:該例子仍為非 Hamilton系統(tǒng),其運動方程為xv(x)=x2,由于速度場v(x)增長過快并且非緊,導(dǎo)致映射x(r)=()=g(x)R→R不是微分同胚的.常規(guī)解法給出通解:兩支獨立的解可由初始條件求得:當(dāng)(=0,x=0)=x)時,求得:c=1,x()=,如=∑(h(x<1).這支解要求!xt<1,故可做 Taylor級數(shù)展開.當(dāng)|xot>1時,需從初始條件(>0.x()=)求得:c1+種,x(x1b∑(x-6)(xlt>1),要求x(-1)<1才可做 Taylor級數(shù)展開.代數(shù)動力學(xué)解法如下.在t=0,x(t=0)=x)鄰域的第一支解:從代數(shù)動力學(xué)方程:ⅸ=Lx,L=x20求得在(=0,x(t=0)=x)鄰域的解:0)=e2x=∑x,直接計算給出2x=n!x()=e=∑,x=xxo1t<1).上述解也以可通過下列變換,化為非自治系統(tǒng)的運動方程用代數(shù)動力學(xué)解法得到.令td運動方程變?yōu)榉亲灾蔚?-1x2=i)x,ix)=-12°代為動力學(xué)解為T中國煤化工fari(r'yCNMHGx(t)=Te- 1o=2 dr, atz. dT, L(r )L(E2)(Tn-)E( n )%oSCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—1是時序乘積直接計算給出:jaL)12,jrrL)(巧)x點:)1“,0-(=-(x1/r<1或lx01t<1).因此,用代數(shù)動力學(xué)解法求解相應(yīng)的非自治系統(tǒng),得到完全相同的解.上述解法展示,如何用代數(shù)動力學(xué)解法求解非自治系統(tǒng)常微分方程:當(dāng)L(X,t)中時間變量和空間變量可分離因子而且對時間變量的函數(shù)因子的多次積分可以完成時,時間演化算子的級數(shù)可以求得解析顯式第二支解(xot>1)可以通過求解方程在(0,x(0)=x)的鄰域的解得到.從代數(shù)動力學(xué)的偏微分方程:文=x,8ar,考慮初始條件x()=4,得代數(shù)動力學(xué)解為x0)=c2=∑(b的動,直接計算給出:C為=n!為n=0x()=x∑比x-)1-10(-、(t>111(-b)<1.該局域解的分式表示顯然可拓展到!xo1(-)>1的區(qū)域總之,由于速度場F(x)=x2的非緊性,方程的解分成拓撲分離的兩支,代數(shù)動力學(xué)解法可以得到這兩支局域收斂的 Taylor級數(shù)解,并可以逐步延拓得到所有局域解15 Taylor級數(shù)解的收斂性現(xiàn)在討論 Taylor級數(shù)解(1.4b)式對時間變量t的收斂性.為此考察該級數(shù)第1項和第n項之比為in (xo)=dIn(L'XoLX∑F(X(1.37)由收斂條件:n(x0)7(X0)<1,得Mt的收斂半徑n+1n→"+1;dIn(LX中國煤化工當(dāng)F(x0)是冪函數(shù),其最高次冪為m即CNMHGwww.scichina.com中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷dIn(LF,(X0)XT對于諧振子或具有動量相關(guān)勢的振子∑F1(X0)dIn(LXPo9o=常數(shù),T對具體的系統(tǒng),級數(shù)解的收斂性和收斂半徑,要具體討論.但對于有限階截斷的近似數(shù)值計算,收斂半徑為:T(Xx0,=[n+1要根據(jù)初值X0∑F(xaIn(L Xoi)X和近似階n按上式計算1.6L的本征方程與守恒量任意物理量OxX)的時間演化方程為0X)=2x3x,=0.其解為Ox()-=e(ko)Ox01.i的守恒量C(X)滿足:(x)=LC=0,的本征方程為LOn(X)=1On(X),其零本征矢的集合窮盡了所有獨立的守恒量C=O(n2=0):io2(X)=0.在L的本征解表象中分析動力學(xué)系統(tǒng)的時間演化,有可能深入了解可積系統(tǒng)和不可積系統(tǒng),規(guī)則運動和混沌運動的本質(zhì)區(qū)別17動力學(xué)系統(tǒng)時間演化的微分結(jié)構(gòu)和整體結(jié)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)的時間演化軌道有兩種結(jié)構(gòu):局域的微分結(jié)構(gòu)和整體的積分結(jié)構(gòu).從代數(shù)動力學(xué)的觀點看,這是無窮小生成元的結(jié)構(gòu)和群元的結(jié)構(gòu)在動力學(xué)系統(tǒng)時間演化問題上的表現(xiàn).常微分方程的代數(shù)動力學(xué)解法的優(yōu)點就在于,它完整地描述了這兩方面的結(jié)構(gòu):時間平移算子L是動力系統(tǒng)時間演化的單參數(shù)群的無窮小生成元,描述了時間演化的局域微分結(jié)構(gòu),而時間演化算子U(Ln)則是單參數(shù)群元(對 Hamilton系統(tǒng)為幺正群元),它描述了時間演化的積分軌道的整體結(jié)構(gòu).常微分方程的代數(shù)動力學(xué)解法把動力學(xué)系統(tǒng)的時間演化的單參數(shù)映射gx的抽象映射算子84用單參數(shù)群的生成元的偏微分算子具體表示出來,從而把這種動力學(xué)映射的局域微分結(jié)構(gòu)和整體積分結(jié)構(gòu)用李代數(shù)和李群論的語言完美的表示出來:按李群的指數(shù)化定理,把作中國煤化工算子U(C)用其CNMHG生成元L的指數(shù)化表示出來U(in)=c=∑SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—I587在物理系統(tǒng)的數(shù)值求解時,對連續(xù)統(tǒng)的時間變量要實行離散化的差分近似,對時間演化算子U(L)要按其生成元實行有限項的 Taylor級數(shù)截斷近似這種離散化的差分近似和有限項的截斷近似,要破壞動力學(xué)系統(tǒng)的時間演化群元的局域微分結(jié)構(gòu)和整體積分結(jié)構(gòu)之間的完美關(guān)系:按L的N階截斷雖然保持了微分結(jié)構(gòu),但是卻破壞了整體的和積分的群的結(jié)構(gòu),使得作為群的守恒關(guān)系的、在時間演化中的動態(tài)代數(shù)關(guān)系和物理量守恒定律遭到破壞.幸而,?；辗址匠痰拇鷶?shù)動力學(xué)偏微分方程解法把作為單參數(shù)群元的時間演化算子U(1)用其生成元L表示出來后,其 Taylor級數(shù)的截斷近似的誤差是可以估算的,因而是可以控制的.這就導(dǎo)致了有效的和有實際意義的、物理上保真的代數(shù)動力學(xué)算法值得注意的是,動力學(xué)系統(tǒng)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系是按動力學(xué)規(guī)律進行時間演化的動態(tài)的代數(shù)結(jié)構(gòu)與關(guān)系,不同于通常數(shù)學(xué)家研究的沒有時間概念的靜態(tài)代數(shù)結(jié)構(gòu)與關(guān)系.在動力學(xué)系統(tǒng)中,運動學(xué)變量的代數(shù)結(jié)構(gòu)與代數(shù)關(guān)系,代數(shù)守恒量和守恒關(guān)系,必須在時間演化的動態(tài)過程中加以考察.由于動力學(xué)系統(tǒng)中的代數(shù)元素是隨時間演化的運動學(xué)變量,其時間演化由動力學(xué)(如 Hamilton量趨動,整個系統(tǒng)既有代數(shù)結(jié)構(gòu)問題,又有動力學(xué)問題.因此,處理這種動力學(xué)系統(tǒng)的理論方法被恰當(dāng)?shù)亟凶龃鷶?shù)動力學(xué).如果進一步研究代數(shù)動力學(xué)系統(tǒng)的運動學(xué)代數(shù)所作用的幾何空間(如運動學(xué)代數(shù)所生成的群的流形空間或該群作用的幾何空間),則這種空間的幾何體也會在動力學(xué)的驅(qū)動下發(fā)生變化.這一代數(shù)動力學(xué)系統(tǒng)的守恒量,除了動力學(xué)守恒量外,還有由運動學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)和關(guān)系所決定的幾何學(xué)守恒量.研究在動力學(xué)作用下和在動力學(xué)演化中,代數(shù)動力學(xué)系統(tǒng)的幾何體構(gòu)形隨時間的變化,以及在動力學(xué)演化中系統(tǒng)的幾何學(xué)不變量,就構(gòu)成了一種新的幾何動力學(xué),即動力學(xué)系統(tǒng)中的幾何學(xué) Hamilton系統(tǒng)的辛幾何,正是這種幾何動力學(xué)的一個特例18代數(shù)動力學(xué)36與代數(shù)動力學(xué)算法181單參數(shù)群的代數(shù)動力學(xué)常微分方程的代數(shù)動力學(xué)的偏微分方程解法把動力學(xué)系統(tǒng)問題變成代數(shù)動力學(xué)問題:任何一個動力學(xué)系統(tǒng)都對應(yīng)一個單參數(shù)群的代數(shù)動力學(xué)系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)函數(shù)F(X)對應(yīng)于這個群的無窮小生成元xx)=∑F(x),它描述系統(tǒng)的無窮小時間演化的局域微分結(jié)構(gòu),L作為單參數(shù)群的生成元,按照李群規(guī)則其指數(shù)化就導(dǎo)致描述系統(tǒng)整體積中國煤化工可演化的群元CNMHG0(i)=c=∑p.系統(tǒng)的運動方程就成類似于 Schrodinger方程的代數(shù)動www.scichina.com588中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第力學(xué)方程:X=LX,與量子力學(xué)中的代數(shù)動力學(xué)建立起密切的類比182復(fù)合李代數(shù)動力學(xué)3許多動力學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)F(X)具有進一步的、更細致的代數(shù)結(jié)構(gòu)、如Hamilton系統(tǒng)具有辛代數(shù)結(jié)構(gòu),軌道角量系統(tǒng)具有so(3)代數(shù)結(jié)構(gòu)等等、這些代數(shù)結(jié)構(gòu)是由基本變量如相空間變量{q,P}生成的復(fù)合變量X(q,P)的代數(shù)結(jié)構(gòu)這樣的動力學(xué)系統(tǒng)具有新的代數(shù)守恒量 Casimir守恒量)或群的守恒量如 Hamilton系統(tǒng)的辛幾何守恒量)這時,系統(tǒng)的動力學(xué)演化,像量子系統(tǒng)一樣,仍然是單參數(shù)群,但時間平移的微分算子具有進一步的復(fù)合代數(shù)結(jié)構(gòu),在求解和進行物理分析時可以加以利用,甚至可建立符合代數(shù)動力學(xué)算法如果復(fù)合變量X是相空間坐標(biāo)(qa,Pa)的函數(shù)x1=x2(qn,P2),X1形成一復(fù)合李代數(shù),在 Poisson括號運算下,滿足李代數(shù)關(guān)系(Xi,,ho,p)=C.(141)而系統(tǒng)的 Hamilton量是變量X的函數(shù),H=H(X(q,p).由此,既可以建立相空間(qan,pa)的運動方程:qn={qa,H},pa={pa,H},又可以建立復(fù)合變量x空間的運動方程81,1)=月(x)或X這,2=x0,)(X其解為:x1()=0(Ln)xO,D(i)=c=∑p,x1O0)=x(92(0,2(0).因此,對這樣的系統(tǒng),既可以在相空間(qa,pa)中求解,又可以在復(fù)合代數(shù)空間(X1)中求解.不少 Hamilton系統(tǒng)具有復(fù)合代數(shù)結(jié)構(gòu):一維諧振子具有su(1,1)代數(shù)結(jié)構(gòu)二維諧振子具有sp(4)代數(shù)結(jié)構(gòu)、軌道角動量系統(tǒng)具有so(3)代數(shù)結(jié)構(gòu)等等.下面將看到,用復(fù)合代數(shù)動力學(xué)算法求解軌道角動量系統(tǒng),由于非線性度的降低使數(shù)值解具有更高的精度183代數(shù)動力學(xué)解法與代數(shù)動力學(xué)算法經(jīng)典動力系統(tǒng)的運動方程被提升為偏微分方程以后,就納入了代數(shù)動力學(xué)的理論框架,可以用代數(shù)動力學(xué)方法求解,特別是可積系統(tǒng),能比較方便的求得其解析解阿對于不可積非線性系統(tǒng),可以求得用分片收斂的 Taylor級數(shù)表示的局域解析解;在這個基礎(chǔ)上對 Taylor級數(shù)做有限項截斷近似,進行精度可以控制的任意階精度的數(shù)值計算,這就是下一節(jié)素的代數(shù)動力學(xué)算法(UM).利用時間平移算子L的性質(zhì),可以建立特中國煤化工博 Hamilt系統(tǒng)CNMHGSCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—1589的辛幾何結(jié)構(gòu),設(shè)計出“辛代數(shù)動力學(xué)算法(.利用時間平移算子L的性質(zhì)還可以建立起相空間函數(shù)之間的關(guān)系,設(shè)計出精度達到計算機機器精度的“高精度代數(shù)動力學(xué)算法(eN)”(或稱“全保真代數(shù)動力學(xué)算法”?)2時間演化算子的截斷近似與代數(shù)動力學(xué)算法上節(jié)詳細地介紹了常微分方程的代數(shù)動力學(xué)解法,給出了自治的常微分方程的、用 Taylor級數(shù)表示的、局域收斂的精確的解析解.本節(jié)的目的是要解決常微分方程的數(shù)值求解問題,這就是本節(jié)要介紹的代數(shù)動力學(xué)算法的任務(wù)代數(shù)動力學(xué)算法的目的是要給出常微分方程的精確的數(shù)值解.它是基于常微分方程的代數(shù)動力學(xué)精確解析解,對用 Taylor級數(shù)表示的局域收斂的精確解做有限項截斷,從而設(shè)計出常微分方程的代數(shù)動力學(xué)算法21代數(shù)動力學(xué)精確解的局域性質(zhì)和整體性質(zhì)代數(shù)動力學(xué)精確解的局域性質(zhì)體現(xiàn)在時間平移微分算子L上,而整體性質(zhì)體現(xiàn)在時間演化積分算子0()上:單參數(shù)群的無限小生成元L體現(xiàn)了時間演化的局域微分性質(zhì),而群元U()則體現(xiàn)了時間演化的整體積分性質(zhì)時間平移算子L和時間演化算子U()的性質(zhì)如下:(i)L包含了由方程的結(jié)構(gòu)函數(shù)速度場)F(X)所確定的變量X()的時間演化的微分規(guī)律的全部信息:X1=iX,(i)0()給出有限時刻X()的精確積分解并保持運動常量C(X)的時間平移不變性:X()=U()X0,C(X)=LC(X)=0→C(X()=e(xC(Xx0)=C(X0).(il(n)保持X(q,p)的動態(tài)代數(shù)關(guān)系及其 Casimir量的動態(tài)不變性為了敘述方便、準(zhǔn)確,我們用具有復(fù)合代數(shù)結(jié)構(gòu)的 Hamilton系統(tǒng)來討論問題動力學(xué)時間演化保持初始時刻的運動學(xué)變量的代數(shù)關(guān)系和該代數(shù)的 Casimir量守恒不變,即{X(90,P0,X/(40,Po)}=GXk(9o,po)→,{x(q(,p(t),x(q()p()}=Cnx4(q(),p(),Cnx)= eoCnIXi(0)1=CnxO),因為,對Casimir it C,[X, JF LCn (X))=(Cn[X, q, P)],HIX ( q, P)Ikat(O, p(O)=0以上3條表明:一個動力學(xué)系統(tǒng)的運動學(xué)變量的代數(shù)關(guān)系(包括辛幾何關(guān)系)及其守恒量,是任意時刻t的動態(tài)代數(shù)關(guān)系而不是靜態(tài)的代數(shù)關(guān)系,必須在動力學(xué)支配的時間演化中去考查.從這個中國煤化力學(xué)代數(shù);由于1)王順金.張華物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算CNMH(表)2)王順金,張華物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法:高精度(全保真)代數(shù)動力學(xué)算法,四川大學(xué)內(nèi)部報告www.scichina.com590中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷該代數(shù)的生成元是動力學(xué)變量,因此這樣的系統(tǒng)的動力學(xué)稱為代數(shù)動力學(xué)4即代數(shù)變量隨時間演化的動力學(xué)22精確解的有限項近似和時間差分近似的保真問題雖然(14a,b)式已給出常微方程的精確的、解析的、分段收斂的無窮 Taylor級數(shù)解,但數(shù)值計算只能是有限的.常微方程的數(shù)值解只能用有限項的級數(shù)和有限時間間隔Δt的差分形式來實現(xiàn),這種解的有限項近似和時間差分的數(shù)值實現(xiàn)必然使精確解變成一定精度下的近似解,從而破壞了方程的結(jié)構(gòu)、變量的動態(tài)代數(shù)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的守恒量與運動常量的不變性,造成數(shù)值解對精確的真實解的誤差和失真.如何把數(shù)值解對精確真實解的誤差控制在設(shè)定的精度以內(nèi),是數(shù)值解具有實用價值的關(guān)鍵.按照上兩節(jié)提出的局域保真和整體保真、運動學(xué)代數(shù)幾何保真和動力學(xué)保真并重的思想,實現(xiàn)這種控制的最好辦法是用充分體現(xiàn)方程的局域微分結(jié)構(gòu)的算子去表達方程的嚴(yán)格的、精確的積分解,然后進行保持這種局域微分算子完整性的有限項截斷和時間差分近似,從而可以在一定精度下保持方程的結(jié)構(gòu)、變量的動態(tài)代數(shù)關(guān)系和運動常量的守恒,并在可控制和可估算的精度下破壞上述結(jié)構(gòu)、運動常量和關(guān)系的不變性.代數(shù)動力學(xué)給出的常微方程的嚴(yán)格的、分段收斂的無窮 Taylor級數(shù)解,正是用充分體現(xiàn)方程結(jié)構(gòu)和時間演化微分規(guī)律的時間平移算子讠表達的嚴(yán)格而精確的解析解,因此它成為有限項差分?jǐn)?shù)值計算的基礎(chǔ)221U(t)的N階近似Uy()與N階代數(shù)動力學(xué)算法代數(shù)動力學(xué)算法的特點是,對時間演化算子0x0,1]=e4x)的任何近似必須保持時間平移算子L的整體性因此的N階近似的、最樸素而簡單的代數(shù)動力學(xué)算法0就是0的Tyor級數(shù)的N階截斷近似即()=∑222N階近似0N(△1)的科學(xué)保真度在△t的N階精度下對各種物理量保持的精度為(i)保持軌道X(t)的M的N階精度:X(+△)=Ux(△M)x()=X;(△)N+O((ⅱi)保持能量及其他運動常量的中國煤化工E=H[UN(△)X(t)+O(4rCNMHGEN(△)=E[1-OE(△r(22)SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—I591i)保持X(q,p)的代數(shù)關(guān)系及其 Casimir量Cn[X]在Δt的N階精度下不變由x(q,p)=X(q,p0,△)x+O(△r+),有{X(90,P,△n,x(90,P0、△)y+O2(△r+)=C[xk(9,P,△)+Q2(△n)→X(△,x,(△)=CX4(△)+CO△+)-0(a△+)CX1(△)=CnXO]+On(△r+)結(jié)論:軌道的偏差、能量及其他運動常量的守恒性的破壞,以及X;(q,P)的動態(tài)代數(shù)關(guān)系及其 Casimir量守恒的破壞,均發(fā)生在△r的(N+1)階精度上23 Hamilton系統(tǒng)的精確解與近似數(shù)值解Hamilton系統(tǒng)是最重要的動力學(xué)系統(tǒng),需要專門討論231 Hamilton系統(tǒng)的動力學(xué)演化保持辛結(jié)構(gòu)7-9下面給出本節(jié)要用到的 Hamilton系統(tǒng)動力學(xué)時間演化保持辛幾何結(jié)構(gòu)的證明由運動方程(設(shè)x是t時刻的變量,X是t+△時刻的變量)x=HdXdXdxdXdx, dxd這導(dǎo)致保辛結(jié)構(gòu)axT(+△)Jdx(t+△r)=J(25)此處r≤/0Xa,x(26)a,P ap上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置.(26)式也可以從2形式辛內(nèi)積守恒得到23.2 Hamilton系統(tǒng)的代數(shù)動力學(xué)解的時間演化算子D(△t)及其N階近似的保辛結(jié)構(gòu)問題由于0(△)給出精確解,故它自動Ⅵ凵中國煤化工持辛結(jié)構(gòu)不變而時間演化算子0(△)=e的N階近CNMHG一的N階近似下成592中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷證明如下:由X=y(△)x(t)+O△Anx+),有aX=oXy+O+t(△)由(25)和(26)式有a,x a,x)o /)/a,x,X0PaP(-10八(。P。I Oa, XN a,XN(o 1(,XN a,x,y+t(△0BaP)(-10八( a,PN d,PA)(-Ox+(△)0→(2.7)a, XN d,(o 1aXN aXN,anP)人(-l0八(aRan0 I由于上式M的項和△N+的項是線性獨立的且對任意M成立,故必有下述結(jié)論N階近似Ux(△)保證辛結(jié)構(gòu)(2.5)式在A的N階近似下成立下面對時間演化算子U(△)及其N階截斷近似的保辛問題給出另一種更嚴(yán)格的證明(i)時間演化算子保辛的形式:對相空間d()的正則變換后的矢量函數(shù)d引u(1),構(gòu)造辛內(nèi)積2=ds [u(t)JdElu(r)]=dsi[u(t)J ds [u(r)](28a)由運動方程(11)正則變換協(xié)變性,可證辛內(nèi)積守恒m2=ds [u(t)JdSu(t)]=ds [u(o)Jdstu(0)1用時間演化算子表示內(nèi)積守恒Q=dsT[u(O)JU()JU(t)dsu(0)]=ds [u(O)Jdsu(0).(28c)Su(t)]=U()dsu(O)(28d)由此可得時間演化算子保辛應(yīng)滿足的公式U(X, I)JU(X, t)=J(29a)U(x:)=e4=∑i,L=0xHJ(29b)0(x)=el=∑(L,i=0Jo,H(2.9c)中國煤化工(i)可證下面幾個有用的公式CNMHGJ1=-lJ,J(L)”=(-)"(L1)”J(210a)SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—1593J()=U(-1)J=(0)-(t)J,(2.10b)(2.10ab)式對討論截斷近似很有用(ⅲi)時間演化算子N階截斷Dx()的保辛問題,用上述公式可證:i)U2p()保辛到2+1)階,因為直接計算給出U2n(x,1)JU2(1)=J+O2P+2),i)U21()保辛到(2p+1階,因為直接計算給出Up+1(,)JU2p+(z,1)=J+O(2p+2).故偶數(shù)階截斷效率高些(iy)用附加項改進保辛精度.以4階截斷近似U4()為例:i)修正的U46保辛到7階精度,因為直接計算給出:046(0)=U4(1)-,046(X,)J1046(X,1)=144J+O().ⅱ)修正的U8保辛到9階精度,因為直接計算給出:04s()=9(0B,Us(X,t)U48(X,)=J+O().上述修正不改變軌道和能量的精度(ⅴ)用附加項改進能量和其他守恒量的精度,設(shè) Hamilton系統(tǒng)的能量或其他動力學(xué)系統(tǒng)的守恒量為E(X)=E0=cons.,xN(+△)=0x(X(t),△n)X()EN(+A)=E(X;(+△),△EN(t)=EN(t+△Δ)-E,計算△r階的坐標(biāo)修正小量e1(△N)(請注意△EN()為△rN+小量)為E(△r)=△Ey(r修正前的軌道X(t+△)經(jīng)修正后變?yōu)镹(t+△n)=X1(+△r)-E{(△rN+4)其中XN(t+△)由U(△r)生成.具體化到相空間,有q(213)PEg=(H(aN, PN")中國煤化工CNMHGscichina. com594中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷dH(, p)Ep=(H(9N,PN)-Eo)修正后的能量H(",p")將以更高的精度逼近E,由于修正項是O(△rN+)級的小量,因而修正后的軌道(N(t),px(1)對于精確軌道(q(t),p())的精度和保辛結(jié)構(gòu)的精度均不改變24單參數(shù)群代數(shù)動力學(xué)算法和復(fù)合代數(shù)動力學(xué)算法241單參數(shù)群代數(shù)動力學(xué)算法任何動力學(xué)系統(tǒng)都可建立單參數(shù)群代數(shù)動力學(xué)算法:L就是單參數(shù)群這時間演化算子U()的無窮小微分生成元(即時間平移算子),而單參數(shù)群元U()是L的指數(shù)化,對其截斷就是單參數(shù)群代數(shù)動力學(xué)算法.前面介紹的都是單參數(shù)群的代數(shù)動力學(xué)算法242復(fù)合代數(shù)動力學(xué)算法如果 Hamilton系統(tǒng)有復(fù)合代數(shù)結(jié)構(gòu),即 Hamilton量是復(fù)合代數(shù)生成元X2(q,p)的函數(shù),則除了辛算法外,還可以有復(fù)合代數(shù)動力學(xué)算法,這一算法可以充分利用代數(shù)動力學(xué)方法實現(xiàn)解析方法與數(shù)值方法的巧妙結(jié)合,降低方程的非線性度,大大提高計算的效率與精度復(fù)合代數(shù)動力學(xué)算法的設(shè)計如下(i)確定H的復(fù)合代數(shù)結(jié)構(gòu):H(q,p)=HX(P(X,x}=CXk,其中(AB)為 Poisson括號.如果q2和m2是代數(shù)生成元,則對此生成元開方可直接計算qa和pa(ⅱ)建立(X}的運動方程:x;={X,Hx}}=FX],其中結(jié)構(gòu)函數(shù)F(x)的某些項的非線性度比(q,P)相空間中的運動方程的結(jié)構(gòu)函數(shù)f(q,P)的非線性度低i)把{x;}的運動方程提升成偏微分方程XdX[X, tatLx]x,E=∑FX(iv)偏微分方程的解為XIxo,=U[X,1Xx0=c“ 0 X(v)按時間演化算子U[X0,1中國煤化工CNM法:0的N階算法的算子O為0=∑P,這一算法的精度如下:i)在的N階精度下SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法I595保持變量X()及其復(fù)合代數(shù)結(jié)構(gòu)的逼真度.設(shè)精確解為X(1),其N階近似為x=X(qw,pw),則X()=XN()+O(△r),x,x}}=CXx+(△)i)在△t的N階精度下保持能量H(t+△)和 Casimir量Cnx1]守恒:ENH(qN,pN)=E-O+(△1),CX△M)=Cn[XO)-OnN(△)(ⅵi)如2.32節(jié)中iv)、v)一樣,可以通過附加項使保持代數(shù)結(jié)構(gòu)或保持能量守恒的精度提高(vi)H的復(fù)合代數(shù)結(jié)構(gòu)降低了H的某些項的非線性度,這是復(fù)合代數(shù)算法的優(yōu)點和精度提高的原因2.5軌道幾何保真與軌道動力學(xué)保真通常所說的保辛是軌道的幾何保真,軌道運動速率保真是軌道的動力學(xué)保真2.5.1軌道運動速率保真代數(shù)動力學(xué)算法保持軌道的無窮小時間演化(平移)算子L的完整性,因而也在比軌道運動低一階的近似下保持軌道運動速率(軌道切矢量)逼真性軌道運動速率的運動方程為上式表示:若軌道(t)=Uy(t)z精度是(t),則由該軌道計算的速率()=i01()z的精度是Or-)2.5.2軌道運動方程與軌道速率運動方程及其截斷解的自洽性從代數(shù)動力學(xué)的截斷的軌道解(1),可以自洽地導(dǎo)出軌道速率的截斷解為a()=e2z,N()=0N(),=Lez,()=L0().(215)結(jié)論:代數(shù)動力學(xué)算法基于時間平移算子的完整性,在做到軌道的近似保真的同時,也兼顧到軌道速率的近似保真.2.53軌道精度的另一種估算法運用代數(shù)動力學(xué)的規(guī)范變換和規(guī)范自由度4,可以對軌道精度提供另一種估算,從而加深對代數(shù)動力學(xué)算法的理解.對代數(shù)動力學(xué)形式的運動方程()=Lz()作規(guī)范變換為z(1)=0()zm中國煤化工在規(guī)范參考系CNMHG中運動方程為元(x)=D2(),時間平移算子變?yōu)榱?L=0-140-0-b,0=中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷L-L=0,相點靜止不動:z(t)=0,z(t)=2(0),但在原來參考系中,相點按時間演化算子運動:z(t)=U()z(0)=U(t)z(0),考慮U的N階近似產(chǎn)生的規(guī)范變換=b2i0n-02l,0=iy-(n-0)=i02b0(N)()=N)其中y(=∑P,0。()=1,.由此可見在規(guī)范參考系中,由于時間平移算子N是O(1)階小量,故相點的速率是Or)階小量,相點的運動軌道是Ot+)階小量:(1)=D20)=O(~),z()=2(0)+O(r+).返回到原來的參考系后,z()=0y()N()=U()0)+0t+).上式表明,N階近似軌道zx()準(zhǔn)確到r次,誤差為O(4)階小量,與原來的結(jié)論一致3代數(shù)動力學(xué)算法與辛算法和 Runge- Kutta算法的關(guān)系代數(shù)動力學(xué)算法是獨立于辛算法和 Runge-Kuta算法的第三種算法這三種算法都致力于常微分方程的數(shù)值求解.研究表明,它們之間既有密切的關(guān)系,又有實質(zhì)性的區(qū)別.本節(jié)正是要研究這種聯(lián)系和區(qū)別,下面分別予以討論3.1代數(shù)動力學(xué)算法U()的N階截斷近似UN()導(dǎo)致N階代數(shù)動力學(xué)算法.代數(shù)動力學(xué)算法的特點是,對時間演化算子Ux0,=ex的任何近似必須保持時間平移算子L的整體性.因此,U的N階近似U即N階代數(shù)動力學(xué)算法,就是對U的 Taylor級數(shù)做N階截斷近似即0,X(xo,)=Ux(1)X0=∑_(X)Xo,由軌道的按時間t的 Taylor展開,有n!"0,C(xnX=4"x-0.(32x(xn)=∑rx由于代數(shù)動力學(xué)的時間演化算子的N階近似就是解對時間變量的 Taylor級數(shù)展開的N階近似.據(jù)此可以確定 Taylor級數(shù)展開的收斂半徑、估算余項的大小和N階近似的精度應(yīng)當(dāng)指出,上述基于時間演化算子似的代數(shù)動力學(xué)算法是顯式算法.對于 Hamilton系統(tǒng),還可以設(shè)計中國煤化穩(wěn)式的代數(shù)動力學(xué)算法-辛代數(shù)動力學(xué)算法CNMHG代數(shù)動力學(xué)算法有3個特點:i)強調(diào)動力學(xué)系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)(包括局域微分SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—I597生成元結(jié)構(gòu)和整體積分群的結(jié)構(gòu)),并使動力學(xué)系統(tǒng)運動方程的結(jié)構(gòu)問題和相應(yīng)的解的時間演化的映射算子的結(jié)構(gòu)問題具體化、定量化為偏微分算子的動態(tài)代數(shù)結(jié)構(gòu)問題和單參數(shù)李群問題,因而可以用代數(shù)和群論的方法加以研究;ⅱ)在數(shù)值計算中強調(diào)保持這種動態(tài)代數(shù)結(jié)構(gòu),即強調(diào)代數(shù)結(jié)構(gòu)的動態(tài)保真,由于代數(shù)與幾何的一致性,也就強調(diào)了與該代數(shù)對應(yīng)的群所作用的空間的幾何的動態(tài)保真i)在數(shù)值計算中還強調(diào)動力系統(tǒng)守恒量的動力學(xué)保真,即盡可能保持動力學(xué)演化的單參數(shù)群的精確度.總之,代數(shù)動力學(xué)算法是一種兼顧代數(shù)與幾何保真和動力學(xué)保真兩者的保結(jié)構(gòu)算法.代數(shù)動力學(xué)算法的名稱和它的實際內(nèi)涵是一致的:代數(shù)與幾何保真和動力學(xué)保真的兼顧與并重,體現(xiàn)了這一算法的基本精神與內(nèi)311N階近似UN(△)的物理保真度在M的N階精度下對各種物理量的保真度分別是i)保持軌道X/(1)的M的N階精度為(ⅱi)保持能量及其他運動常量的△的N階精度:E=HUN(△)X(1)+0△r)=HUN(△)x(t)+EOE(Ey(△M)=E[1-O(△r+)(3,4)ii)保持X(q,p)及其動態(tài)代數(shù)關(guān)系及其 Casimir量Cn[X]的M的N階精度由X(q,p)=X1(q0,po,△A)x+O1△r),有x(02.x9.)+(△y)=C1x(,14+④y)→X(△,x(△)y=C4Xk(△M)y+C2O4(△r)-0(x+),(353)CnX(△)y= CnIX, (O)]+On(△r)(3.5b)總之,動態(tài)近似軌道對于精確軌道的偏差、能量及其他運動常量的守恒性的破壞,以及X(q,p)的動態(tài)代數(shù)關(guān)系及其 Casimir守恒量的破壞,均發(fā)生在的(M+1)階精度上.上述關(guān)于代數(shù)動力算法精度的一般結(jié)論,為下文的4階算法的計算機實驗所證實.下面從李代數(shù)、李群和代數(shù)動力學(xué)算法的觀點分析辛幾何算法和 Runge-Kuta算法32辛幾何算法7-引中國煤化工Hamilton系統(tǒng)的辛映射為x;(r)=CNMHG(x0,1)xo,以芊算法的N階近www.scichina.com中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷似為xS()=g;(X0,1)=Sy(X0,1)X0為了便于與代數(shù)動力學(xué)算法比較,我們對辛算法引進了辛映射算子S及其N階近似SN辛算法的設(shè)計是:使得辛算法的N階近似與代數(shù)動力學(xué)算法的N階近似的關(guān)系為S,(Xo, n)Xo=UN(Xo, t)Xo+0p+I(PsN)(r),鑒于S,(Xo, D)Xor=X(), UN(Xo.r)Xoi=X, (r).因而辛算法的N階軌道與代數(shù)動力學(xué)算法的N階軌道的關(guān)系是X N(O=X +Osp+I(p),(3.19a)q(+h)=gR()+b(k0)+2x2)+2k)+k()(3.19b)上述關(guān)于 Runge-Kuta算法與代數(shù)動力學(xué)和辛算法關(guān)系的一般結(jié)論,為下文4階算法的計算機實驗所證實應(yīng)當(dāng)強調(diào)指出, Runge-Kuta算法經(jīng)過一百多年的使用,積累了豐富的經(jīng)驗,它的算法簡明,適應(yīng)力強,復(fù)雜性低,運算速度快,在動力系統(tǒng)的短期行為的研究中被人們廣泛使用.孫耿等人把 Runge-Kutt算法辛幾何化,建立了辛Runge-Kuta算法1,克服了耗散問題在辛代數(shù)動力學(xué)算法一文中,辛 Runge-Kutta算法與代數(shù)動力學(xué)算法的關(guān)系得到比較透徹的了解34代數(shù)動力學(xué)算法與其他李代數(shù)和李群方法的比較代數(shù)動力學(xué)算法與李代數(shù)方法、李群方法、李級數(shù)和李變換方法以及形式動力系統(tǒng)理論和形式冪級數(shù)(李級數(shù))方法有著深刻的聯(lián)系與重要的區(qū)別,本節(jié)對它們進行比較Sophus Lie提出并研究李代數(shù)和李群的初衷是借助于對稱性方法討論微分方程的積分求解問題.在這一點上,代數(shù)動力學(xué)算法與李代數(shù)方法、李群方法、李級數(shù)和李變換方法以及形式動力系統(tǒng)理論和形式李級數(shù)方法一樣,都是秉承Sophus Lie的精神,運用李代數(shù)和李群的理論方法去研究常微分方程的積分求解問題.就秉承 Sophus Lie的思想而言,它們屬于同一個家族.但是,代數(shù)動力學(xué)算法在貫徹Lie的精神的具體方法和具體步驟上,與其他4種方法不同,這些不同則成為代數(shù)動力學(xué)算法異于其他方法的特點34.1代數(shù)動力學(xué)算法建立于1993年的代數(shù)動力學(xué)4的基本精神是用李代數(shù)和李群方法求解量子物理中的 Schrodinger偏微分方程,討論其可積性和守恒律問題,后來發(fā)現(xiàn)它對求解量子統(tǒng)計系統(tǒng)的主方程、經(jīng)典輸運方程如 Fokker-Planck方程)和經(jīng)典動力系統(tǒng)的常微分方程也很有效6.代數(shù)動力學(xué)算法正是在用代數(shù)動力學(xué)方法求解經(jīng)典動力系統(tǒng)的常微分方程的基礎(chǔ)之上發(fā)展起來的.代數(shù)動力學(xué)算法在運用李代數(shù)和李群的理論方法去研究常微分方程的求解問題時,有下述幾個不同于其他李代數(shù)和李群方法的特點中國煤化工(i)首先,把常微分方程提升為相CNMHG方程因而將其納入代數(shù)動力學(xué)框架,相應(yīng)地引進了描述東阢無限小時間平移的偏徽www.scichina.com中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷分算子(特殊地把 Hamilton系統(tǒng)的相空間的經(jīng)典李導(dǎo)數(shù)提升為函數(shù)空間的時間平移偏微分算子),建立起經(jīng)典動力系統(tǒng)常微分演化方程與量子動力系統(tǒng)偏微分演化方程(如 Schrodinger方程)之間的對應(yīng),并運用量子物理演化方程初值問題的求解方法得到了用單參數(shù)李群表示的偏微分方程的局域精確解(i)用3種方法(偏微分算子方法,初始分布為點源的廣義劉維方程的解的矩方程方法和常微分方程解的時間 Taylor級數(shù)展開分析法)證明了:在廣義相空間的線性函數(shù)子空間,上述偏微分方程的解就退化為相應(yīng)的常微分方程的局域解,而初始坐標(biāo)變量和時間變量成為彼此獨立的變量;把該局域解表示成時間的Taylor級數(shù)的解析式,其 Taylor級數(shù)的系數(shù)就成為初始坐標(biāo)的函數(shù),給出了用限小時間平移偏微分算子計算 Taylor級數(shù)系數(shù)的解析公式;討論了局域解的收斂問題,根據(jù)常微分方程的相空間局域解的延拓理論,討論了相空間整體解的性質(zhì)(ii)分析了把初始坐標(biāo)變量和時間變量看做彼此獨立的變量的優(yōu)點:可以從偏微分方程的解的角度討論常微分方程的解的性質(zhì)(相當(dāng)于從高維空間看低維空間的問題,可以利用相空間的時間平移偏微分算子建立起相空間算子之間和相空間函數(shù)之間的重要關(guān)系.這一優(yōu)點,不僅在 Arnold反例(ⅶ)式中得到顯示,而且對于樸素代數(shù)動力學(xué)算法格式(UN)的進一步改善與發(fā)展,建立起保持辛幾何結(jié)構(gòu)的辛代數(shù)動力學(xué)算法格式(SUM)和數(shù)值計算精度達到計算機機器精度的高精度代數(shù)動力學(xué)算法或全保真代數(shù)動力學(xué)算法格式(eUN),都起了關(guān)鍵的作用(ⅳv)代數(shù)動力學(xué)算法格式建立在局域精確解的時間演化算子(李群)的 Taylor級數(shù)解析式的截斷近似的基礎(chǔ)之上,強調(diào)了箅法格式必須保持時間平移偏微分算子(李群生成元)的完整性,不允許對這一算子做進一步的分解(如辛算法對動能項和勢能項的分解,李代數(shù)方法對 Hamilton量的不同齊次度的多項式勢能項的分解等等),并以嚴(yán)格的精確解為標(biāo)準(zhǔn)討論了各種算法格式的精度.即使對于改進的代數(shù)動力學(xué)算法如辛代數(shù)動力學(xué)算法(SU)和高精度代數(shù)動力學(xué)算法(eUN),也堅持了時間平移偏微分算子的完整性的原則(V)代數(shù)動力學(xué)算法引進了量子物理中的許多重要概念與方法,如表示動力系統(tǒng)的無限小局域徽分演化的時間平移算子和表示系統(tǒng)有限整體積分演化的時間演化算子,使得問題的求解和對問題物理層面的思考能從量子物理學(xué)方面有所借鑒,因而變得更加直觀深入.同時,它明確地用李代數(shù)生成元描述動力系統(tǒng)的局域微分演化,用李群描述動力系統(tǒng)的整體積分演化、把 Sophus Lie關(guān)于李代數(shù)和李群的微分和積分的數(shù)學(xué)思想中國煤化工的時間演化的物理圖像緊密地結(jié)合起來,較好地體現(xiàn)了CNMHGSCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法—I605342李代數(shù)方法Dragt等人13-18)針對加速器設(shè)計和離子光學(xué)等系統(tǒng),發(fā)展了用李代數(shù)方法求解常微分方程的理論方法. Dragt等人提出的李代數(shù)方法是一種建立在經(jīng)典Poisson括號基礎(chǔ)之上的、利用徹擾論來研究 Hamilton系統(tǒng)近似相流的方法.最早由Hori和 Garrido引進的李代數(shù)方法簡化了傳統(tǒng)微擾論的形式和計算.通過采用李代數(shù)方法,消除了傳統(tǒng)微擾論中出現(xiàn)的混合變量函數(shù),并使微擾級數(shù)成為重復(fù)出現(xiàn)的 Possion括號,可以迭代求解. Deprit進一步發(fā)展了這種方法,利用單參數(shù)李群得到了n階微擾級數(shù) Dragt和Finn在 Deprit的基礎(chǔ)上,將表示相流映射的李變換按因式化公式分解,利用迭代方法對因式化因子進行微擾求解.在利用李代數(shù)方法對非線性 Hamilton系統(tǒng)的研究中, Dragt和 Forest等人利用上述方法研究動力系統(tǒng)的相流的近旁的軌道,提出了近旁軌道的李代數(shù)的數(shù)值計算方法,利用分解定理將單參數(shù) Hamilton相流映射分解為 Hamilton量中具有不同階的齊次多項式項所對應(yīng)的相流變換的乘積.在求得平方齊次 Hamilton量所對應(yīng)的相流的嚴(yán)格解的基礎(chǔ)上,通過建立相互作用表象,逐步得到 Hamilton量中具有不同階的齊次多項式項所對應(yīng)的相流變換. Steinberg在 Dragt等人工作的基礎(chǔ)上近一步提出了一般性的李級數(shù)和李變換方法,用來得到 Hamilton系統(tǒng)的微擾解和解析解上述李代數(shù)方法本質(zhì)上是一種基于經(jīng)典 Poisson括號的微擾論方法,它主要用于對已知給定軌道的偏離做微擾計算.在應(yīng)用到數(shù)值計算中,這種李代數(shù)方法般需要把 Hamilton量中具有不同階的齊次多項式項所對應(yīng)的相流變換轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的超矩陣進行計算.這與代數(shù)動力學(xué)算法基于量子物理中的代數(shù)動力學(xué),即基于偏微分方程的解的函數(shù)空間的偏微分運算并保持時間平移偏微分算子的完整性和基于 Taylor級數(shù)系數(shù)函數(shù)的微分計算完全不同.因為代數(shù)動力學(xué)算法基于偏微分運算(作用于無窮維空間),不需要引進矩陣運算,不僅適合 Hamilton系統(tǒng)也適合非 Hamilton動力系統(tǒng),不僅適合多項式非線性系統(tǒng),也適合非多項式非線性系統(tǒng).343李群方法以 Iserles等人叫為代表(吸收了馮康先生的思想202),基于一般流形和群流形上的切向量場誘導(dǎo)的曲線,抽象而簡潔地闡述了 Sophus Lie關(guān)于用李代數(shù)和李群方法求解微分方程的理論要義,其基本點在于:用更一般的流形空間去代替整個R空間,用李群確定的基本運動代替而保排方程的對稱性和守恒律,減小數(shù)值計算的誤差積累.他們闡述了中國煤化工李代數(shù)與相流映射的關(guān)系:即對流形上的切向量場誘CNMH〔長系.所有這些關(guān)于Lie的一般理論的討論與我們的討論是一致的,都忠實地遵循了 Sophus Liewww.scichina.con606中國科學(xué)G輯物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)第35卷的思想;所不同的是,他們抽象而形式地表述了Lie的思想,而我們則借助于函數(shù)空間的偏微分時間平移算子具體地實現(xiàn)了Lie的同樣的思想.對矩陣群和線性切向量,他們討論了相流映射的具體計算;對非線性系統(tǒng),只討論了相流映射的近似數(shù)值計算方法,只在上述抽象理論的應(yīng)用實例中具體展示了這些方法.由于我們把常微分方程的求解問題提升為相空間的函數(shù)空間的偏微分方程的初值問題,引進了局域時間平移偏微分算子,因而能夠給出局域相流映射的具體計算公式即時間演化算子用時間平移偏微分算子表示的單參數(shù)李群公式,不僅適合線性動力系統(tǒng),也適合多項式和非多項式非線性動力系統(tǒng)Olver12根據(jù)Lie的思想,具體研究了微分方程在群變換下的不變性質(zhì)和與之對應(yīng)的守恒量,并提出了求解守恒量的具體方法.對在群變換下不變的微分方程可以利用廣義 Noether定理得到相應(yīng)的守恒量.該方法的主要目的是要得到系統(tǒng)的守恒量,并不關(guān)心微分方程的解的形式和數(shù)值算法.常微分方程的代數(shù)動力學(xué)解法和算法,以另一種方式討論動力系統(tǒng)的守恒量問題:時間平移偏微分算子的零本征值所對應(yīng)的函數(shù)空間,正是動力系統(tǒng)的守恒量仿射的子空間344李級數(shù)和李變換方法以 Steinberg}2)為代表所用的方法,用李級數(shù)和李變換方法研究經(jīng)典Hamilton系統(tǒng)的正則常微分方程的解析求解和微擾近似求解.它基于相空間的經(jīng)典 Poisson括號及其性質(zhì),定義了李導(dǎo)數(shù)并系統(tǒng)地研究了李導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).然后,用李導(dǎo)數(shù)來定義李級數(shù)和李變換,并用李變換表示經(jīng)典 Hamilton系統(tǒng)的正則方程的形式解.他還詳細研究了許多有用的指數(shù)化算子的因式化乘積分解(廣義BCH公式)和微分公式.在用該方法具體研究 Hamilton正則方程的求解時,仔細研究了勢場為齊次多項式的經(jīng)典 Hamilton系統(tǒng),把表示相流映射的李變換按因式化公式分解為 Hamilton量中具有不同階的齊次多項式所對應(yīng)的李變換的乘積.用上述技巧,討論了具有各種齊次多項式項的非線性 Hamilton量的簡化和微擾求解.首先,討論了平方齊次 Hamilton量的可積性,給出了求得其解析解的方法與步驟,然后以平方齊次 Hamilton量的嚴(yán)格解為基礎(chǔ),建立起高階齊次多項式項修正的微擾方程Steinberg的李級數(shù)和李變換方法的所有上述討論,都是在經(jīng)典相空間、基于Poisson括號對經(jīng)典 Hamilton正則方程進行的,只適合經(jīng)典 Hamilton系統(tǒng)(后來有人把該方法推廣用于一般 Poisson系統(tǒng).它側(cè)重于經(jīng)典正則方程的解析求解和微擾求解,不關(guān)心也沒有建立起數(shù)值求解的差分格式.它與基于量子物理的代數(shù)動力學(xué)、在提升的偏微分方程的解的函數(shù)中國煤化工確求解和數(shù)值求解的代數(shù)動力學(xué)算法十分不同,后者基CNMHG學(xué)解法,適合于一般的動力系統(tǒng).但是, Steinberg的許多算子公式具有參考價值而且是十分有用SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王順金等:物理計算的保真與代數(shù)動力學(xué)算法I的34.5形式動力系統(tǒng)理論和形式李級數(shù)方法馮康先生的形式動力系統(tǒng)理論和形式(冪級數(shù))李級數(shù)方法202,把相流映射與動力系統(tǒng)矢量場的形式李級數(shù)展開聯(lián)系起來,在矩陣表示中,討論了R空間的矢量場在李括號下的無限維李代數(shù)及其指數(shù)映射-單參數(shù)李群的性質(zhì),特別是矢量場的近0形式李代數(shù)和近1形式李代數(shù)及其形式李群的性質(zhì).在此基礎(chǔ)上討論了形式動力系統(tǒng)常微分方程)數(shù)值求解的差分格式生成的近似映射對于嚴(yán)格相流映射的精度,近似差分矢量場形式李代數(shù)與其形式李群的關(guān)系,以及近似差分矢量場形式李代數(shù)的保結(jié)構(gòu)問題,指出了 Runge-kutt算法產(chǎn)生耗散的原因和辛算法保結(jié)構(gòu)的條件.值得指出的是,馮康先生所討論的上述重要問題,他關(guān)于數(shù)值近似映射精度的估算,以及關(guān)于差分近似映射保結(jié)構(gòu)問題的討論,與本文從不同角度對這些問題的討論和所得的結(jié)論是十分一致的.所不同的是,馮康先生是在經(jīng)典相空間、運用經(jīng)典形式動力系統(tǒng)和經(jīng)典形式李代數(shù)在矩陣表象中討論問題,而代數(shù)動力學(xué)算法則基于量子物理中的偏微分演化方程的代數(shù)動力學(xué),在提升的偏微分方程的解所生成的函數(shù)空間、運用偏徽分算子討論問題;馮康先生關(guān)心數(shù)值計算中近似映射的保結(jié)構(gòu)性質(zhì),而代數(shù)動力學(xué)算法首先關(guān)心局域精確解的獲得,然后在局域精確解的基礎(chǔ)上建立起各種不同近似程度約數(shù)值差分計算格式.此外,代數(shù)動力學(xué)算法獲得了具體的(而非形式的常徹分方程的用偏微分形式表示的局域精確解、基于局域精確解的偏微分表示并利用廣義相空間的算子和函數(shù)之間的關(guān)系,建立了各種不同近似程度的數(shù)值計算的差分格式(如UM,SUmUN等,并在大量而系統(tǒng)的計算機實驗中驗證了這些格式的有效性致謝感謝中國科學(xué)院理論物理研究所郭漢英教授對我們這項工作約關(guān)心和支持;中國科學(xué)院計算數(shù)學(xué)研究所的秦孟兆、唐貽發(fā)、孫耿教授,中國科學(xué)院理論物理研究所吳可和杜孟利教授,中國科學(xué)院高能物理研究所鞠長勝教授,四大學(xué)數(shù)學(xué)系的李安民、呂濤和張偉年教授,對我們的工作提出許多中肯的批評和有益的建議,作者在此對他們表示衷心的感謝參考文獻1VL.阿諾爾德.常微分方程.北京:科學(xué)出版社,20012 Arnold V I. 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