第22卷第1期工程數(shù)學學報2005年02月CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSFeb.2005文章編號:1005-30852005)01-0167-04N重極限點解分支的數(shù)值分析*王賀元,徐美進,王偉志,襲著有(遼寧工學院數(shù)理系,錦州121001)摘要:對N階分歧問題極限點解分支的數(shù)值逼近問題進行了研究。給出了解分支的結構及求解分支的擴充系統(tǒng),證明了擴充系統(tǒng)解的存在性,討論了解曲線的數(shù)目,并給出了誤差估計關鍵詞:N重極限點;分歧方程;數(shù)值分析分類號:AMS(200065J15;47H15:58F14中圖分類號:O175.29;O17791文獻標識碼:A1N重極限點處解分支的結構及求解分支的擴充系統(tǒng)方程奇異點處解的數(shù)值逼近是分歧數(shù)值計算的焦點,文獻(1]討論了分歧點處解分支的數(shù)值逼近問題,本文討論另一類奇異點,極限點處解分支的數(shù)值逼近問題設E是 Hilbert空間,G:E×R→E是非線性c3映射,考慮參數(shù)獨立方程假設點(u,0)∈E×R滿足(H1)Go:=G(u0,Ao)=0這里及以后的下標0均表示相應的函數(shù)或算子在(0,0)點的值(H2)DGo是指標為0的 Fredholm算子,0為其一個代數(shù)重數(shù)為N的特征值。(H3) dim(ker(Du)=N(H4) DAGo Range(D, Go在(H1)-(H3)假設下,方程(1)稱為N階分歧方程,如果條件(H4)成立,(u0,)0)稱為方程(1)的N重極限點。下面我們討論N重極限點(uo,A)處解分支的結構及其數(shù)值逼近,所用符號D,D2,Dx,…分別代表全導數(shù)或相應的偏導數(shù),由 Fredholm算子理論可知,存在p,∈E,=1,2,…,N,使得E1=ker(D2G0)=span{1,92,…,N}(9,9)=6E1= ker(D Go)=span(1, /2,., Nvi, vi)=dijE2=Range(D Go)=alue (u, api)E2= Range(D,Gt){ulu∈E(u,p)=01≤i≤N}E=E1⊕E2=E1⊕E2收稿日期:2002-11-26.作者簡介:王賀元(1963年3月生),男,博士,教授,研究方向:分歧理論及其數(shù)值分析基金項目:國家重大基礎研究專項基金(973)(G19992801-7);遼寧工學院博士啟動基金中國煤化工CNMHG第22卷其中D2G是DCo的共軛算子,(,)是ExE上的對偶積或內(nèi)積,⊕表示E子空間的直和。以后將用到下列符號i=DmG09;9;1≤i,j≤N=(k,9)1≤k≤Ngo= DAGoa6=(vk,9)1≤k≤N眾所周知2,并非方程(1)的所有根(u0,0)都產(chǎn)生解分支,然而孤立根卻是如此2,我們僅考慮此種情況下解分支曲線的結構及路徑跟蹤問題引理11在(H1)-(H4)假設下,方程(1)在(o,A0)處解分支曲線具有如下形式∫u()=0+2+P,v∈B2A(t)=Aot∈T=[-to,tol這里a=(a2,a2,…,aN)∈RN,B∈R是t的函數(shù),a2y;=∑a;y;為張量記法。證明如果G(v(t),A(t)=0|≤to并且(v(0),入(0)=(0,o),在t=0處關于t求導得D Gou(0)+ DAGoA(0)=0由(H4)必有)=0,因此v'(0)=ta+t(t),v(t)∈E2,(t)=+ap1=09,結合(2)我們可以假設u()=20+t),t∈I=-to,tol所以有(0)=a2+v(0),X(0)=B(0)=0,因此,v(0)=0,故有t2u(t)u(t)∈EA(t)=o+tB(t)t∈I=[-to,tol證畢為尋求合適的函數(shù)v,a,B,定義如下擴充系統(tǒng)F:E×RN×R→E×RMF(,a, B, t)≠0WN, v))Go(0)+w(0)F(,a, B,0)=FIt其中()=(t)a(t)+96(t)(0)=5qijaoao, a0=a(0), Bo= 6(0中國煤化工CNMHG王賀元等:N重極限點解分支的數(shù)值分析引理12如果t∈I,a(t)∈C(I,RN),B(t)∈C(I,R),那么由(5),(6)所定義的映射F(v,a,3,t)在t=0處是連續(xù)的。由此引理,我們得到下面定理定理11在(H1)-(H4)假設下,求方程(1)通過(0,A)點的解曲線u(t),A(t)等價于求F(va,B)=0的非平凡解(v,a,B)∈E2×RNxR。2解曲線的存在性及數(shù)目下面我們討論方程(1)通過極限點(uo,A0)的解曲線的存在性及其個數(shù),為簡單起見這里做全局正則化≡1(局部等價于(0)≠0,首先討論Dva)F(v,a,t)((o,a)的正則性,其中ao=(ab,a2,…,a),而且要用到下列符號f&(ao, 1)=202 aao+ao, kf=[f1,f2,…,fN]其中aaab表示雙重指標求和,下面類似符號均與此意義相同,符號Rank"02表示y0的秩,容易證明下列結論引理21設(a0,1)∈RN+1,當Rank=B0=a2a=N,k=1,2,…,N時,則DaF(,a,A,0)(m(0)a0)在ExRN上是正則的根據(jù)引理2.1及隱函數(shù)定理,我們有下列結論。定理21假設引理21的條件和(H1)(H2)成立,而且u(0)∈E,那么有常數(shù)to>0,至少存在一個,至多存在2N個不同的連續(xù)向量函數(shù){(v1(t),a1(t),aN(t),t∈(-to,tol}cE21,…,,1≤l≤2N滿足(vi(t), ai(t),證明系統(tǒng)(7)是N元二次多項式, Bezout修正定理表明,如果(7)是非退化的,它最多有2N個解,因此系統(tǒng)(7)最多有2N個根,假設aa1(O),…,a3N(0)(=1,…,,1≤l≤2)是系統(tǒng)(7)的非零解,由于(0)∈E2,有u(0)=qmno(O)a00)+∈E2m,n=1,…,N,=1,…1,1≤l≤2其中a(0):=a1n(0),所以存在唯一的n(0)∈E2,(=1,…,l,1≤l≤2)使得DCov1(0)+u(0)=0,(i=1,…,,1≤l≤2N)顯然(n(O),a1(0),…,a(0)(=1,…,1,1≤1≤2)是F(v,a,3,0)=0的解,即(6)至少存在一個非零根(v(0),a1(0),…,aN(0),由引理21和隱函數(shù)定理,存在to>0和唯一映射((),a1(),…,aN():{-t0,to→E2×RN,使得F(u(t),a1(t),……,aN(t),t)=0,t∈[-to,tol因此至少存在一個,至多存在2N個不同的連續(xù)向量函數(shù){(v1(t),ai1(t),…,aN(1),t∈[-to,tl}cE2×RN,i=1,…,,1≤l≤2滿足F(v(t),aa1(t),…,aN(t),t)=0中國煤化工CNMHG第22卷證畢所以我們有下列結論推論21如果定理21的假設成立,方程(1)至少存在一個,至多存在2N個如下形式的不同解曲線相于(o,o)ui(t)=wotap+tvi(t)入(t)=A0∈[-to,to],這里a2=a;°參考文獻:[1 Mei Zhen. Numerical approximation of simple corank 2 bifurca tion problem[D]. Doctorate dissertation,of Marburg. 1999: 83-872 Dwight W. Decker, Multiple limit point bifurcation[J]. Journal of mathematical analysis and applications,1980:75:417-4303 Bouligaand G. Revue Gener, Sc Pur Appl, Bull Soc Philomath, 1984: 55Numerical Analysis of Solution Branches of Multiple Limit PointWANG He-yuan, XU Mei-jin, WANG Wei-zhi, XI Zhu-youDepartment of Mathematics and Physics, Liaoning Institute of Technology, Jinzhou 121001Abstract: Numerical approximation of solution branches for multiple limit point is discussed, structionof solution branches and the extended system at multiple limit point are given, existence of solutionfor the extended system is proved, number of solution curves is given, error estimate is presentdKeywords: multiple limit point; bifurcation equation; numerical analys中國煤化工CNMHG