第34卷第1期數(shù)學(xué)進(jìn)展Vol 34. No. 1005年2月ADVANCES IN MATHEMATICSFeb.2005靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)楊德莊(中國科學(xué)院研究生院,華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)與信息科學(xué)研究中心,北京,10039)摘要:E.E.Davd指出“當(dāng)今被稱頌的高技術(shù)實(shí)質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)",H. Neunzert稱《數(shù)學(xué)是關(guān)鍵技術(shù)的關(guān)鍵”.這是人類對數(shù)學(xué)的新認(rèn)識一數(shù)學(xué)既是科學(xué)又是技術(shù),數(shù)學(xué)技術(shù)主要是指應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù).它的高難度突出地體現(xiàn)在以解決實(shí)際問題為目標(biāo)的研究上.這就必須靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法,抓住事物內(nèi)在最本質(zhì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),提煉其特殊的數(shù)學(xué)模型,給出精巧的好算法并解決之,本文簡述了華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)的特色、近期發(fā)展及其某些思想與新概念等關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)技術(shù);靈活性;模型算法一體化;更動目標(biāo)約東法;模式元MR(1991)主題分類:00B25/中圖分類號:O129文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號1000917(2005)01-0001-161數(shù)學(xué)技術(shù)—一種新觀點(diǎn)人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識,最初認(rèn)為是一門學(xué)科,后來稱其為數(shù)學(xué)科學(xué).20世紀(jì)下半世紀(jì),隨著數(shù)學(xué)內(nèi)部各分支之間相互滲透,尤其是應(yīng)用數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)外部世界的蓬勃發(fā)展,數(shù)學(xué)的思想、方法嵌入到各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中,以及經(jīng)濟(jì)、軍事、社會發(fā)展的各個方面.人們看到數(shù)學(xué)也是一種技術(shù).這是人類對數(shù)學(xué)的更深層次的認(rèn)識—數(shù)學(xué)既是科學(xué)又是技術(shù).20世紀(jì)最后25年,人類對數(shù)學(xué)的這種新認(rèn)知加深了. H. Neunzert指出:“數(shù)學(xué)是關(guān)鍵技術(shù)的關(guān)鍵”.E.E.Davd的名言是:“當(dāng)今被如此稱頌的高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”M. Atiyah也將純粹數(shù)學(xué)中的一些理論和技巧稱為數(shù)學(xué)技術(shù).數(shù)學(xué)技術(shù)的提法是20世紀(jì)最后25年人類對數(shù)學(xué)認(rèn)知的新觀點(diǎn)2觀點(diǎn)的重要性及其導(dǎo)向作用人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識,是在人類實(shí)踐活動的歷史長河中逐步深入的,不同時期有不同的主流觀點(diǎn).一種觀點(diǎn)在某個歷史時期形成,它就會被一些人群接受,引導(dǎo)他們按這種觀點(diǎn)去思考、去理性地演繹、去處理數(shù)據(jù)、去觀察、去創(chuàng)造.這是一個傳播與發(fā)展的過程.觀點(diǎn)的導(dǎo)向作用是很大的,人們往往會不知不黨地被卷入到某種觀點(diǎn)所形成的潮流之中.正確的觀點(diǎn)總是重要的,它會影響整體數(shù)學(xué)的發(fā)展一般說來,一種觀點(diǎn)總有其相對真理部分,它的導(dǎo)向也必有其積極作用的一面,當(dāng)然也會有它的負(fù)面的影響.比如,1900年 Hilbert提出的“23個問題”,就是他匯總了某些前人的視點(diǎn),加上他本人的感悟,形成的一種對數(shù)學(xué)本質(zhì)及其今后發(fā)展的觀點(diǎn)起初,人們并不怎么理解,慢慢地它被一些人所接受.如 Bourbaki學(xué)派,形成了一種思潮. Hilbert的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)影響了20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展,特別是20世紀(jì)上半世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展.其積極的促進(jìn)作用,是人們?nèi)菀卓吹降?但也有負(fù)面影響,這是人們不易覺察的.20世紀(jì)下半世紀(jì),情況發(fā)生了很大變化,主要原因是二戰(zhàn)后,應(yīng)用數(shù)學(xué)的興起和計算機(jī)中國煤化工,人們看到核心收稿日期12-20CNMHG基金項(xiàng)目:中國高技術(shù)研究和發(fā)展項(xiàng)目(863項(xiàng)目)3TNet資助(No.2002AA103061);國家自然科學(xué)基金(No.60241006)數(shù)學(xué)進(jìn)34卷數(shù)學(xué)的發(fā)展之外,應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算機(jī)技術(shù)得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展.今天,我們談起數(shù)學(xué),都會著重地提核心數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算機(jī)技術(shù)的互動作用.20世紀(jì)末,數(shù)學(xué)整體發(fā)展水平已達(dá)到一個新的境界.且不提過去一個世紀(jì)中社會因素對數(shù)學(xué)整體發(fā)展的作用,僅就數(shù)學(xué)界來講,諸多數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),以及起主導(dǎo)作用的數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)(他們可能散布在世界各地)的勤奮工作,都對世界整體數(shù)學(xué)發(fā)展做出了貢獻(xiàn),其中不能不提到馮·諾伊曼的貢獻(xiàn).他不但是一位世界一流的純粹數(shù)學(xué)家,也是世界一流的應(yīng)用數(shù)學(xué)家和現(xiàn)代計算技術(shù)的倡導(dǎo)者和奠基人.他可算是20世紀(jì)對人類社會、經(jīng)濟(jì)、生活影響最大的數(shù)學(xué)家.他的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),來自他對純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算機(jī)技術(shù)發(fā)展的全面思考,他對應(yīng)用數(shù)學(xué)的推動以及他卓有遠(yuǎn)見的發(fā)展電子計算機(jī)的思想,已結(jié)出豐碩果實(shí),還要在本世紀(jì)發(fā)揮他的影響力.馮·諾伊曼的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),對20世紀(jì)的應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算技術(shù)的發(fā)展起到積極的導(dǎo)向作用,而應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算技術(shù)的發(fā)展自然導(dǎo)致數(shù)學(xué)技術(shù)提法的出現(xiàn)3應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)既是科學(xué)又是技術(shù),數(shù)學(xué)技術(shù)這種提法,本身是一種觀點(diǎn),這種數(shù)學(xué)技術(shù)主要是指應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)人們把數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué),但這只是一種大致的分法,有時很難把某一分支或某一方向歸屬于純的,還是應(yīng)用的.事實(shí)上,時至今日,人們也沒有說清楚什么是數(shù)學(xué)?什么是應(yīng)用數(shù)學(xué)?但是數(shù)學(xué)工作者總要大體上把握它們,必須有一種觀點(diǎn)理解它們,認(rèn)識它們,因?yàn)橹挥羞@樣,才知道自己該做什么和怎么做什么是應(yīng)用數(shù)學(xué)?在數(shù)學(xué)界有許多不同的觀點(diǎn)a, M. Atiyah在回答“什么是數(shù)學(xué)”時說“很困難,一種可能的回答是數(shù)學(xué)是解決‘向題的各種思想與智力技巧的集合體”.他強(qiáng)調(diào)“問題的作用”.純粹數(shù)學(xué)中,如費(fèi)馬大定理、哥德巴赫猜想等等,吸引了許多數(shù)學(xué)家對這些問題的研究,在他們奮力解決這些問題的過程中,引進(jìn)了許多新的技巧與概念,這些新的技巧與概念滲透到許多數(shù)學(xué)分支之中,推動了數(shù)學(xué)的創(chuàng)新,增強(qiáng)了美學(xué)成分,促進(jìn)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步.這是來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題, Hilbert的23個問題正是如此M. Atiyah認(rèn)為“問題”在數(shù)學(xué)發(fā)展中起關(guān)鍵作用如果“問題”是源于數(shù)學(xué)世界的外部,這些外部問題對數(shù)學(xué)產(chǎn)生刺激,也會吸引許多數(shù)學(xué)家去研究它.有時,這些問題可在已有的數(shù)學(xué)框架內(nèi)處理,此時人們的任務(wù)是找出適用的工具以便求得解.一般說,這是數(shù)學(xué)的應(yīng)用.它也給數(shù)學(xué)帶來活力.特別地,如果這種“問題”的解決具有重大的經(jīng)濟(jì)與社會效益,那將是數(shù)學(xué)對人類社會的貢獻(xiàn),很有意義.然而,經(jīng)常發(fā)生的情況是必須創(chuàng)造一個新的數(shù)學(xué)框架,其中的新概念反映了真實(shí)世界中被研充的現(xiàn)象.這是難度很大的創(chuàng)新研究.這就是應(yīng)用數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)通過與“外部問題”的作用,在深度與廣度上得到了發(fā)展.這種研究不但具有重大的經(jīng)濟(jì)與社會效益,而且具有很高的學(xué)術(shù)價值.這是非常有意義的研究P.Lax在論述“應(yīng)用數(shù)學(xué)在美國的蓬勃發(fā)展”時,列出了應(yīng)用數(shù)學(xué)在美國最有成就的幾個領(lǐng)域:流體力學(xué)、計算流體力學(xué)、數(shù)學(xué)物理,以及二次大戰(zhàn)后誕生的一些全新的應(yīng)用學(xué)科,如對策論、控制論、線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和運(yùn)籌學(xué)的其他分支,等等,這些學(xué)科總的目的是最優(yōu)化.P.Lax強(qiáng)調(diào)純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的共性和分組成一個有機(jī)的整體數(shù)學(xué)的發(fā)展,應(yīng)該是整體數(shù)學(xué)中國煤化工榨數(shù)學(xué)的各個部CAMH數(shù)學(xué)的一個最重要聯(lián)系在于智力方面.PLax還強(qiáng)調(diào)應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展的環(huán)境的重要性.是什么使得在20世紀(jì)美國的應(yīng)用數(shù)學(xué)得到蓬楊德莊:靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)3勃發(fā)展的?也許最重要的因素是戰(zhàn)爭.戰(zhàn)爭需要應(yīng)用科學(xué)加速發(fā)展,而應(yīng)用數(shù)學(xué)則是應(yīng)用科學(xué)的核心部分.戰(zhàn)后,經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展又促進(jìn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展他建議“年輕數(shù)學(xué)家到應(yīng)用數(shù)學(xué)的某些分支去一試鋒芒.那里是藏著許多深奧問題的金礦,其解決有待于概念和技術(shù)上的突破.它向你展示各種方面,可以適合各種不同的口味;同時也為數(shù)學(xué)家提供了一個成為科技大企業(yè)一員的機(jī)會”,這雖然是1988年說的,今日聽起來仍很新穎C.C.Lin(林家翹)認(rèn)為純粹數(shù)學(xué)是在某些公理基礎(chǔ)上研究數(shù)學(xué)定理.它可以獨(dú)立于其他理論科學(xué)的方式發(fā)展.應(yīng)用數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的相互依存的部分.他強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)與其他科學(xué)領(lǐng)域的關(guān)系.應(yīng)用數(shù)學(xué)的目的在于運(yùn)用數(shù)學(xué)來闡明科學(xué)概念和描述科學(xué)現(xiàn)象華羅庚提出了應(yīng)用數(shù)學(xué)的分類觀點(diǎn).這種分類觀點(diǎn)不但避免了關(guān)于什么是應(yīng)用數(shù)學(xué)的某些爭論,而且對于每個在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域里耕耘的數(shù)學(xué)工作者,更能明確自己的方向和位置.由于在不同方向和不同位置上的工作,有不同的評價標(biāo)準(zhǔn),這種分類觀點(diǎn)也減少評價上的不公正和非議,至少應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者自己心中有桿秤,不管他人怎么看,自已的份量自己心中有數(shù)這有利于調(diào)動搞應(yīng)用數(shù)學(xué)人的積極性和各類型應(yīng)用數(shù)學(xué)隊(duì)伍的形成華羅庚把應(yīng)用數(shù)學(xué)大致分成三類.一類是應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論研究,這類研究與純粹數(shù)學(xué)研究在思想與技巧上沒有本質(zhì)差別.差別在于問題的來源不同,純粹數(shù)學(xué)問題多數(shù)來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部,而應(yīng)用數(shù)學(xué)問題多數(shù)來源于數(shù)學(xué)的外部,在研究的動力(目的)和美學(xué)觀點(diǎn)上也有差異.另類應(yīng)用數(shù)學(xué)研究是數(shù)學(xué)與別的學(xué)科領(lǐng)域的交叉,相互滲透、互相促進(jìn),以揭示該學(xué)科中重要的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和解決有關(guān)問題為目的.第三類應(yīng)用數(shù)學(xué)研究是面向國民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、軍事系統(tǒng)和社會發(fā)展系統(tǒng),以解決這三大系統(tǒng)中提出的現(xiàn)實(shí)問題為目標(biāo).他認(rèn)為這三類研究都很重要,都有很好的前景.在當(dāng)今之中國,這三類研究力量最弱的是第三類,而我國的發(fā)展急需大量的這類研究.因此他主張大力發(fā)展第三類研究,以形成中國應(yīng)用數(shù)學(xué)的特色.目前在中國,這一方向已形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個學(xué)科,中國科學(xué)院華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)與信息科學(xué)研究中心,正是這個學(xué)科的一個重要的工作站華羅庚確定他領(lǐng)導(dǎo)的中國應(yīng)用數(shù)學(xué)的主攻方向是如上所述的第三類研究.因?yàn)榈谝弧⒍惖难芯颗c純粹數(shù)學(xué)研究在思想和方法上比較相近.早在二次世界大戰(zhàn)期間華羅庚就在中國倡導(dǎo)應(yīng)用數(shù)學(xué).在昆明西南聯(lián)合大學(xué)任教期間,他提出了發(fā)展中國數(shù)學(xué)的藍(lán)圖,其中除純碎數(shù)學(xué)外,對于計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的構(gòu)思,在當(dāng)時的國際數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家中,也是不多見的.在華羅庚倡導(dǎo)應(yīng)用數(shù)學(xué)之后,就有一批原來在純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工作者轉(zhuǎn)到這些方向上來.他們中的多數(shù)都取得了不錯的成績.第三類研究具有特殊的難度,首先,它的“問題”來自數(shù)學(xué)外部,是從經(jīng)濟(jì)、軍事和社會發(fā)展三大系統(tǒng)中提出來的“問題”,這種“問題”出現(xiàn)在人們面前時還僅僅是一種自然語言的描述,還遠(yuǎn)不是一個數(shù)學(xué)問題.把它變成數(shù)學(xué)問題,需要經(jīng)過提煉.難度首先就出在這種對“問題”的數(shù)學(xué)提煉與加工上.數(shù)學(xué)修養(yǎng)不同的人,對同一個“問題”的提煉與加工的結(jié)果也不同.即使兩者都是“高手”,由于他們可能站在不同角度觀察同一個“問題”,其結(jié)果也不一樣.這種把實(shí)際“問題”提煉加工成數(shù)學(xué)問題,通常稱之為數(shù)學(xué)建模.這種建模的成功還依賴于能否找到恰如其分的數(shù)學(xué)概念與表達(dá)形式,以及隨后能否找出合適的分析與求解的有效技巧.在這種抽象過程中,簡單性( simplicity)與中國煤化工重要性還應(yīng)當(dāng)著重指出,不是所有的實(shí)際問題都可以用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)CNMHG一切“問題都是數(shù)學(xué)問題,但是把一個活生生的現(xiàn)實(shí)“問題”變成數(shù)子問匙,做匙米個谷易的,變成比較“好”的數(shù)學(xué)問題,就更難了數(shù)學(xué)進(jìn)展34卷以往在數(shù)學(xué)社會里,人們往往看重純粹數(shù)學(xué)問題,而輕視從實(shí)際中提取出來的數(shù)學(xué)問題;有的認(rèn)為純粹數(shù)學(xué)面對的問題需要高智力的勞動,而應(yīng)用數(shù)學(xué)面對的實(shí)際問題的研究則不需要20世紀(jì)下半世紀(jì)至今的應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展,向人們展示了應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的重要性,也向人們展示了它的高深和難度,應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的解決同樣需要高智力的勞動.在世界高速發(fā)展之今日,人們更清楚地看到了在自己探索著的社會、經(jīng)濟(jì)、科技等領(lǐng)域中,特別是高新技術(shù)領(lǐng)域中,遇到的種種實(shí)際問題,都有其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),對這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的認(rèn)知正是解決該問題的關(guān)鍵.高技術(shù)實(shí)質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)4靈活性十洞察力我們常?？吹綄σ粋€著名數(shù)學(xué)家的評價,特別對 Fields獎得主的評價:“深刻的洞察力”靈活處理問題的技巧”、“令人驚嘆”.這是對搞純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論研究的高度評價實(shí)際上,對于面向?qū)嶋H問題、以解決實(shí)際問題為目標(biāo)的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)的研究也應(yīng)當(dāng)有這種評價一般說來,對某個問題的研究,洞察力是第一位的本節(jié)小標(biāo)題,“靈活性+洞察力”,把“靈活性”放在前頭,表明了我們的一種觀點(diǎn),說明在面向?qū)嶋H問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)研究中,靈活性的絕對重要性.這是因?yàn)?1)面對活生生的實(shí)際問題,人們的洞察力與靈活性是交融在一起的.活生生的實(shí)際問題可被人們從多角度靈活觀察.洞察力寓于靈活性之中(2)用應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)解決實(shí)際問題,首先是把實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題,即建模,在建模過程中是不允許改條件的(這與理論研究不同,改了條件就不是這個實(shí)際問題了.但是,它允許從不同角度,用不同觀點(diǎn)審視它,可以建立各種不同的模型,而這些模型的求解難易程度不同.靈活性在這時的體現(xiàn)就是,你可以從諸多角度建立模型的思考中,選擇一種能嵌入簡單易解算法的模型.這就需要全面地調(diào)查研究實(shí)際問題的各個方面,進(jìn)行細(xì)致的系統(tǒng)分析,靈活性貫穿這種活動的全過程(3)當(dāng)選定某個視角建成模型之后,也還允許不失去本質(zhì)的“更動”,一種實(shí)際意義下的“等價變動”.這種小更動,也許會帶來驚人的實(shí)效,嵌入一個簡單的算法,這又是靈活性的體現(xiàn).4)實(shí)際問題經(jīng)過(2)的靈活建模,或許又經(jīng)過(3)的“更動”思考,可能仍只是建成了個極難解的數(shù)學(xué)模型.此時,“死攻”已建好的模型去求解,是不可取的,靈活、遷回戰(zhàn)術(shù)值得提倡.因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是解決實(shí)際問題,而不是對已建的模型的求解能力比高低(5)實(shí)際問題的解決是有時間要求的,它不允許象對待純粹數(shù)學(xué)中的猜想那樣慢慢地探索,步步地推進(jìn),這個進(jìn)程可以是幾十年,甚至是一個世紀(jì)或幾個世紀(jì).實(shí)際問題在某個時段內(nèi)得不到解決,問題的性質(zhì)就變了.所以,這必須有靈活處理的技巧.(6)在某時段內(nèi),實(shí)際問題得到解決,將產(chǎn)生一定的效益(經(jīng)濟(jì)的與社會的).得不到解決,損失也是很大的,因此衡量(評價)這種應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的標(biāo)準(zhǔn)是效益+學(xué)術(shù)水平(⑦)任何實(shí)際問題的求解過程,都只是近似逼近,我們只能求得“較好”的或“滿意”的近似解202年 Nevanlinna獎得主 Madhn Sudan的r中國煤化工來說,逼近最優(yōu)解和尋找最優(yōu)解一樣困難.這就給靈活處理這些實(shí)際片CNMHG(8)凡技術(shù)就有 Known-How,應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)的 Known-How的嚴(yán)生要幕對實(shí)際問題的敏銳數(shù)覺(數(shù)覺是小平邦彥的提法),靠靈活的觀察、靈活的思路、靈活的技巧以及形成新的概念1期楊德莊:靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)5靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)的幾個思想與方法華羅庚40年代倡導(dǎo)應(yīng)用數(shù)學(xué),50年代末開始探索應(yīng)用數(shù)學(xué),通過60-70年代試點(diǎn)普及與推廣應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的階段,他逐步明確了自己的應(yīng)用數(shù)學(xué)分類觀點(diǎn).與此同時,他也確定了他的主攻方向一面向?qū)嶋H問題、以解決實(shí)際問題為目標(biāo)的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)研究.由于他在普及推廣應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)一“雙法”(統(tǒng)籌方法、優(yōu)選法)上花費(fèi)了太多時間(將近20年),在他剛要在這個方向上開展創(chuàng)造性研究的時候,在“戰(zhàn)場”上倒下了.現(xiàn)在“中國科學(xué)院華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)與信息科學(xué)研究中心”(簡稱華羅庚中心)正是沿著這個學(xué)科方向開展工作的我們總結(jié)了華羅庚教授的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想、觀點(diǎn)和方法論特色,以及具體的方法技巧,開展了面向?qū)嶋H問題、以解決實(shí)際問題為最終目標(biāo)的深層次應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)研究,在經(jīng)濟(jì)、軍事、社會發(fā)展以及信息科學(xué)與技術(shù)等領(lǐng)域取得了一些成果.這些成果的取得都與“靈活的思想與技巧”密切相關(guān)(1)模型算法一體化思想這種思想要求對實(shí)際問題有深刻的了解、透徹的分析,靈活地抓住問題的特殊性,建立含有特殊算法的特殊模型,“模型寓于算法,算法嵌入模型”.達(dá)到這種境界必須有很高的靈活性和創(chuàng)造性.實(shí)例見§6例案1,7(2)更動目標(biāo)、更動約束思想這種應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)主要是針對最優(yōu)化數(shù)學(xué)問題的,最優(yōu)化數(shù)學(xué)問題包含兩大要素:目標(biāo)函數(shù)與約束條件.實(shí)際問題往往非常復(fù)雜,只有對其了解、分析透徹,才可以走模型算法一體化的途徑,否則,就不能達(dá)到這種高度模型既不失真,又要有特殊算法嵌在其中,這非常難!因此一般來說,只能按自己認(rèn)為最好的方式去完成建模.之后,還要進(jìn)一步研究求解的算法.此時有兩條路子,其一是循規(guī)蹈矩的數(shù)學(xué)化研究;其二是靈活的數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)化,也稱其為靈活的數(shù)學(xué)化研究.它是根據(jù)問題的特性采用特殊的數(shù)學(xué)處理技巧:適當(dāng)?shù)馗淖兤淠繕?biāo)函數(shù)或約束條件,既不使改變后的模型失真,又要使改變后的模型具有特殊的算法.其背景是:一個實(shí)際問題可以有很多數(shù)學(xué)模型,但這些數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解是一樣的.在這很多數(shù)學(xué)模型中有一類(或一個)是與自己已建立的數(shù)學(xué)模型在目標(biāo)與約束上具有大致相同的形式,只在目標(biāo)或約束上稍有區(qū)別.但正是這種區(qū)別,往往給我們解決問題帶來轉(zhuǎn)機(jī),能夠形成特殊算法.更動后的數(shù)學(xué)模型達(dá)到了模型算法一體化這種更動目標(biāo)函數(shù)或約束條件,或兩者同時更動的方法,我們稱之更動目標(biāo)約束法.實(shí)踐證明,它是非常有效的.實(shí)例見§6例案2,3,5,7(3)二次建模思想更動目標(biāo)約束法就是一種二次建模的做法.通過更動目標(biāo)函數(shù)或約束條件,或兩者都更動,去尋找特殊算法,這本身就是通過修改目標(biāo)或約束,進(jìn)行了再次建模在許多實(shí)際問題的研究中,由于問題復(fù)雜度很高、難度很大,模型算法一體化的做法不能一下達(dá)到,更動目標(biāo)約束法也難以奏效.這時,在普通建模之后,通過二次建模,抓住問題的實(shí)質(zhì)及已建模型的特性,靈活處置,使再次建模的模型變得容易求解.這種思想、技巧也具有很高的智力技巧,在我們解決實(shí)際問題中也常用,也很有效實(shí)例見§6例案4(4)模式元我們在高技術(shù)領(lǐng)域,經(jīng)濟(jì)、軍事、社會發(fā)展的復(fù)雜系HH中國煤化工CNMHG題的研究中采用模式元做變量.提出模式元概念,并用它作為變量,去建模、去求解,收到很好的效果.這數(shù)學(xué)進(jìn)展34卷里的模式元概念與模式識別中的模式概念不同,也與純數(shù)學(xué)中模理論的模概念不同,它是參數(shù)變元的推廣,參數(shù)變元是最簡單的模式元模式元是復(fù)雜系統(tǒng)中某個部分或某子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形態(tài)(邏輯結(jié)構(gòu)形態(tài)和硬件結(jié)構(gòu)類型)和控制其運(yùn)行的模型、算法及其關(guān)聯(lián)參數(shù)整合的有機(jī)體;或是復(fù)雜事物的某個部分的結(jié)構(gòu)形態(tài)和它的功能機(jī)理以及行為特征整合的有機(jī)體.這是一個宏觀與微觀相結(jié)合的概念,也是一個定性+定量+行為特征相結(jié)合的概念,是一個某種意義下整合的概念以往人們研究一個復(fù)雜系統(tǒng)或復(fù)雜事物時,引進(jìn)大量的參變量,有的多達(dá)上千萬個,這些參變量組成維數(shù)很高的空間(有時甚至是無窮維空間),給問題的研究帶來了難度模式數(shù)學(xué)的出現(xiàn)是應(yīng)對這種挑戰(zhàn)的結(jié)果,也是人類認(rèn)知的發(fā)展20世紀(jì)下半世紀(jì),人們看到了模式科學(xué)( the science of patterns),而且認(rèn)識到了“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”,也就是說“數(shù)學(xué)科學(xué)不再僅僅是對數(shù)和空間的研究,它成為一門模式的科學(xué)”,“數(shù)學(xué)家在數(shù)中、在空間中、在科學(xué)中、在計算機(jī)中以及在想象中尋找模式”(L.A.Sten,也在應(yīng)用中尋找模式,為了某種目的,尋找最精巧模式就是最深刻的結(jié)果.數(shù)學(xué)家研究模式、用數(shù)學(xué)理論解釋模式間的關(guān)系;函數(shù)、映射、算子,將一類模式與另一類模式聯(lián)系起來,產(chǎn)生一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).應(yīng)用數(shù)學(xué)家則是在解決實(shí)際問題所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中洞察新的模式,或把對實(shí)際問題的模式洞察力,用于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.因此,“模式可以啟發(fā)新的模式,常常產(chǎn)生模式的模式以上引文提到的模式是籠統(tǒng)而言的,它既可以是模式元,也可以是模式元的函數(shù)、映射、算子,或是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).比如,控制論中從純量轉(zhuǎn)變到矩陣模式;紐結(jié)理論中紐點(diǎn)分類用的紐結(jié)模式,新算子類和紐結(jié)類的特點(diǎn)出現(xiàn)在紐結(jié)群上在我們的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究方向上,引進(jìn)模式元,目的在于改進(jìn)我們對事物的科學(xué)認(rèn)知,提高解決實(shí)際問題的能力在處理實(shí)際問題時,模式元可粗可細(xì),可大可小,小至徽觀宇宙中的粒子模式結(jié)構(gòu)與運(yùn)行形態(tài),大到星際宇宙中星系的結(jié)構(gòu)模式與運(yùn)行機(jī)理,甚至對經(jīng)濟(jì)與社會問題無窮維描述的處理,都可以按照人們的不同追求目標(biāo),選擇適當(dāng)?shù)哪Ｊ皆?建構(gòu)模式元的數(shù)學(xué)框架.在這種模式元上,可以定義相應(yīng)的“運(yùn)算”,形成群.比如,紐結(jié)模式上的紐結(jié)群.這樣,現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最重要的基本概念,群及群理論,就可以發(fā)揮作用了.再在模式元上定義適當(dāng)?shù)挠成?比如取值在實(shí)空間的實(shí)值函數(shù),可以描述實(shí)際問題的目標(biāo)函數(shù)和性能指標(biāo)在最優(yōu)化問題的研究中,建立在模式元基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)技術(shù),能更簡易靈活地處理復(fù)雜的高難度的實(shí)際問題.這是因?yàn)?)實(shí)際問題的優(yōu)化,往往是一個過程優(yōu)化.模式元能靈活地描述和處理這種過程優(yōu)化、靈活地運(yùn)用最優(yōu)化原則2)實(shí)際問題往往是多層面、多目標(biāo)的,模式元能靈活地描述和處理多層面、多目標(biāo)的問題,靈活地運(yùn)用疊加原則3)模式元包含定性分析模式、行為分析模式、數(shù)學(xué)模型與算法模式,等等,這是參數(shù)變元所無法表達(dá)的;參變元只是模式元的最簡單形式,所以模式元概念擴(kuò)展了變元的內(nèi)涵4)我們面向的實(shí)際問題,往往是離散型的,是離散組合型問題.模式元很適合描述這類問題,同時可以用模式元控制這類問題的大小規(guī)模,恒千求解下面用例子說明模式元概念以及如何利用模式中國煤化工在一個寬2個單位,長1000個單位的矩形中,n人AN一個單位的相互不重疊的圓?楊德莊:靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)圖1(i)用參數(shù)變元描述首先,在矩形所在的平面上建立直角坐標(biāo)系,如圖1;其次,我們可以一個一個地往矩形中放圓,從左至右,第讠個圓的圓心坐標(biāo)為(x1,v),如果有兩圓的橫坐標(biāo)x一樣,順序自上而下數(shù),那么,最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為Max i3≤v≤x;≤999,ⅵa,(x1-x)2+(v-3)2≥1,≠j(i〕)用模式元描述:(a)一個圓的模式(b)兩個圓的模式(兩圓捆綁式);(c)三個圓的模式(三圓捆綁式)(d)四個圓的模式(四圓捆綁式(a)的一個圓的模式就是以上的參數(shù)變元描述,尚沒有找到有效的解法;(b)的兩個圓的模式怎么放都不好.再考察(c)的三個圓模式,最優(yōu)結(jié)構(gòu)一定是捆綁式,而且是三個圓兩兩相切的一體化整合型問題簡易了,靈活了,關(guān)聯(lián)參變元也簡單,容易驗(yàn)證,用這種模式最好的放法能放進(jìn)2000+11個,實(shí)例見56例案1,65)研究工作方式的兩種合力前面提到面向?qū)嶋H問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究與純粹數(shù)學(xué)研究有幾個不同的特點(diǎn),比如,這種應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的問題多數(shù)來自數(shù)學(xué)的外部,它有與純粹數(shù)學(xué)研究不同的研究目的和美學(xué)觀點(diǎn)等等這種應(yīng)用數(shù)學(xué)研究與純粹數(shù)學(xué)研究的另一個不同點(diǎn)是:這種應(yīng)用數(shù)學(xué)研究強(qiáng)調(diào)群體力量、團(tuán)隊(duì)精神;強(qiáng)調(diào)多學(xué)科的交叉與綜合.這是兩種合力:團(tuán)隊(duì)的群體合力和多學(xué)科的交叉綜合之合力靈活性依靠研究者個人的悟性,靈活性也依靠團(tuán)隊(duì)合力和交叉綜合之合力6)十二論總而言之,我們把華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想與方法點(diǎn)、創(chuàng)新觀點(diǎn)、模型論、算法論、方法論、辨思論、劉H中國煤化工類觀點(diǎn)、探索觀CNMHG論、后勁論、動力論.詳見《華羅庚的數(shù)學(xué)生涯》(科學(xué)出版社,2000數(shù)學(xué)進(jìn)展34卷十二論以探索、創(chuàng)新精神為精髓,以靈活的模型論和算法論為主題,它的導(dǎo)向作用,引發(fā)了特殊的數(shù)學(xué)技術(shù)的新思想與技巧.如模型、算法一體化思想、更動目標(biāo)約束思想、再次建模思想以及模式元概念,等等,其間靈活性起著重要作用強(qiáng)調(diào)靈活性,體現(xiàn)在十二論主要論點(diǎn)的方方面面,即使是分類觀點(diǎn),它不僅是對應(yīng)用數(shù)學(xué)總體提出分類研究的觀點(diǎn),而且對于研究對象也要先進(jìn)行靈活分類,然后再分類加以研究,因?yàn)椴煌惖氖挛镉胁煌奶厥庑再|(zhì)通過靈活、科學(xué)分類,具體問題具體分析,具體處理,才能有效地解決之.對研究對象的具體研究過程,要有靈活的、辨證思維能力(整體的思維方式、交叉綜合的思維方式,以及邏輯思維與形象思維相結(jié)合的方式)以達(dá)到模型與算法的真實(shí),簡單,易行,有效6幾個實(shí)際案例應(yīng)用數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué)一樣,它們的原理、原則、思想、概念往往比定理更重要,這是人們的認(rèn)知基礎(chǔ),比如加法原則、乘法原則、抽屜原則、歸納法思想、反證法思想、最優(yōu)化原理和分支定界思想,等等新的思想和新的概念的提出,對純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)也是同樣地重要.M. Atiyah認(rèn)為:“新的概念是數(shù)學(xué)進(jìn)步的基本要素,……,從長遠(yuǎn)來看,它們與解決困難問題或發(fā)展新技巧具有完全同等的重要性”我相信例子更有說服力下面我們通過解決實(shí)際問題的幾個例子介紹華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)的模型算法一體化思想、更動目標(biāo)約束思想和方法,以及模式元概念的應(yīng)用,以此說明靈活處理實(shí)際問題的重要性(1)新型路由器的優(yōu)化設(shè)計攻關(guān)研究1)問題的來源及背景(1)問題來自數(shù)學(xué)的外部,來自通信高新技術(shù)領(lǐng)域的產(chǎn)業(yè)界(i)美國IDG公司謀求研制世界最大吞吐量(640Gbps)的高速骨干網(wǎng)上核心路由器.他們已經(jīng)做了大量的調(diào)研分析和有關(guān)技術(shù)準(zhǔn)備.他們清楚地知道問題在于關(guān)鍵技術(shù)-數(shù)學(xué)技術(shù)的突破,因此,必須尋找一個應(yīng)用數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì).他們找到“華羅庚中心”進(jìn)行合作研究談判,一周后簽約,合作攻關(guān)研究立即啟動i)高速通信網(wǎng)絡(luò)的核心路由器是融合數(shù)學(xué)技術(shù)、計算機(jī)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、微電子技術(shù)、大規(guī)模集成電路技術(shù)、光電子技術(shù)及通信技術(shù)的尖端高科技產(chǎn)品,它的研發(fā)水平是衡量一個國家科技水平的重要標(biāo)志2)研制過程及成果華羅庚中心抽調(diào)核心團(tuán)隊(duì)中的7名成員組成攻關(guān)小組從零開始(此前他們都未見過路由器)首先進(jìn)行學(xué)習(xí)與溝通(向IDG派來的人員學(xué)習(xí),同時研究有關(guān)論文、資料),然后共同研討,經(jīng)過不到一年的攻關(guān),他們運(yùn)用華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和技巧,釆用結(jié)構(gòu)、模型、算法一體化的設(shè)計模式(尤其是引進(jìn)模式元概念及其靈活運(yùn)用),設(shè)計出高速骨干網(wǎng)上核心路由器的模型+算法+程序MAP= Model Algorithm + Program最后定型為50版本.吞吐量達(dá)到64Gb,時延、抖『V中國煤化工能指標(biāo)都超過世界著名電信公司 Cisco,IBM, Juniper等的設(shè)計水平CNMHG3)數(shù)學(xué)技術(shù)楊德莊:靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)路由器是一種工業(yè)裝置,它的功能是交換與傳輸經(jīng)過它的信息流.它的重要性能指標(biāo)包括吞吐量、丟包率、時延、抖動以及公平性等,還要求功耗小,造價低.這種裝置是融合多種技術(shù)特別是數(shù)學(xué)技術(shù)的復(fù)雜系統(tǒng)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)技術(shù)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計呢?)首先,我們從兩個枧角入手:一個是視之為一個特殊的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(般文獻(xiàn)大都如此;第二個視角,視之為一個特殊的多目標(biāo)、多約束、多階段、多層次的組合優(yōu)化過程(i).用通常的參數(shù)變量建模的途徑,由于影響各指標(biāo)的參數(shù)繁多,各種參數(shù)之間的關(guān)系錯綜復(fù)雜,模型的描述也非常復(fù)雜,不易抓住關(guān)鍵點(diǎn)之所在,不便在參變元上直接運(yùn)用模型算法體化思想.為此(i)我們對該復(fù)雜系統(tǒng)定義了一系列的模式元,并靈活運(yùn)用模式元構(gòu)建這個復(fù)雜系統(tǒng)的整體數(shù)學(xué)模型.這里的模式元有的是硬件結(jié)構(gòu)形態(tài)、有的是信息流的排隊(duì)、排序模式,有的是數(shù)據(jù)包運(yùn)行的機(jī)理、有的是網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式,還有的是公平性的機(jī)制和參變元等等.同時對一些類型的模式元定義一種乘法(加法)運(yùn)算,構(gòu)成群(一般是非交換群).這樣群的理論與技術(shù)我們就可以利用了.在模式元上,再定義適當(dāng)?shù)挠成?我們?nèi)∨c實(shí)際問題相符的實(shí)值函數(shù)).這樣我們就可以描述這個復(fù)雜系統(tǒng)了,一般說來,由這些模式元描述的復(fù)雜系統(tǒng)的全體構(gòu)成森林.森林中的每棵樹表示一種設(shè)計模式(這就是模式元之模式).對每棵模式樹所反映的多目標(biāo)、多約束、多階段、多層次的過程優(yōu)化問題都得到很好的描述,即它的性能指標(biāo)及其他目標(biāo)都通過模式元運(yùn)算和定義在模式元上的實(shí)值函數(shù)及其運(yùn)算得到了表達(dá)這樣,我們構(gòu)建了一系列全新的數(shù)學(xué)模型,它是結(jié)構(gòu)、模型、算法一體化的,多目標(biāo)、多階段、多層次的優(yōu)化模型,其間嵌入了特殊的組合優(yōu)化的求解技術(shù)算法).它們包括:路由器各級高效率的排隊(duì)、排序模型與算法、高效率的優(yōu)先權(quán)和公平性處理的模型與算法、高速和高匹配率的中心調(diào)度特殊模型與算法、各級緩沖庫容量的優(yōu)化配置模型與箅法,內(nèi)存優(yōu)化管理模型與算法,以及系統(tǒng)仿真模型、信號源構(gòu)造模型、全局時延的馬爾柯夫鏈的分析模型和網(wǎng)絡(luò)分析模型以上所有模型的建立和求解的快速算法及高效實(shí)現(xiàn),對研究者來說是一種挑戰(zhàn).我們采用引進(jìn)模式元概念的靈活分析和處理的辦法以及華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、模型與算法一體化的思想和技巧,進(jìn)行攻關(guān)研究,獲得了成功4)研究成果具有很高的學(xué)術(shù)價值和重大的經(jīng)濟(jì)、社會效益5)進(jìn)入863項(xiàng)目繼續(xù)攻關(guān)研究本項(xiàng)研究得到國內(nèi)外有關(guān)部門的好評,華羅庚中心面對實(shí)際問題以解決實(shí)際問題為目標(biāo)的研究方向得到肯定,解決實(shí)際問題的探索精神、創(chuàng)新意識和華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)的方法論特色以及華羅庚中心核心團(tuán)隊(duì)的合作攻關(guān)精神和方式都得到認(rèn)可在本項(xiàng)攻關(guān)研究成果基礎(chǔ)上,我們進(jìn)入了國家科技部863項(xiàng)目-T比特級路由器的關(guān)鍵技術(shù)攻關(guān)研究.目前已申請了兩項(xiàng)專利(2)移動通信無線網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化研究1)問題的來源及背景問題來自數(shù)學(xué)外部、來自福建省移動通信總公司省市移動通信網(wǎng)絡(luò)發(fā)展十分迅速,在網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃和建設(shè)時,一般都沒有能力做好優(yōu)化設(shè)計工中國煤化工可題需要在網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行時進(jìn)行調(diào)優(yōu),即使在規(guī)劃和建設(shè)過程盡力進(jìn)行了優(yōu)CNMHG通信的預(yù)測模型(如話務(wù)量預(yù)測、無線電傳播預(yù)測模型等)的不準(zhǔn)確性,加上通信環(huán)境、地形地物及話務(wù)量等因素數(shù)學(xué)進(jìn)展34卷的不斷變化,需要不斷地對網(wǎng)絡(luò)的各種參數(shù)設(shè)置和規(guī)劃指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整這就要求經(jīng)常性地對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化,使其保持最佳運(yùn)行狀態(tài),滿足廣大顧客的需求,同時,使網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營商獲得最大的效益福建省移動通信運(yùn)營部門,認(rèn)識到移動通信網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)的接通率問題、掉話問題、話音質(zhì)量問題等等,嚴(yán)重地影響了移動通信網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)質(zhì)量和效益.解決這些問題,一靠大量增加設(shè)備;另一個靠數(shù)學(xué)技術(shù),從全局的、系統(tǒng)的觀點(diǎn)、運(yùn)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)工程等優(yōu)化理論和方法,對問題進(jìn)行整體描述,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,提出好的算法程序,實(shí)時地對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行整體優(yōu)化調(diào)整.在此基礎(chǔ)上再適當(dāng)調(diào)配設(shè)備,使網(wǎng)絡(luò)處于良好狀態(tài).華羅庚中心與福建移動通信總公司,確立“移動通信無線網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化”課題進(jìn)行攻關(guān)研究2)研充過程及成果華羅庚中心的研究隊(duì)伍從問題的調(diào)査研究、系統(tǒng)分析開始,弄清移動通信系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu),運(yùn)行機(jī)理,與系統(tǒng)有關(guān)的主要參數(shù)、常規(guī)設(shè)計思路以及傳統(tǒng)的工程優(yōu)化調(diào)整的方法在此基礎(chǔ)上,確定了用數(shù)學(xué)技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化的思路,全局解決問題的邏輯結(jié)構(gòu)與方法論,以及網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的目標(biāo)經(jīng)過一年的攻關(guān)研究,我們運(yùn)用華羅庚應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和技巧,采用模型算法一體化和更動目標(biāo)的思想與方法,分別建立了三種優(yōu)化數(shù)學(xué)模型和算法,“達(dá)到國內(nèi)領(lǐng)先水平,填補(bǔ)了國內(nèi)在該領(lǐng)域的空白”(鑒定意見).我們還運(yùn)用統(tǒng)計數(shù)學(xué)技術(shù),對系統(tǒng)采集的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)的分析和處理,并對系統(tǒng)的性能指標(biāo)進(jìn)行診斷“診斷方法科學(xué),對系統(tǒng)的診斷結(jié)果具有很強(qiáng)的說服力”(鑒定意見),與美國ADC公司在全球60多個國家150多個地區(qū)推行的軟件系統(tǒng)“ Metrica網(wǎng)絡(luò)性能分析系統(tǒng)”相比,該項(xiàng)研究的特色是在系統(tǒng)主要性能指標(biāo)分析的基礎(chǔ)上,用數(shù)學(xué)技術(shù)建立全局的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型進(jìn)行整體優(yōu)化,而 Metrica僅有詳盡的性能分析,沒有優(yōu)化模型和優(yōu)化功能3)數(shù)學(xué)技術(shù)移動通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是一個復(fù)雜的大系統(tǒng),它的優(yōu)化設(shè)計或優(yōu)化改造問題是該領(lǐng)域的前沿?zé)狳c(diǎn)。其難度不僅在于系統(tǒng)參數(shù)繁多,關(guān)系復(fù)雜,還在于系統(tǒng)的隨機(jī)性大(比如話務(wù)量分布的隨機(jī)變化大).為使系統(tǒng)能正常運(yùn)行,一般都采用忙時分析法(以話務(wù)高峰期的話務(wù)量為準(zhǔn)),以系統(tǒng)投資運(yùn)營綜合效益為目標(biāo)函數(shù).這是一個最優(yōu)化問題,它的一般模型為:MaxFl(a)-F2 (a)-F3(a)h91(x)≥a1,g2(x)≥a2,9n(x)≥am,其中x=(x1,x2,…,xn)是系統(tǒng)的參變量,F1(a)是系統(tǒng)總收費(fèi),F2(x)是系統(tǒng)的投資建設(shè)費(fèi),F3(x)是維護(hù)系統(tǒng)的運(yùn)營費(fèi)設(shè)S(x)為第讠基站第j小區(qū)的話務(wù)量,對于中國煤化工,P2(),f3(a)基本上是確定的,因此用 min max si(a)更替原HCNMHG為min max Si(a)楊德莊:靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)g1(x)≥st.()gm(x)≥am,與原模型在“實(shí)際意義上”是等價的看來問題更復(fù)雜了,理論上求解 min max S(x)非常困難!但是,我們根據(jù)該實(shí)際問題的特點(diǎn),在這個更動模型中嵌入一個很好的算法.它是一個層上層,套中套的疊加優(yōu)化迭代算法首先通過伸縮基站小區(qū)管轄半徑參數(shù)變元的迭代算法,再變換覆蓋模式元及切換模式元,以求更深層次的優(yōu)化.數(shù)學(xué)技術(shù)的應(yīng)用還反映在統(tǒng)計數(shù)學(xué)技術(shù)對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的性能指標(biāo)的樣本數(shù)據(jù)的處理分析上,科學(xué)的統(tǒng)計數(shù)學(xué)分析,給出了系統(tǒng)性能的科學(xué)診斷4)研究成果具有很高的學(xué)術(shù)價值和重大的經(jīng)濟(jì)、社會效益(1)學(xué)術(shù)價值(與美國ADC公司 Metrica相比)(i)經(jīng)濟(jì)與社會效益5)獲得國家自然科學(xué)基金委員會學(xué)部主任基金特別支持費(fèi),繼續(xù)攻關(guān)研究本項(xiàng)研充經(jīng)鑒定認(rèn)為屬國內(nèi)領(lǐng)先水平.同時由于移動通信網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化難度很大,各先進(jìn)國家,特別國際大通信公司都在組織攻關(guān)隊(duì)伍數(shù)學(xué)技術(shù)對解決這個問題居重要地位,我們得到國家自然科學(xué)基金委領(lǐng)導(dǎo)的重視,并獲得國家自然科學(xué)基金部主任基金的特別支持,今后將努力在原有基礎(chǔ)上繼續(xù)攻關(guān)(3)電力變壓器優(yōu)化設(shè)計這是一項(xiàng)28年前(1975年)完成的工業(yè)產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計工作.由于它是第一次實(shí)踐了更動目標(biāo)的思想與方法,也由于這次無奈中更動目標(biāo)函數(shù),并獲得成功,事后受華羅庚教授的評點(diǎn)的啟發(fā),才引發(fā)出“更動”思想的,而且,這是更動目標(biāo)函數(shù)的最好例子,因此,在這里列舉一下需要說明的是,1975年我國電力變壓器行業(yè)對電力變壓器的設(shè)計還處在手工計算設(shè)計的階段,當(dāng)時,我國電子計算機(jī)也只有第一代電子管計算機(jī)(在中國科學(xué)院計算所,稱109乙機(jī)),用電子計算機(jī)代替手工計算進(jìn)行設(shè)計,本身就是難事,更不要說優(yōu)化設(shè)計了.當(dāng)時,運(yùn)籌學(xué)工作者和應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者也沒有成熟的通過數(shù)學(xué)建模、再給出算法、真正解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn).為了真正解決實(shí)際問題,必須按照當(dāng)時的材料性能、工廠工藝過程的操作水平,以及變壓器各種指標(biāo)的計算公式,進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,然后再研究解法.因此,當(dāng)時建立的數(shù)學(xué)模型十分復(fù)雜,有連續(xù)變量,也有離散變量,表達(dá)式多數(shù)是非線性的.所建模型是一個非線性混合型整數(shù)規(guī)劃問題.表達(dá)式中套表達(dá)式(函數(shù)之函數(shù))共有近80個式子,目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式更為冗長.整數(shù)規(guī)劃的割平面法無計可施,分支定界法也無從下手.無奈中,發(fā)現(xiàn)從物理意義上考慮的另一個目標(biāo)函數(shù)|u(x)-o+|p(x)-po,其中x是n維變量.如果用它替代原來的目標(biāo)函數(shù),加上我們發(fā)現(xiàn)的u(x)與p(x)的函數(shù)特性.分支定界法的威力一下就發(fā)揮出來了.這就是在平面矩形對角線交點(diǎn)(中心),做一次數(shù)值計算就可以去掉矩形的一半子矩形的所有點(diǎn),這樣,一種特殊的算法提出來,有效地解決了這個問題事后,華羅庚教授評點(diǎn)該項(xiàng)研究時說:在當(dāng)時進(jìn)行這項(xiàng)研充有以下幾個不容易:(1)建立數(shù)學(xué)模型,不容易;(2)利用計算機(jī),不容易;(3)中國煤中的目標(biāo)函數(shù)思想的提出,不容易;(4)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)特性給出平面對分,更動目標(biāo)的思想就提出來了,找一個實(shí)際上等價的目標(biāo)函數(shù)(它不是奴⊥1對度時等,用它替代原來的目標(biāo)函數(shù),這種替代不影響原問題的本質(zhì).可是由于用它的替代后形成的新問題,在算法研究上發(fā)數(shù)學(xué)進(jìn)展港卷生了質(zhì)的變化,問題一下就變得容易求解了.在實(shí)踐中,此法常用,不但用在更動目標(biāo)函數(shù)上,而且也用在更動約束條件上,每一次都很成功.這種思想對于解決面向?qū)嶋H問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究是行之有效的,我們稱這種技巧為更動目標(biāo)法或更動約束法.這種技巧與華羅庚教授提倡的模型算法一體化思想相配合,是應(yīng)用數(shù)學(xué)創(chuàng)造型研究的有力武器.靈活性體現(xiàn)在“更動”上從嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上說,更動目標(biāo)函數(shù)和更動約束條件是有許多“靈活的”、“更動”空間的.請看2維線性規(guī)劃問題的圖解法圖2左圖說明,更動目標(biāo)函數(shù),可以不改變最優(yōu)解(過最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)可以有無窮多個;右圖說明,更動約束條件,也可以不改變最優(yōu)解(這種更動約束集方式也可能有無窮多個)還需要說明的是,更動目標(biāo)約束方法與靈敏度分析的意義不同,靈敏度分析是優(yōu)后分析,是分析目標(biāo)函數(shù)若有一些變化對最優(yōu)解的影響;更動目標(biāo)約束方法是優(yōu)前分析,它給出了求最優(yōu)解的一種新思想目前,我們正與國內(nèi)某大型變壓器廠一起攻關(guān)研究,進(jìn)行新型變壓器的優(yōu)化設(shè)計(4)準(zhǔn)格爾露天煤礦優(yōu)化設(shè)計(大型露天煤礦的優(yōu)化設(shè)計)1)問題來源及背景問題來自國務(wù)院和內(nèi)蒙古自治區(qū)政府.準(zhǔn)格爾煤礦是我國最大的露天煤礦.國務(wù)院決定開發(fā)它,是因?yàn)樗谖覈茉锤窬种姓贾匾匚?這個問題的矛盾首先出現(xiàn)在各有關(guān)部委(煤炭部、鐵道部、電力部、城建部……)的研究院和設(shè)計院的開發(fā)盤子總和大大超過國務(wù)院的開發(fā)盤子中國科協(xié)組織12個學(xué)科的專家顧問團(tuán)(帶頭學(xué)科是數(shù)學(xué),華羅庚教授為總顧問)對該項(xiàng)目開發(fā)進(jìn)行咨詢研究.2)露天煤礦優(yōu)化設(shè)計涉及以下一些課題研究(i)露天煤礦的礦體模型;(i)露天煤礦的最優(yōu)開采境界;(i)露天煤礦礦區(qū)城市布局規(guī)劃(iv)運(yùn)煤輸電問題的決策;(v)露天煤礦礦區(qū)優(yōu)化設(shè)計;(v)能源輸送的優(yōu)化設(shè)計,等等我們只就第(v)個問題加以說明,因?yàn)樗嵌诬N的個Al中國煤化能源開發(fā)包括一次能源開發(fā)(煤媒、石油等)和二次電)在某個區(qū)域(比如華北與東北地區(qū)),我們考慮增加煤礦引起的輸煤CNMHG乜廠引起的輸電網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)建及最優(yōu)輸送規(guī)劃.這是兩個層次網(wǎng)絡(luò)的疊加,能源的轉(zhuǎn)換發(fā)生在發(fā)電廠,用代數(shù)式子表1期楊德莊:靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)達(dá)的方程是目標(biāo)函數(shù):f(X,x,M)=∑f(x,x,M);i=1D的投資費(fèi)用:f(xx,M=∑∑(,ED I=tijg2網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行費(fèi)用f(Xxx,M)=∑∑,)∈9l=19網(wǎng)絡(luò)的維修費(fèi)用:(xM∑∑a∑∑故網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償費(fèi)用X.XM(i,j)∈Ωl=1發(fā)電廠的投資經(jīng)費(fèi):(xxMO=∑∑∑∑aH+il=1k=l-)(m1)發(fā)電廠的維修費(fèi)用:f6xx,M)=∑∑∑D的投資經(jīng)費(fèi)f(xX,M)=∑(1+r)(,)∈Dl=i網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行費(fèi)用:(xx,M=∑∑(1+r)}網(wǎng)絡(luò)的維修費(fèi)用:中國煤化工CNMHGf9(X, X, M)。20++22a+m數(shù)學(xué)進(jìn)展34卷2網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償費(fèi)用fro(X, X,M)=∑∑(i)∈百l=1滿足約束(a)9網(wǎng)絡(luò)源點(diǎn)的限制:對Vl=1,2,…,m,vj∈J1,ai(b)9網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)平衡條件:Vl=1,2,v∈J2ijl其中D:運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)新加弧的集合;2:運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)所有弧的集合;D:輸電網(wǎng)絡(luò)新加弧的集合32:輸電網(wǎng)絡(luò)所有弧的集合;S示:運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中弧(i,八)的建設(shè)時間S:輸電網(wǎng)絡(luò)中弧(j的建設(shè)時間min{1x1>0,(,j)∈Dmin{>0,(,j)∈D}oo for all Tiil=0;P:第l階段對(a,j)的投資經(jīng)費(fèi),(j)∈D;Pg:第l階段對(,j)的投資經(jīng)費(fèi),(i,j)∈D;u1:(,j)單位長的維修費(fèi),(,j)∈9;分:(,j)單位長的維修費(fèi),(,j)∈忑rx:(j)的損失率,(,j)∈;Fxy:(,)的損失率,(,j)∈5;gt:第l階段第j發(fā)電廠第t類機(jī)組,每臺投資費(fèi);λ(mul):第l階段,t類機(jī)組在j發(fā)電廠的安裝時間;6(x):卡路里為x的每單位煤的價格;中國煤化工Uyt:j發(fā)電廠t類機(jī)組每臺維修費(fèi);CNMHGBt:每階段t類機(jī)組每臺耗煤量Dt:第j階段t類機(jī)組發(fā)電量,j∈J6;1期楊德莊:靈活的應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)記由xn分量組成的向量為X,由xy分量組成的向量為x,由mt分量組成的向量為直接求解這兩層次網(wǎng)絡(luò)非線性混合型整數(shù)規(guī)劃問題是很困難的.又沒有發(fā)現(xiàn)可以更動的目標(biāo)或約束.所以,我們走二次建模的路子,把它變成一個特殊的n階段網(wǎng)絡(luò)圖的最短線路問題,然后用動態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化原理求解.靈活性體現(xiàn)在思路的靈活轉(zhuǎn)換,靈活性又體現(xiàn)在二次建模的構(gòu)思上.其技巧在于構(gòu)造n階段網(wǎng)絡(luò)圖上AA22頂點(diǎn):發(fā)電廠的裝機(jī)容量組成的m維向量.每階段的頂點(diǎn)是前一階段裝機(jī)容量擴(kuò)建后的向弧長:從前一階段某頂點(diǎn)到這階段某頂點(diǎn)之間的弧長,定義為對于前一階段某頂點(diǎn)而言,由這階段某頂點(diǎn)所引起的前層網(wǎng)(鐵道網(wǎng))的擴(kuò)建費(fèi)+維護(hù)費(fèi)+運(yùn)營費(fèi),以及后層網(wǎng)(電網(wǎng))的擴(kuò)建費(fèi)+維護(hù)費(fèi)+運(yùn)營費(fèi)之和這些費(fèi)用的確定要求解若干小的優(yōu)化問題,用軟件包形式支持(5)軍事領(lǐng)域的實(shí)際問題來自軍事領(lǐng)域的實(shí)際問題,有更嚴(yán)格的要求和約定,但是靈活性仍然是非常有效的,由于某些原因,我們不能敘述有關(guān)問題的背景,僅從靈活的數(shù)學(xué)技術(shù)的運(yùn)用上舉一個例子.我們曾面對一個實(shí)際軍事問題,建立了一個非線性整數(shù)規(guī)劃問題,它有6000多個0-1變量,2000多個不等式約束,目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù).為了靈活地解決這一特殊問題,我們引進(jìn)了新的概念,定義了矩陣函數(shù)f(x),1≤i≤m,1≤j≤l,目標(biāo)更動為 mine max,;f(x),給出一個非常有意義,有效的算法(6)社會發(fā)展與科技進(jìn)步方面的實(shí)際問題來自社會發(fā)展與科技進(jìn)步方面的實(shí)際問題,多數(shù)是政策性很強(qiáng)、理論基礎(chǔ)比較薄弱的問題,經(jīng)常要求我們建立一套理論,隨之研究政策和相關(guān)方法技術(shù).這里需要做大量的分析,不僅包括定性分析、定量分析,還要做行為分析.數(shù)學(xué)技術(shù)的靈活運(yùn)用有著極大的意義.我們以“國家科技進(jìn)步獎的理論,政策與方法研究”項(xiàng)目為例.我國國家科技進(jìn)步獎設(shè)立幾年后,由于某種原因,對該獎是否繼續(xù)設(shè)立,若設(shè)立,怎樣保證該獎的權(quán)威性、公正性等問題產(chǎn)生了激烈的爭論科學(xué)地回答這個問題必須有理論依據(jù),數(shù)學(xué)技術(shù)為理論建立提供了框架結(jié)構(gòu)、分析技巧,模式元構(gòu)造人群各種模式,統(tǒng)計數(shù)學(xué)技術(shù)對采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、處理,數(shù)據(jù)、推演、觀察的綜合法(或稱牛頓綜合法)在這里是有用的牛頓時代的研究對象是天體或運(yùn)動物,現(xiàn)在的研究對象是人類的部分群體.為了科學(xué)地評審科技成果,靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)技術(shù),我們提出了一種科學(xué)稱量的方法系統(tǒng)稱量法,給出了如何準(zhǔn)確稱量的方法和測不準(zhǔn)的V凵中國煤化工7)模型算法一體化和更動目標(biāo)約束思想和方法,CNMHG方面也很有效比如,我們應(yīng)用這些思想和方法,對一般的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的求解,給出了兩個新算法.一個發(fā)表在《中國科學(xué)》(198)上,這是一個模型算法一體化的新算法;另一個發(fā)表在《中國科學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)展34卷院研究生院學(xué)報》(2000)上,這是一個更動目標(biāo)約束的新橢球算法參考文獻(xiàn)[1] Atiyah M F. 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This is a very important new view for mathematics in the 20th centuryThe new idea leads to the fowering of applied Mathematics technologies in the world. appliedMathematics technologies are the most important part in the mathematics technologies, as wellas, are very difficult. It is because the resolving any real problem coming from practice lies in adeep understanding of them and the concerted efforts of the team- researchers in multi-disciplineHua Loo-Keng applied mathematics technologies emphasize on establishing particular modelsand finding their particular algorithms; emphasize on the idea of fexibility for resolving anyeal problem; emphasize on the idea of integrating the establishment of the model with thealgorithm of resolving the model; emphasize on idea中國煤化工e- constraint andnew conceptsCNMHGKey word: mathematics technology; fexibility; pattern variable; integrating establish-ment model with its algorithm; change-object or change-constraint method