第36卷第11期計(jì)箅機(jī)科學(xué)ol.36209年11月Computer ScienceVague劃分梁家榮劉力2伍華健廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院南寧53004)(玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系玉林5370002摘要根據(jù)vgue集具有真假隸屬度的特點(diǎn),首先提出了基于t模和t余模的真相容度、假相容度、真相等度和假相等度的概念。然后合理地利用真相容度、假相容度、真相等度和假相等度提出了半 vague劃分和 vague劃分的概念,并討論了它們的性質(zhì)。關(guān)鍵詞t模,t余模,剩余蘊(yùn)含,半 vague劃分, vague劃分LIANG Jia-rong LIU Li' WU Hua-jianSchool of Computer and Electronic, Guangxi University. Nanning 530004. China)Department of Mathematics and Computer Science, Yulin Normal University, Yulin 537000, China)2Abstract The concepts of degree of truth-compatibility, degree of false -compatibility degree of truthrequality, degreefalse-equality based on t-norm and t-conorm were introduced, because a vague set has the characteristic of truthmembership function and fase-membership function. Futhermore we presented the concepts of semivague partitions andvague partitions by using locically degree of truth compatibility, degree of false-compatibility degree of truthrequality,degree of false-equality, and we investigated the characters of semi-vague partitions and vague partitions.Keywords t-norm, t-conorm, Semi-vague partion, Vague partion此把經(jīng)典集合劃分理論、模糊劃分理論推廣到 vague集理論,1引言是一種很自然的想法。然而遺憾的是完整 vague劃分理論近年來,人工智能從研究內(nèi)容到研究方法都有了很大的尚未建立起來使得 vague集理論應(yīng)用到智能決策、人工智能發(fā)展研究人工智能的工具也在不斷地發(fā)展。作為處理不完及模式識別等領(lǐng)域受到了一定程度的限制。本文考慮到整和不完全信息智能系統(tǒng)的重要工具,模糊集理論自從 vague集有真假隸屬度的特點(diǎn),系統(tǒng)地研究了半 vague劃分和Zaden于1965年提出后1,其理論和應(yīng)用(例如在自動控制、 vague劃分及其關(guān)系,成功地解決了 vague集理論在劃分方面模式識別智能決策)取得了巨大的成就2。在傳統(tǒng)的模糊的不足,對豐富和發(fā)展 vague集理論具有重要的學(xué)術(shù)意義集中,一個元素x與一個集合X之間的關(guān)系由一個介于[01]之間的數(shù)(x)來表示它包含了支持和反對這一對象x隸2準(zhǔn)備工作屬于集合X的程度但無法表達(dá)既不反對也不支持這一對象定義111映射T:[0,1]×[0,1]→[0,訂],如果va,b,x隸屬于集合X的中立情況給許多實(shí)際問題(如投票模型、c,d∈[0,1]滿足條件醫(yī)療診斷和多目標(biāo)決策等)的研究和處理帶來了困難。為了(1)交換律:T(a,b)=T(b,a)解決這一問題,1986年 Atanassov提出了所謂的直角模糊(2)結(jié)合律:T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c))集。 Atanassov提出用真隸屬度t和假隸屬度f兩個量來(3)單調(diào)性:a≤c,長≤dT(a,b)≤T(c,d)描述一個對象x和一個集合X之間的隸屬關(guān)系。后來,1993(4)邊界條件:T(1,a)=a年Gau和 Buehrer定義了一個所謂的 vague集。值得指出則稱T為t模(tnom)的是, Bustince和Burl在文獻(xiàn)[8]中證明 vague集就是直覺定義216映射S:[0,1]×[0,1][0,1,如果va,b,c模糊集。雖然, vague集理論和應(yīng)用已取得了一定的發(fā)d∈[o,1]滿足條件展),但與經(jīng)典集合理論和傳統(tǒng)的模糊集理論相比 vague(1)交換律:S(a,b)=S(b,a)集理論還有許多不盡完善的地方例如 vague劃分的相關(guān)理(2)結(jié)合律:S(S(ab),c)=S(aS(b,c)論目前少有文獻(xiàn)報(bào)道。由于經(jīng)典集合劃分理論模糊劃分等(3)單調(diào)性:a≤c,≤d→S(a,b)≤S(c,d工具已在數(shù)據(jù)挖掘和決策分類中起到了極為重要的作用因(4)邊界條件:S(a,0)=a到稿日期:20081224返修日期:20090227本文受國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60564001),教育部“新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃”專項(xiàng)(NCET06-0756)廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(桂科自0832286)資助,橐家榮(1966-),男,博土,博士后教授,主要研究方向?yàn)槿斯ぶ悄軘?shù)據(jù)挖掘模糊控制E-mail:liangir@gxu.edu.cn;劉力(1957-),男碩士教授,主要研究方向?yàn)槿斯ぶ悄苤悄芸刂?伍華健(1965-)男碩士教授主要研究方向?yàn)槿斯ぶ悄芫W(wǎng)絡(luò)可幕性分析則稱S為t余模( t-conom)或s模(snom)設(shè)A是論域X的 vague集(2),YsX。只考慮A在Y上3主要結(jié)果的 vague屬性時用Aly來表示,也就是當(dāng)x∈Y時tAy(x)=下面給出 vague半劃分和 vague劃分的定義4(x)AfAy(x)=A(x);當(dāng)xX-￥時tAy(x)和fAy(x)定義8設(shè)T是一個t模,S是一個t余模,是由若干都沒有意義個X上可形式化的 vague組成的集合,稱π是X上的一個半定義3設(shè)T和T2是兩個t模S1和S2是兩個t余 vague劃分,如果vA,B∈x,C(A,B)≤E(A,B)∧C(A,模稱t模(T1,S1)比t模(T2,S2)弱如果(Va,b∈[0,1])B)≥E(A,B)(T(ab)≤T2(a,b)∧S1(a,b)≥S2(a,b))。性質(zhì)4設(shè)T是一個t模,S是一個t余模,如果是X定義4設(shè)A是論域X上的一個 vague集稱kerA={x的一個半 vague劃分,那么對于任意的x中的A和B有Crx∈XAtA(x)=1AfA(x)=0}為A的核。若A的核非空,(A,B)=E(A,B)A(AB)=E(A,B)則稱A是一個可形式化的 vague集證明:設(shè)A,B∈x,而x1∈kerA,x2∈kerB,則定義5對于t模Tt余模S,C(A, B)=supT(tA(x),t(r))1)稱二元算子gr(x,y)=sup{zz∈[0,1]AT(x,z)≤>max(T(IA(xI), tB(xr)), T(A(x),tg(x2))y},x,y∈[0,1]為T的剩余蘊(yùn)含=max(ta(r,),ta(xz))2)稱二元算子w(x,y)=mf∈[0,1AS(z,y)≥x},E(A, B)=infAr(tA(r),tB(r))xy∈[0,1]為S的剩余蘊(yùn)含。max(S(fA(I), g(n)), S(fa(x2), f8容度;(x2)2)稱((A,B)=gS(A(x),fa(x)為A和B的假相=max(B(r), fA(r2))容度;E(A,B)≥G(A,B)3)稱E(A,B)=4pr(x(x,4a(x)為A和B的真相由x是X的一個半 vague劃分及式(1)和式(2)得:等度;C(A, B)=E(A, B)AC(A, B)=E(A, B)4)稱E(A,B)=ys(A(x),(x)為A和B的假相性質(zhì)5設(shè)T是一個t模,S是一個t余模,如果x是X等度的一個半 vague劃分,那么對于任一 vague集A,總有C(A,A)≤E(A,A)=1,O月K(x)={kerA|A∈r}構(gòu)成X的一個半劃分。(A,A)≥E(A,A)=0證明:由于π是X的一個半vgue劃分,因此vAer,ke性質(zhì)3設(shè)T是一個t模,是一個t余模,那么對于任A≠。此外若對于任意的x中的A和B,kmA∩kxB≠意的X上的 vague集A和B,以下結(jié)論成立:必有如eA=kerB。為此只需證明 ker asker b a ker BE(A, B)=1AE(A, B)=OHA=BkerA若x∈kerA,由q(A,B)=1可得E(A,B)=1,從而證明:1)若A=B,顯然有E(A,B)=1AE(A,B)=0:中(a(x),t(x)=1→pr(1,a(x)=1→la(x)=1,另一方2)若F(A,B)=1A(A,B)=0則F(AB)=1且E(A,面由O(A,B)=0可得E(A,B)=0從而(fA(x),BB)=0,對于Vx∈X,由E(A,B)=1得軒(A(x),l(x)=(x)=0→g(tn(x),0)=0→f8(x)=0,所以x∈kerB,因此1,從而q(tA(x),tB(x)=g(tB(x),(x)=1。因此有 Pr ker Asker B。類似地可得 ker bcker a,所以kerA=ker(A(x),1)≤te(x)和g(t(x),1)≤(x),所以(x)≤B,這就證明了K(x)={ kerAlA∈x}構(gòu)成X的一個半劃分(x)∧t(x)≤A(x),也就是A(x)=tB(x),同理由E(A,B)性質(zhì)6設(shè)T是一個t模,S是一個t余模,如果x是X的0可以推得fA(x)=fB(x),綜上所述有A=B一個半 vague劃分,那么對于任意的r中的A和B,kerA=kerB→A=B{an},,an∈[0,1],b∈[0,1],a+b≤1,讠j∈l,使得證明:由π是X的一個半vge劃分可知keA=kerB≠如下條件成立:,進(jìn)而得到C(A,B)=1及C(A,B)=0。所以E(A,B)=()(vi,j∈D(vr∈kerA)(1(x)=aAfA(x)=1及E(A,B)=0。由E(A,B)=1→Vx∈X(蝦(t(x),tBb;(x)=1)→Vx∈X(p(t(x),a(x))=1Agr((x),1(i)(wi∈D(a=1Abh=0);(x)=1→Wx∈X(q(1(x),1)≤1(x))∧((x),1)≤(ii)(Vi, jED(ag =a, Ab,=b,tA(x)→Vx∈X(tA(x)≤tB(x)AtB(x)≤LA(x))→x∈X(iv)(i,jk∈D)(T(a,)≤a∧S(bh·b)≥b)(tA(x)=tB(x))。證明:由定理1,取a=(x)Ab=f(x),x∈kerA,一方面,E(A,B)=0→Vx∈X(如(fA(x),fB(x))=顯然{an},,a∈[o,1],b∈[0,1,a+b≤1,,j∈l,0)→vx∈X(g(A(x),f(x)=0Ag(fB(x),A(x))=0同時有(vi∈D(a=1Ab=0)。為此只需證明(i)和(iv)→Vx∈X(s((x),0)≥fA(x))Ag(fA(x),0)≥f(x)→注意到Vr∈X(f(x)≥fA(x)∧fA(x)≥fB(x)→Vx∈X(fA(x)max(a,a)≤G(A,A)≤E(A,A)≤min(a,an)≤f(r))max(a;,a,)綜上所述,有A=Bmx(b,b)≤E(A,A)≤q(A,A)≤min(b,)≤定義9設(shè)T是一個t模,S是一個t余模,是由若干max(b,, b)個X上可形式化的 vague組成的集合。稱r是X的一個因此(vi,j∈D)(a=a,∧b=b?，F(xiàn)在證明(4),一方vague劃分,如果x是X的一個半 vague劃分且集合K(π)=面有:{kerA|A∈r}是X的一個劃分。C(A, Ay )=suPT(EA, (r), LA, (r))>, up T(iA (2),例1設(shè)X=[0,1),考慮如下定義的 vague集At(x)=T(a,.)=T(a,a)E(A,Ai)1,x∈[tA(y)。一方面,有:G(A, B)>T(A(x),tg(r))=ta.所以b≤釅(A,A)≤((A,A)≤S(h,如)另一方面,有:定理3設(shè)T是一個t模,S是一個t余模,x={A.|i∈Er(A, B)E(A,B,這與x是X上的一個A,那么A=A今半 vague劃分矛盾,因此tA(x)是一個常數(shù)。下面證明fA(x)證明:設(shè){an},{bn},a∈[0,1],b∈[0,1],a+b≤1,亦為常數(shù)。否則若存在x∈kerB和y∈kerB使得fA(x)≠i,j∈I為定理2中定義的兩常數(shù)序列。Vr∈kerA,必存在fA(y),不妨設(shè)fA(x)>fA(y)。一方面,有:k∈使得A∈兀一方面有t(x)=a=aA(x)=h=C(AB)≤(A(y),B(y)=g(fA(y),0)=fA(y)b和A(x)=a=aAf(x)=b=b,另一方面因?yàn)榱硪环矫?有:kerA;=kerA,所以ω=c∧b=b。因此E?(A, B)>S(fA(r),fB(r))=S( fA(r), 0)=fa(r)(x)=t(x)A(x)=f,(x)這樣,得到C(A,B)or(max(az,au), min(ai,aw )從而有aa≠ak(否則由上式得出T(a,a)>gr(max(a[1] Zach. Fuzzy setsJ]. Information and Control, 1965(8):338-353au),mna,a)=1,這是一個矛盾)。為了討論方便不妨2 Acampora G,LoiV. A proposal of ubiquitous fuzzy computingfor Ambient Intelligence [J]. Information Sciences, 2008, 178設(shè)ar(a,a),于是有631-646[3] Lin F, Ying H, MacArthur R D, et al Decision making in fuzzy由條件(iv),有:discrete event systems [J]. Information Sciences, 2007, 177,T(a,T(a4,a))=T(a,T(an,a))≤T(au,a)≤a(4) [4] Liu Y J. Wang W Adaptive fuzzy control for a class of uncertain式(3)和式(4)是一個矛盾。因此G(A,A)≤E(A,A)nonaffine nonlinear systems [J]. Information Sciences, 200177:3901-3917另一方面,有[5] Mitchell H B. Pattern recognition using type-IF fuzzy sets[J].G(A,A)=S((),八(x)=(,h)Information Sciences, 2005. 170:409-418E(A, A)=Sups(A (2), fA())=sups (bu,bx)- [6] Atanassov K Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzy Sets and Sys-sugs(max(ha,b),minb,b)如果G(A,A)≥E(A,ms,1986,20:87-96A)不成立則存在j和l使得:[7] Gau W L, Buehrer D J. Vague Sets[J]. IEEE Trans. on Sys-tems, Man and Cybernetics, 1993, 23: 610-614S(b, )S(b, bu)>b(6)Recognition Letters. 2002, 23: 221-225式(5)和式(6)是一個矛盾,因此G(A,A)≥E(A,A)11 De S K, Biswas R, Roy A R. An application of intuitionistic fuzzy綜上所述,x={A∈I}是X的一個半 vague劃分。sets in medical diagnosis]. Fuzzy Sets and Systems, 2001, 117.推論2設(shè)T是一個t模S是一個t余模,x={A4li∈[12] Schrijver E, Kerre e On the composition of intuitionistic fuI}是X上的一個 vague劃分,那么定理4中相應(yīng)的兩常數(shù)序y relations ]. Fuzzy Sets and Systems, 2003, 136: 333-361列{an},{}an∈[0,1,∈[0,1],叫+b≤1,i,j∈l可[la] Hung W L,wuJw. Correlation of intuitionistic fuzzy sets by由如下式子來決定centroid method[]. Information Sciences, 2002,144: 219-225(Vi, jED(au=C(A, A )=E(A, A )b=C(A, [14] Alaca C, Turkoglu D, Yildiz C Fixed points in intuitionistic fuzA; )=E(A,, Ay metric spaces[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2006,29:1073-證明因?yàn)镃(A,A)=出T(a(x),4(x)=T(aaa4),所以[15] Demirci M. The generalized associative law in vague groups andits applications-I[J]. Information Scien06,176:900936a=Ta;4n)≤C(A,A)=Pr(a,a0)≤a[16]胡寶清模糊理論基礎(chǔ)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2004