應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)第27卷第2期2006年2月)應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)編委會(huì)編Applied Mathematics and Mechanics重慶出版社出版文章編號(hào):0002101熱方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群與不變解秦茂昌2,梅鳳翔,許學(xué)軍(1重慶工商大學(xué)理學(xué)院,重慶4000672.北京理工大學(xué)理學(xué)院北京100081)(胡更開推薦)摘要:主要研究了熱方程與波方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元及相應(yīng)的群不變解研究表明對(duì)于守恒形式的偏微分方程可通過(guò)其伴隨系統(tǒng)求得的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元來(lái)構(gòu)造其顯式解這些顯式解不能由方程本身的Lie對(duì)稱群生成元或Lie- Backlund對(duì)稱群生成元構(gòu)造得到關(guān)鍵詞:非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元;熱方程;波方程;顯式解中圖分類號(hào):O152.50175.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A引言在微分方程(特別是對(duì)偏微分方程而言舶約化及顯式解的構(gòu)造的各種方法中對(duì)稱群方法是一種非常重要且應(yīng)用廣泛的方法文獻(xiàn)1~4論述的經(jīng)典Lie對(duì)稱群方法,可用來(lái)構(gòu)造偏微分方程的顯式解并對(duì)方程本身進(jìn)行約化偏微分方程旳經(jīng)典對(duì)稱群通常是指定義在自變量及函數(shù)空間上將方程的解變?yōu)槠渌獾臒o(wú)限小連續(xù)變換同時(shí)將利用對(duì)稱群方法構(gòu)造得到的解稱為方程的群不變解Bluman和Cole在文獻(xiàn)56中用一種新方法,得到了守恒型偏微分方程的一種新的非局部對(duì)稱這種對(duì)稱既不是給定方程的Iie點(diǎn)對(duì)稱也不是其Lie- Backlund對(duì)稱這種對(duì)稱被稱為偏微分方程的勢(shì)對(duì)稱(古典勢(shì)對(duì)稱〕一般而言由于偏微分方程的勢(shì)對(duì)稱確定方程比它的Lie對(duì)稱群確定方程要少所以要找出其所有的對(duì)稱是非常困難的但同時(shí)也產(chǎn)生了找到新的對(duì)稱及群不變解的可能性正因?yàn)槿绱诉@種對(duì)稱引起了廣大研究者的興趣最近,古典勢(shì)對(duì)稱被進(jìn)一步發(fā)展推廣到了非古典勢(shì)對(duì)稱文獻(xiàn)7]得到了波方程的幾個(gè)非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元及其群不變解文獻(xiàn)8琍用 Burgers方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元構(gòu)造得到了新的顯式解關(guān)于守恒型偏微分方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元的尋找及其相應(yīng)群不變解的構(gòu)造還有大量的工作要做在本文的第1節(jié)我們將給出一種求偏微分方程非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元的方法第2節(jié)則以熱方程及波方程為例說(shuō)明方程非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元的求法及其群不變解的構(gòu)造收稿日期:2004-03-19;修訂日期:2005-10-30基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10272021)作者簡(jiǎn)介:秦茂昌(1971-)男云南永勝人博士聯(lián)系人Tel:+86-23-60994796218秦茂昌梅鳳翔許學(xué)軍1尋找對(duì)稱的方法考察階數(shù)m≥2的如下守恒形式的偏微分方程D(f(y,a,u(1)(2)(1)式中自變量y=(x1x2…xn),為函數(shù),j=12灬…m-1)表示第j次偏導(dǎo)數(shù)的全體例如{u12…,uan},a(2)={u1,u12…,am}灬…(具體以x1=t和x2=x為自變量來(lái)說(shuō),(1)={u1,},2)={un,a,ux},(3)={umn, uur ltrr illr})同時(shí)定義算子D+…,+ui”m:1bu12“a-1(i=12…mn)因?yàn)榉匠探M(1是守恒形式所以存在n(n-1)2個(gè)函數(shù)y構(gòu)成一個(gè)反對(duì)稱張量j),使得f'(x(-1yn,y+x-1)1,y(i=12mm(2)當(dāng)j≠i+1則令函數(shù)y"=0引入函數(shù)n=y+(i=12灬,n-1),可將方程(1)的伴隨系統(tǒng)(2)變?yōu)槿缦滦问降钠⒎址匠探Mdx2f=(-1特別地若n=2令x1=t,x2=x,f1=f和戶2=-g,則將方程組1)寫成af dg=0(4)選取函數(shù)y12=n=n,于是伴隨系統(tǒng)(2)變?yōu)?5)假設(shè)方程組5具有如下形式的Lie對(duì)稱群生成元v=tx,)+t x ,u)+g)n+不式中的對(duì)稱群生成元系數(shù)函數(shù)τ、、φ和η通過(guò)求解下面的對(duì)稱群確定方程組得到3-/=0只要對(duì)稱群生成元系數(shù)函數(shù)r、、中的任何一個(gè)顯含系數(shù)函數(shù)n不作此要求)則得到的對(duì)稱群生成元給出方程組5肭的一個(gè)古典勢(shì)對(duì)稱群生成元為了尋找方程組5)的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元還要附加下列邊條件熱方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群與不變解即,首先利用式5廂和8)求出偏導(dǎo)數(shù)u1、u1、n、n,再將它們代入對(duì)稱群確定方程組(7)求出系數(shù)函數(shù)τ、、中和2應(yīng)用在此節(jié)中將以用標(biāo)準(zhǔn)Lie對(duì)稱群方法分析過(guò)的熱方程及波方程為例對(duì)非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元的求法及相應(yīng)群不變解的構(gòu)造進(jìn)行具體討論說(shuō)明首先考察熱方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元(9)將其寫成守恒形式D(u)-D(u2)=0(10)相應(yīng)的一階微分方程組為附加邊條件為zu2+5ux=ψ(12)TU, sUx tux su n由條件(12)可以得到n,=1n,=25(7-方程組11)的對(duì)稱群確定方程組為)(rw,+5u,=盧,,+,=n)(14)m-11)(m+知=季m+=)=0將其展開得)+d(n-)中-u1(中-x-m+;)(15)中+東)+u(n+xx)+u1xn-u2rn,=0將式(13)代入方程組15)則有Tsn-.-2(-.-n+x)+5(x,+n)-x,+m)-2,+(16)5(4一一7+)-,一5+5(+)+2=+x)=0至此我們只需要從方程組15)16)中解出所有可能的系數(shù)函數(shù)就得到所有的對(duì)稱要得到方程組(15)16舶的一般解是非常困難的我們僅僅考察一些特解當(dāng)系數(shù)函數(shù)x≠0且η=噲則顯然有φ=0,它們構(gòu)成方程組16)的一組特解由這組特解得到非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元為秦茂昌梅鳳翔式中系數(shù)函數(shù)x≠0顯含變量n雖然式(17)給出方程組11)的無(wú)窮多的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元但是容易證明由這些對(duì)稱群生成元得到的不變解僅為常數(shù).因而要得到對(duì)熱方程有意義的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元系數(shù)函數(shù)和n必須滿足關(guān)系式?≠n這里應(yīng)該指出的是系數(shù)函數(shù)τ≠0是從方程組(12)得到關(guān)系(13)的必要條件.接下來(lái)首先考察系數(shù)函數(shù)x=0的情況若τ=0從方程組(12)得到u1=中/,;=n/=l,將它們代入方程組15)則有2n+鐘+樂(lè)n-)-n2,=日2中,(n-)-5(-,-n)+水卓+東))+(18)0(m)-nD))。=0解方程組(18)可以得到如下一組特解5=-2at+b,s= av +(ax +c)u+ ax,n=(ax +c)+a(x,)其中a、b和ε為任意常數(shù)函數(shù)a(x,)需要滿足熱方程由該組解得到的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元為V2=(2a+b)a+(m+(ax+c)+a,)n+(am+c)+a)(19)不過(guò)容易驗(yàn)證從(19)中并沒(méi)有得到熱方程的任何新的對(duì)稱令系數(shù)函數(shù)=-1(n+d),=d,e是非零常數(shù))則由方程組18)的第1個(gè)方程求得系數(shù)函數(shù)φ=-c2,它們構(gòu)成方程組18的一組特解其對(duì)應(yīng)的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元為由非古典勢(shì)對(duì)稱群生成形(20)可構(gòu)造得到熱方程的如下顯式解(21)當(dāng)然觚21)也可以利用非經(jīng)典方法由熱方程的經(jīng)典Lie對(duì)稱群生成元at構(gòu)造出來(lái)選取系數(shù)函數(shù)=ta(x+g),n=g是常數(shù))則由方程組18)的第1個(gè)方程可得到系數(shù)函數(shù)φ=-tanx+g),它們構(gòu)成方程組18舶的一組特解其對(duì)應(yīng)的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元為rx由式(22)可構(gòu)造得到熱方程的如下顯式解ux式中h是常數(shù)選取系數(shù)函數(shù)s=co(x+g1),=t(g1是常數(shù))則由方程組18)的第1個(gè)方程可得到系數(shù)函數(shù)φ=-υta(x+g1),它們構(gòu)成方程細(xì)18舶的1組特解其對(duì)應(yīng)的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元為81 5x- tcot x+81 a(24)由(24)可構(gòu)造得到熱方程的如下顯式解Id x t)=coxx+gix(25)式中h1是常數(shù)熱方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群與不變解現(xiàn)在考察系數(shù)函數(shù)τ≠0的情況當(dāng)τ≠0時(shí)由方程組(16)可以得到下列特解s= 4ixt+ hp=-2ixy -( ix+6it+ m )u+aDU + acx與其對(duì)應(yīng)的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元為=(4in2+j)》,+(4ixt+k)+(-(ix2+2it+m)+a(xt)+(-2ixu-( ix+6it m )u +a)同樣,下列函數(shù)n,5=-2t+o,中=也是方程組(16)的一組特解,與其對(duì)應(yīng)的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元為dx +(u+ du u s很遺憾到目前為止未能利用非古典勢(shì)對(duì)稱群生成戒(26和27構(gòu)造得到熱方程的新顯式解選取系數(shù)函數(shù)x=x美其顯含n)=0并且令n=p(p是常數(shù))則由方程組16)的第1個(gè)方程可以得到ψ=0,它們構(gòu)成方程組16舶的1組特解其對(duì)應(yīng)的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元為V8=xw)at+ pt x ,u(28)由式(28)可構(gòu)造得到熱方程的如下顯式解)t+ p式中q、r是常數(shù)接下來(lái)我們考察(1+1)維波方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元(30)寫成守恒形式為x相應(yīng)的一階微分方程組為(32)附加邊條件為+5u綜合式32廂33)可得到-(34)若采用文執(zhí)7的方法將式34)代入非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元確定方程T:)+un+u(m+-中-x)-u(m-,-中+x)-中=0化簡(jiǎn)求解是非常復(fù)雜而困難的由式(34)可以直接得到+222秦茂昌梅鳳翔令(n+)(x+)=tAxl),綜合式30和(36)可得D(ψ)-D、y)=0(37)由于n,=u和n1=u1通過(guò)適當(dāng)?shù)倪x擇待定函數(shù)ψ,可以很簡(jiǎn)單的得到文獻(xiàn)7所求得的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元及相應(yīng)的不變解而且能夠得到更多的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元且計(jì)算較為簡(jiǎn)單[參考文獻(xiàn)]1] Olver PJ. 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Klev Institute of Mathematics of Nas of Ukraine 1997 130-137Nonclassical Potential Symmetries andInvariant Solutions of Heat EquationQIN Mao-chang2, MEI Feng-xiang, XU Xue-jun'(1. School of Science, Chongqing Technology and Business UniversityChina2. School of Science Beijing Institute of TechnologBeijing 100081, P. R. ChinaAbstract Some nonclassical potential symmetry generators and group-invariant of heat equation andwave equation were determined. It is shown that new explicit solutions of conserved equations can beconstructed by using the nonclassical potential symmetry generators which are derived from their adjoit system. These explicit solutions cannot be obtained by using the lie or Lie- Backlund symmetrygroup generators of differential equationsKey words nonclassical potential symmetry generators heat equation wave equation explicit solution