第27卷第3期商丘師范學院學報Vol 27 No. 32011年3月JOURNAL OF SHANGQIU TEACHERS COLLEGEMarch, 2011Henon系統(tǒng)動力學行為的 MATLAB仿真研究孫紅章,毛愛霞,蘇向英,劉磊,魏榮慧,劉鋼(河南科技大學物理與工程學院河南洛陽471003)摘要:利用 MATLAB對 Henon系統(tǒng)的動力學行為的演變進行仿真與分析.通過對時城圖、相圖、功率譜和分岔圖的分析,表明 Henon系統(tǒng)可通過陣發(fā)性途徑走向混沌,其間歇性與霍夫分岔和倍周期分岔密切相關關鍵詞:混沌;奇怪嗄引子;相圖;功率譜;分岔中圖分類號:0415.5文獻標識碼:A文章編號:1672-3600(2011)03-0054-04Simulation of the Henon systems dynamical behaviors by utlizing MATLABSUN Hongzhang, MAO Aixia, SU Xiangying, LIU Lei, WEI Ronghui, LIU Gang(School of Physics and Engineering, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003, China)Abstract: The dynamical behaviors of Henon system are simulated and analyzed by utlizing MATLAB. By the methods of analyzing its time domain graph, phase graph and power spectrum, it shows that the Henon system may tendto chaos by intermittency transition, and its intermittent property is closely related with Hopf bifurcation and perioddoubling bifurcation routeds:chaos; Henon system; phase graph; power spectrum; bifurcation引言自然界中存在無數的無序、非平衡和隨機的復雜系統(tǒng)非線性動力學中提出的混沌理論透過撲朔迷離的無序混亂現(xiàn)象和不規(guī)則形態(tài)揭示隱匿在復雜系統(tǒng)內部的規(guī)律.混沌已經成為目前非線性科學研究中的熱點前沿課題2. Henon系統(tǒng)是典型的二維離散非線性動力學系統(tǒng),而其混沌控制一直是近年來非線性科學領域中研究的焦點之一5,但對 Henon系統(tǒng)通往混沌的途徑研究較少.1 Henon系統(tǒng)的動力學方程Henon系統(tǒng)的動力學方程為xn+I=l-ax,+y(1)b,+l取a∈[0,14],b=0.32數值模擬和結果對于(1)式這樣的非線性微分方程沒有解析解,只能利用計算機求其數值解.我們利用迭代法進行MATLAB編程來對非線性方程(1)求解,然后用 MATLAB軟件和Ogin軟件作圖我們首先得到了y隨t變收稿日期:2010-11-11中國煤化工基金項目:河南省科技發(fā)展計劃資助項目(102102210164);河南科技大16);河南科技大學科研基金資助項目(05-032;20060N033)YHCNMHG作者簡介:孫紅章(1977-),男河北藁城人,河南科技大學講師,主要從事非線性物理的研究第3期孫紅章,等: Henon系統(tǒng)動力學行為的 MATLAB仿真研究化的時域圖.當a=0.3時,如圖1(a)所示,系統(tǒng)經由一個暫態(tài)過程,過渡到一個穩(wěn)態(tài),在此狀態(tài)y只有一個值y=0.3.同理x也將只有一個值x=1,若用x與y的關系圖即相圖來表示,終態(tài)在相圖上是一個固定點當a=0.65時如圖1(b)所示,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)是兩條直線,y只有兩個穩(wěn)定值y=0.40685和y=-0.083773.同理x也將有兩個穩(wěn)定值x=1.3562和x=-0.27924,終態(tài)在相圖上是兩個固定點當a=0.95時,如圖1(c)所示,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)是4條直線終態(tài)在相圖上是4個固定點但當a=12時,如圖1(d)所示,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)是雜亂無章的點,y的取值似乎沒有規(guī)律,每次迭代計算得到的y值既不趨向某個常數值,也不出現(xiàn)簡單的重復,系統(tǒng)已從周期運動進入了混沌運動當a=1.24時,如圖1(e)所示,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)是6條直線,y有6個穩(wěn)定值.當a=1.4時,如圖1(f)所示,系統(tǒng)又出現(xiàn)混沌狀態(tài)(a)a=0.3(b)a=0.65∷∴∷∷灬(c)a=0.95(d)a=1.2∵∵∷:∷∷∴(e)a=1.24M凵中國煤化工圖1y隨t變化的時CNMHG我們還得到了系統(tǒng)混沌運動時的相圖和功率譜如圖2所示,我們得到了當a=1.2時 Henon系統(tǒng)的吸引子和y分量功率譜如圖3所示我們得到了當a=14時 Henon系統(tǒng)的吸引子和y分量功率譜白噪聲和混沌都是非周期運動,它們的功率譜都是連續(xù)的譜白噪聲因其無規(guī)則性,其功率譜密度在整個頻域內均勻商丘師范學院學報201l年分布所有頻率具有相同能量故白噪聲具有平坦功率譜但是混沌運動具有確定系統(tǒng)的隨機性,如在倍周期分岔過程中,每一次分岔產生一個新的頻率,功率譜中就出現(xiàn)一個對應新頻率的峰,當分岔數達到無窮多時就達到混沌態(tài)正如圖2(b)和圖3(b)所示,盡管混沌系統(tǒng)的連續(xù)功率譜仍有尖峰,但會增寬一些,所以混沌功率譜不是平譜,而具有“噪聲背景”和“寬峰”0.0009n.0000600003(a)吸引子(b)y分量的功率譜圖2a=1.2時系統(tǒng)的吸引子和y分量功率譜0.Do060.0o2(a)吸引子(b)y分量的功率譜圖3時系統(tǒng)的吸引子和y分量功率譜圖4(a)-(d)所示的是利用 Matlab做出y隨a變化的分岔圖.當a∈[0,0.370]時,一個a值只對應個y值屬于單周期解,分叉現(xiàn)象實際上是從a=0處附近開始的,從這里迭代由零值進入到單周期運動,即出現(xiàn)了一次霍夫分岔.當a=0.370處附近出現(xiàn)了倍周期分岔,先由單周期運動分岔為兩倍周期運動接著a0.913處附近,由兩倍周期運動分岔為4倍周期,a=1.056處附近,4倍周期分岔為8倍周期.a∈[90,1.059]是 Henon系統(tǒng)的規(guī)則區(qū),但隨著不同參數a發(fā)生一系列倍周期分岔a=1.059處附近,圖像是一片模糊,已經不存在周期性,說明系統(tǒng)進入了混沌狀態(tài)基本上是 Henon系統(tǒng)的混沌運動區(qū)域,但仍然包含著規(guī)則運動這是因為進入混沌以后,看似模糊片,但把圖像局部放大后可看出仍存在一些大小不一的窗口,在這些窗口里仍有規(guī)則運動,如a∈[1.2261.262]就是一個較大的規(guī)則運動窗口圖4(b)、(c)和(d)所示的就是把圖像局部放大后的圖像在a=1.1227處附近出現(xiàn)了一個7周期的解,在a=1.241處附近,兩條曲線相交,此后在a=1.25附近又開始出現(xiàn)倍周期分岔,于是產生14周期軌道然后在a=1.262處附近再次進入混沌隨著a值的增加, Henon系統(tǒng)展現(xiàn)的是規(guī)則運動和隨機運動相互交織、包含著無窮層次的復雜運動,具有分形特征但是倍周期分岔不產生7周期軌道,只能產生248等軌道實際上,霍夫分岔便發(fā)生在從混沌運動回到規(guī)則運動的邊界附近霍夫分岔的發(fā)生地點是7周期出現(xiàn)的地點,即在a=1.227附近動經由霍夫分岔做規(guī)則的周期運動,再經過倍周期分岔進入隨機的混沌運動這種途徑可以中國煤化工間歇性與霍夫分岔和倍周期分岔密切相關CNMHG第3期孫紅章,等: Henon系統(tǒng)動力學行為的 MATLAB仿真研究020406D844114121211812(a)y的分岔全圖(b)1.22≤a≤1.25,-0.4≤y≤0.4范圍的分岔圖02A-0.20421.231241251261.21.2810甲”1,,1“,812(c)1.22≤a≤1.29,0.26≤a≤0.31(d)1.22≤a≤1.29,-0.08≤y≤0.04范圍的分岔圖范圍的分岔圖圖4y的分岔全圖和局部放大的分岔圖本文利用 MATLAB對 Henon系統(tǒng)的動力學行為的演變進行仿真與分析,通過對時域圖、相圖、功率譜和分岔圖的分析,表明 Henon系統(tǒng)可通過陣發(fā)性途徑走向混沌,其間歇性與霍夫分岔和倍周期分岔密切相關參考文獻:[1]劉宗華.混沌動力學基礎及其應用[M].北京:高等教育出版社,2006.1-59[2] Sun Hui-jing, Cao Hong-jun. Chaos Control and Synchronization of a Modified Chaotic System[J]. Chaos, Solitons andFractals,2008,37(5):1442-1455[3]劉福才,王娟,彭海朋,等. Henon混沌系統(tǒng)的預測控制與同步[J].物理學報,2002,51(9):1954-1959[4]郝加波,張志遠. Henon混沌系統(tǒng)的估計跟蹤及參數攝動控制與同步[J].四川師范大學學報(自然科學版),2008,31(4):432-4[5]劉振澤,田彥濤,曹輝.基于Hnon系統(tǒng)和 duffing方程自同步與異結構同步的研究[J]合肥工業(yè)大學學報(自然科學版),2006,29(6):728-731【責任編輯:徐明忠】中國煤化工CNMHG