高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用◆徐秋倉(cāng)(安陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院)摘要】一般情況下,求函數(shù)的極值與曲線的拐點(diǎn)時(shí),對(duì)于二階導(dǎo)為零的點(diǎn)不能確定是否存在極值及是否存在拐點(diǎn)。給出了利用函數(shù)的三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與曲線拐點(diǎn)的方法。【關(guān)鍵詞】連續(xù)導(dǎo)數(shù)極值拐點(diǎn)在討論函數(shù)的特性、描繪函數(shù)的圖像及討論曲線的形態(tài)時(shí),往往需要/(r)=e+e.r=0, 4r=0求出函數(shù)的極值,找出曲線的拐點(diǎn)。一般情況下是利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)mGr)=e-e+2sin,/(o)=0尋找。但對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)都等于零的點(diǎn)來(lái)說(shuō),不能確定其是否是函數(shù)的極值點(diǎn)或是否是曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo),對(duì)于該類(lèi)特殊的函數(shù)與曲線,本文給出了由定理1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)f(x)=0,故y=x)在x=0處有極值又0)=利用函數(shù)的三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與曲線拐點(diǎn)的定理與方法。4>0,所以x=0為極小值點(diǎn),極小值/(o)=4一、利用高階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例2.討論函數(shù)y=八(x)=x是否有極值我們?cè)谟懻摵瘮?shù)的特性時(shí)要求函數(shù)的極值,極值點(diǎn)可能是函數(shù)駐點(diǎn)或解:函數(shù)y=x的定義域?yàn)?-∞,+∞)階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。對(duì)于駐點(diǎn)處的情況我們一般是利用極值存在的第y充分條件來(lái)判定該定理是:設(shè)函數(shù)y=(3)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)且602,00110,0=0(x)=0,那么(1)當(dāng)f(x。)<0時(shí),函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。處取得極大值;(2)利用高階導(dǎo)數(shù)求曲線的拐點(diǎn)當(dāng)fx)>0時(shí),函數(shù)y=f(x)在x處取得極小值;(3)當(dāng)f7x)=0時(shí)描繪函數(shù)圖形或討論曲線的性態(tài)時(shí),我們需要找出曲線的拐點(diǎn)。能確定。由第二充分條件可知對(duì)于駐點(diǎn)處函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)是般情況下是利用拐點(diǎn)的定義來(lái)尋找,即先求出函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階不能確定是否是極值點(diǎn)的還需要用第一充分條件來(lái)判定。事實(shí)上,對(duì)于導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),把定義域分成若干個(gè)小區(qū)間,再利用二階導(dǎo)數(shù)在每個(gè)小該種情況,我們可以用以下定理來(lái)求函數(shù)的極值區(qū)間內(nèi)的正負(fù)性來(lái)判斷曲線的凹凸性,從而利用拐點(diǎn)的定義求出拐點(diǎn)的坐(一)定理與證明標(biāo)。其實(shí),在某些時(shí)候我們可以利用高階導(dǎo)數(shù)直接求出曲線的拐點(diǎn)定理1:設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x的某鄰域內(nèi)具有直到n階的導(dǎo)數(shù),且f(x)=0(-)定理與證明x)=0,/()=0,…,/"(x)=0,/(x)≠0(≥3)。/()在x的某領(lǐng)定理2:設(shè)函數(shù)y=()在閉區(qū)間a上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)一點(diǎn)x處具域內(nèi)連續(xù)。則有直到n階的導(dǎo)數(shù),且fx)=0,/(x)=0,…,fm"(x3)=0,/(x)≠0(≥3)1)當(dāng)n=2k為偶數(shù)時(shí),點(diǎn)是y=Ax)的極值點(diǎn)。若(x)>0則Ax)是“()在x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)。則y=x)的極小值;若f(x)<0則/x)是y=f)的極大值。1)當(dāng)n=2k+1為奇數(shù)時(shí),點(diǎn)(xn,/(x)為曲線的拐點(diǎn)2)當(dāng)n=2k+1為奇數(shù)時(shí),點(diǎn)不是y=(x)的極值點(diǎn),(x)不為函數(shù)y=(2)當(dāng)n=2k為偶數(shù)時(shí),點(diǎn)(xn,/(x)不為曲線的拐點(diǎn)。的極值證明:設(shè)y=(x)在點(diǎn)(,(x)處的切線方程是證明:設(shè)x是點(diǎn)的某鄰域一點(diǎn),把()的增量f(x)-/(x)按(x-x)y=/(x)+/(x-x),由拐點(diǎn)的定義可知,若:的冪而用皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開(kāi),并注意定理中的條件,得:y-y=f)-/(x)-/(xnXx-x),當(dāng)x通過(guò)x時(shí)變號(hào),則點(diǎn)(xA)-)=s)+a(-xy是曲線y=八(x)的拐點(diǎn):當(dāng)x通過(guò)x時(shí)不變號(hào),則點(diǎn)(x,(x)不是曲線拐點(diǎn)。由于當(dāng)x→x時(shí)a→0,所以當(dāng)x充分接近于x時(shí),分子的符號(hào)就會(huì)與由假設(shè),把函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x處按(x-x)的冪而用皮亞諾型余項(xiàng)(x)的符號(hào)相一致,在xx時(shí)都是如此的泰勒公式展開(kāi),并注意定理中的條件,得現(xiàn)在來(lái)考慮兩種情況:y=C"(5)+a((x-(1)n是奇數(shù):n=2k+1。當(dāng)x的值由小于x變到大于xn時(shí),因式(x-x)就會(huì)變號(hào),但因上式第一個(gè)因子這時(shí)不變號(hào),所以差八(x)-八(x2)也要變由于當(dāng)x→x時(shí)a→0,所以當(dāng)x充分接近于x時(shí),分子的符號(hào)就會(huì)與的號(hào),函數(shù)p=/(在點(diǎn)x處就不會(huì)有極值,因?yàn)樵谶@點(diǎn)附近,(有時(shí)小于Ax)/(x)符號(hào)相一致,在x<時(shí)以及在x>時(shí)都是如此也有時(shí)大于/(x)現(xiàn)在來(lái)考慮兩種情況:(1)n是奇數(shù):n=2k+1。當(dāng)x的值由小于x變到大于x時(shí),因式(x-x)(2)n是偶數(shù):m=2k,當(dāng)x的值由小于七變到大于時(shí),因式(-x)就會(huì)變號(hào),但因上式第一個(gè)因子這時(shí)不變號(hào),所以差y-y也要變號(hào)。故點(diǎn)是曲不變號(hào),因而差f(x)-f(x)也不變號(hào)并且與(x)的符號(hào)相線的拐點(diǎn)。一致。即當(dāng)“(x)>0時(shí),f(x)>/(x),(x)就是函數(shù)y=()的極小值(2)n是偶數(shù):n=2k。當(dāng)x的值由小于x變到大于x時(shí),因式(x-x)當(dāng)八(x)<0時(shí),f(x)<(x),八(x2)就是函數(shù)y=(x)的極大值不變號(hào),因而差y-y也不變號(hào),故點(diǎn)(x,/(x)不是曲線的拐點(diǎn)。此定理對(duì)任何有限或無(wú)限區(qū)間都適用。(二)利用此定理求函數(shù)極值的一般方法和步驟(二)利用此定理求曲線拐點(diǎn)的一般方法和步驟1.求出所給函數(shù)y=八(x)的定義域求出所給曲線y=(x)的定義域2.在定義域內(nèi)求fx)=0及f(x)=0的點(diǎn);2.在定義域內(nèi)求/(x)=0的點(diǎn)3.求2)中各點(diǎn)處的三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)值,直到第一個(gè)階數(shù)的導(dǎo)數(shù)不3.求2)中各點(diǎn)處的三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)值,直到第一個(gè)階數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零不為零4.由此定理判斷各點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)值情況,求出極值。由此YH中國(guó)煤化工從而求出拐點(diǎn)。(三)舉例CNMHG例1.求函數(shù)/(x)=c+e+2cosx的極值例1.求面線x3的拐點(diǎn)解:函數(shù)八(x)=e+e"+2cosx的定義域?yàn)?-∞+a)解:函數(shù)y=x的定義域?yàn)?-∞,+∞)f()=-c-2sinr=0,得x=0,y=5x2,y=20x,令y=0得x=0(下轉(zhuǎn)第178頁(yè))186基于職業(yè)能力培養(yǎng)的高職電工課程教學(xué)改革的實(shí)踐探索◆樂(lè)樂(lè)宋燁(長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院)【摘要】針對(duì)高職高專(zhuān)院校的人才培養(yǎng)目標(biāo),分析國(guó)內(nèi)其他髙職髙專(zhuān)院校電工教學(xué)的現(xiàn)狀,提出基于職業(yè)能力培養(yǎng)的高職電工的教學(xué)改革,教學(xué)總體設(shè)計(jì)、教學(xué)評(píng)價(jià)方案等方面改革措施,并總結(jié)了教改實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn),為今后的教學(xué)提出了建設(shè)性的意見(jiàn)?！娟P(guān)鍵詞】職業(yè)能力電工教學(xué)改革實(shí)踐電工是一門(mén)傳統(tǒng)的高職理工類(lèi)院校的基礎(chǔ)課程,教材理論較深,概念改革。以完成工作中的某一任務(wù)為基本單位,以行動(dòng)導(dǎo)向?yàn)榻虒W(xué)出發(fā)點(diǎn)多且抽象,學(xué)生不易理解和掌握。為了能貫徹執(zhí)行教育部頒布的《關(guān)于全選取合適的項(xiàng)目載體,運(yùn)用能力分擔(dān)法,將學(xué)習(xí)領(lǐng)域的內(nèi)容轉(zhuǎn)換為學(xué)習(xí)情面提高高等職業(yè)教育教學(xué)質(zhì)量的若干意見(jiàn)》,更好地實(shí)現(xiàn)學(xué)校與企業(yè)的無(wú)景,充分體現(xiàn)學(xué)習(xí)的均衡性、完整性和系統(tǒng)性。縫對(duì)接,我院領(lǐng)導(dǎo)積極組織一支素質(zhì)優(yōu)良、從業(yè)經(jīng)驗(yàn)豐富、研究資質(zhì)深厚、三、結(jié)束語(yǔ)專(zhuān)兼結(jié)合的“雙師型”研究團(tuán)隊(duì)對(duì)基于職業(yè)能力培養(yǎng)的高職電工進(jìn)行了教由于高職院校學(xué)生基礎(chǔ)差,教學(xué)課時(shí)不夠,教師不可能仍按原有的教學(xué)改革。學(xué)大綱設(shè)定的課時(shí)按部就班地進(jìn)行教學(xué),必須對(duì)某些教學(xué)內(nèi)容及相應(yīng)的教一、課程教學(xué)改革的意義學(xué)課時(shí)作出適當(dāng)調(diào)整。一是我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)社會(huì)對(duì)技術(shù)工人的實(shí)際需求,對(duì)近幾來(lái),大多數(shù)技校都在追求數(shù)量擴(kuò)張,繼續(xù)走規(guī)模發(fā)展之路,學(xué)校都電工課的內(nèi)容進(jìn)行改革,按照“必須,夠用“的原則。比如,像疊加原理、戴在最大限度地吸納生源,競(jìng)爭(zhēng)激烈,秩序混亂。從招生情況看,生源主要是維南定理、非正弦交流電等可以不講。應(yīng)該讓這部分學(xué)生重點(diǎn)掌握基本電那些在高考中落敗的群體。他(她)們或是對(duì)前途悲觀失望,對(duì)學(xué)習(xí)漫不經(jīng)路、電磁感應(yīng)原理、(單相、三相)正弦交流電的基本概念以及曰常維修和安心,沒(méi)有更高的理想和追求;或是渾身沾染不良習(xí)氣,組織紀(jì)律意識(shí)淡薄,全用電的基本常識(shí)。二是要求學(xué)校同各相關(guān)任課教師之間協(xié)調(diào)好教學(xué)進(jìn)缺乏責(zé)任感,自控能力差。更何況這些學(xué)生大多數(shù)理兩科成績(jī)更差,甚至度和教學(xué)重點(diǎn)。如《數(shù)學(xué)》中的“三角函數(shù)”“復(fù)數(shù)運(yùn)算”可作為電類(lèi)專(zhuān)業(yè)班厭惡數(shù)學(xué)、物理學(xué)習(xí),自然不喜歡以數(shù)理為基礎(chǔ)的《電工》。要扭轉(zhuǎn)這批學(xué)的教學(xué)重點(diǎn),并務(wù)必將其教學(xué)安排在《電工》教學(xué)進(jìn)度之前。三是在教學(xué)生的精神面貌,教會(huì)他(她)們做人的基本道理,學(xué)到起碼的專(zhuān)業(yè)知識(shí),培養(yǎng)中,教師可視情況將某些公式、結(jié)論等復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程適當(dāng)簡(jiǎn)化,重物他(她)們的職業(yè)能力,需要我們放棄以往的傳統(tǒng)教學(xué)模式,開(kāi)展基于職業(yè)理?xiàng)l件和結(jié)論輕數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程。如“交流電的有效值與最大值的關(guān)系能力培養(yǎng)的《電工》課程教學(xué)改革。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐,教改后的《電工》課程“串并聯(lián)諧振的條件”“三相交流電相電流與線電流、相電壓與線電壓的相能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,對(duì)學(xué)生的職業(yè)能力和職業(yè)素養(yǎng)有了明顯提高。學(xué)位關(guān)系”等的數(shù)學(xué)推導(dǎo),過(guò)程繁瑣復(fù)雜,經(jīng)教學(xué)檢驗(yàn),適當(dāng)簡(jiǎn)化其推導(dǎo)過(guò)程生能熟練地使用常用電工工具、電工儀表,獨(dú)立的按工藝要求安裝維護(hù)家教學(xué)效果反而更好,并可節(jié)省教學(xué)時(shí)間。用電路,并能根據(jù)要求設(shè)計(jì)電氣控制線路。參考文獻(xiàn)二、課程教學(xué)改革的總體設(shè)計(jì)[1l]葉發(fā)錦基于職業(yè)能力培養(yǎng)的高職機(jī)電英語(yǔ)課程教學(xué)改革與創(chuàng)新全國(guó)同類(lèi)高職院校對(duì)《電工》課程教學(xué)改革也做了相應(yīng)的嘗試,一般分[J].高教論壇,2012,(06):123為兩種情況:第一種,是沿用理工類(lèi)本科院校的教學(xué)模式,重視對(duì)理論的推〔2]宋燁.基于職業(yè)導(dǎo)向的髙職課程體系構(gòu)建的探討與實(shí)踐[J].科技導(dǎo),分析及技術(shù),實(shí)驗(yàn)性課程大多采用上機(jī)仿真來(lái)進(jìn)行。而這種教學(xué)模式訊,2010,(151)對(duì)于高職院校的學(xué)生來(lái)說(shuō)是根本行不通的,枯燥的理論推導(dǎo)需要扎實(shí)的數(shù)3]李佳佳,職校電工技術(shù)難教難學(xué)成因及對(duì)策[J].考試周刊,2011理基本功作為基礎(chǔ),這點(diǎn)我們的學(xué)生可能較難達(dá)到;另外,上機(jī)仿真的驗(yàn)證性試驗(yàn)和實(shí)際的生產(chǎn)過(guò)程操作結(jié)果有時(shí)有出入,我們培養(yǎng)的是要能和企業(yè)[4]焦莉.基于職業(yè)能力培養(yǎng)的高職教學(xué)改革探討[J].科技資訊,無(wú)縫對(duì)接的學(xué)生,所以這樣的實(shí)驗(yàn)課程對(duì)高職院校的學(xué)生是不適用的。第012,(151)種是大張旗鼓地進(jìn)行深度改革,為了強(qiáng)化學(xué)生操作技能,大量增加實(shí)踐5]李海亭.電工基礎(chǔ)教學(xué)心得[J].科技信息,2011,(151教學(xué)時(shí)間,大幅減少了理論教學(xué)課時(shí),而教材的編排又未及時(shí)作出相應(yīng)的[6]房雪立,淺談電工基礎(chǔ)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[J].教育交流調(diào)整,這使得理論教學(xué)課時(shí)明顯不夠。再加上一些教師教學(xué)方法單調(diào)、陳2009,(03)舊,仍習(xí)慣于采用灌輸式等老一套方法教學(xué),學(xué)生不容易接受。[冂]王兆坤.職校電工基礎(chǔ)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)初探[J].大視野針對(duì)這兩種典型現(xiàn)象的利弊,我院的教學(xué)團(tuán)隊(duì)深入企業(yè)調(diào)研,結(jié)合企2009,(03業(yè)能力培養(yǎng)目標(biāo)和學(xué)生理論水平狀況,著力對(duì)《電工》課程進(jìn)行科學(xué)的教學(xué)(上接第186頁(yè))-2,點(diǎn)(3)也是曲線yA)=3-42+1的拐點(diǎn)y=60x2,y(0)=0:y)=120x,y°(0)=0例3.討論曲線y=f(x)=x*是否有拐點(diǎn)=120,y”(0)=120≠0解:函數(shù)y=x的定義域?yàn)?-∞+∞)由于y(0)=120是五階導(dǎo)數(shù)值,所以當(dāng)x=0時(shí),y=0:點(diǎn)(00)是曲線p/x)=r=4x2,y=12x2,令y=0,得x=0:y(0)=0,y(0)=24≠0,此時(shí)n=4的拐點(diǎn)例2.求曲線y=(x)=3x2-4x3+1的拐點(diǎn)為偶數(shù),因此當(dāng)x=0時(shí),y=0,點(diǎn)(00)不是曲線y=()=x的拐點(diǎn)。故曲線無(wú)拐點(diǎn)。解:函數(shù)y=/(x)=3x-4x+1的定義域?yàn)?-∞,+∞)exH中國(guó)煤化工參考令p=0,得石=0,=3CNMHM].丁壽田譯.人民教育出y=72x-24,y(0)=-24≠0:13)-20且3為奇是版社,1960[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社,1980當(dāng)x=0時(shí),y=1,點(diǎn)(0)是曲線y=(x)=3x2-4x2+1的拐點(diǎn):當(dāng)x=時(shí)