跨世紀(jì)2008年7月第16卷第7期 Cross Century,June2008,vol16,No.7127Taylor定理的應(yīng)用韋潔華(廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部,廣西,貴港,510980)【摘要】本文通過實(shí)例介紹 Taylor定理在證明不等式、導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)行列式的計(jì)算、定積分的近似計(jì)算及定積分計(jì)算、關(guān)于界的估計(jì)、函數(shù)方程金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】 Taylor定理;不等式;中值估計(jì);行列式;定積分;界;函數(shù)方程;AaR;債券中圖分類號(hào)】013【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B【文章編號(hào)】1005-1074(2008)06-0127-02Taylor定理:若∫"(x)在[a,b]上連續(xù)(x)在(a,b)x)2內(nèi)存在則Ⅴx,x∈[a,b],3在x與x之間,使得下式成立因此,fx)=f(x)+fx)++n/”()(x-)”+R(x),、(1) min ox,xe(0,),(x)=f(a)+f(a)f: (a)f(°(a)2!(x-a)2+A+證明原式等價(jià)于八(x)=mnx,nx-2>0,因(0)=f)(x-),=(0)=0(x)=sinx5mc2x-1)+ bsin xsec'r>0,根據(jù)行列式的性質(zhì),對(duì)于任何k∈N,有4=a(a-b),又故f(x)>0(當(dāng)x∈(0,0))原式獲證根據(jù)行列式求導(dǎo)法則,有fn(x)=mfn1(x),fn-(x)=(n-1)f2(x),A,2(x)=2f12導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)例2設(shè)f(x)二次可微,(0)=f(1)=0,maxf(x)(x),f1(x)=1,所以f(x)在x=a處的各階導(dǎo)數(shù)為f(a)=n(n-1)A(n2,試證mn(x)≤-16證明:因f(x)在[0,1]上連續(xù),有最大最小值,又因k+1)a(a-b)"k(k=1,2,A,n-1)f("(a)=n(nmaxf(x)=2,f(0)=f(1)=0,故最大值在(0,1)內(nèi)部達(dá)1)A2·1,從而到所以3x∈(0,1)使得fx)=a(a-b)“1+.(a-b)2(x-a)+D,1)a(af(x0)于是f(x)為極大值由 Fermat定理,有f(x)==0b叫("1)A2a(x-a)1+-1)21在x=x處按 Taylor公式展開,3v∈(0,1)使得:0=(0)=f(x)+()(0-x)2=2+f(x)x2若中國(guó)煤化工)b];0=(1)=(x)+1f(n)(1-x)2=2+fn)(1-若a≠CNMHG作者簡(jiǎn)介:韋潔華(199~),女,廣西費(fèi)港市人,廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部助教從事高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)概率論等基礎(chǔ)課程的教學(xué)與研究。128跨世紀(jì)2009年7月第16卷第7期 Cross Century,June2008,vol16,No74定積分的近似計(jì)算及定積分計(jì)算式給出例4∫f(x+h)=ftx+h)此式兩端同時(shí)對(duì)h求導(dǎo),減去f1x),除以h,然后令h0取極解:原式=d=1(1-2+x2-A)d=1限即得(x)=0,(x)為二次函數(shù)7在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用7.1在VaR計(jì)算中的應(yīng)用ⅤAR模型,自20世紀(jì)90年代被引人到風(fēng)險(xiǎn)管理中,已經(jīng)成例5求定積分bdx的近似值。為金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管當(dāng)局所廣泛采用的風(fēng)險(xiǎn)度量和管理工具。解:該被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),故用牛頓一萊VaR模型的常見計(jì)算方法有參數(shù)法、歷史模擬法和蒙特卡羅布尼斂公式是無法求出其精確解的,考慮的泰勒展開,模擬法其中的參數(shù)法就是由資產(chǎn)價(jià)值函數(shù)的黍勒展開來計(jì)能方使的求出其近似數(shù)算,并且依據(jù)函數(shù)展開階數(shù)的不同,分為dela類方法和gamma類方法?？紤]一個(gè)投資組合X=(x,x2,A,x)「其中X,isin( Axx21,2,A,n表示第i種資產(chǎn)的投資權(quán)重,t時(shí)刻所有資產(chǎn)的價(jià)7!3!5值向量V=(v1,2,A,,),組合X的價(jià)值為v=∑x,在下sin( ex一個(gè)時(shí)段內(nèi),組合價(jià)值變動(dòng)為4=△,假設(shè)每種所以資產(chǎn)價(jià)值都由K個(gè)市場(chǎng)因子確定,且這K個(gè)市場(chǎng)因子服從聯(lián)合正態(tài)分布,F=G1J2,Af),則AV按照一階泰勒展開得in( ex△=∑x洲(F,)、m(F,)因?yàn)?2(1,故;=d由此得出dla參數(shù)法;若將投資組合的價(jià)值變動(dòng)函數(shù)按照二階泰勒公式展開,則得 gamma參數(shù)法。9461,誤差R<1!;<0.5×10-37.2在債券定價(jià)中的應(yīng)用在債券的定價(jià)及投資組合風(fēng)險(xiǎn)值的計(jì)算中,平均期限是一個(gè)重要的概念,它衡量基礎(chǔ)產(chǎn)品價(jià)5關(guān)于界的估計(jì)格相對(duì)于基礎(chǔ)利率變化的幅度。一個(gè)20年期的債券也許只例6設(shè)f(x)在[0,1上有二階導(dǎo)數(shù),0≤x≤1時(shí)有17年的平均期限.這意味著,如果利率上升2%,該債券f(x)|k≤1,|f(x)|<2試證:當(dāng)0≤x≤1時(shí),|f(x)|≤3價(jià)格將下跌34%;而利率下跌1%時(shí),債券價(jià)格則上升17證明:1)=f(x)+(x)(1-x)+f)(1-x)2%,若每次用vaR模型來進(jìn)行計(jì)算,工作是十分煩瑣的.舉例來說現(xiàn)有一個(gè)5年期的票面金額為100美元的債券,年利f(0)=f(x)+f(x)(-x)+f(n)(-x)息為10美元計(jì)算當(dāng)利率從10%變化到11%或15%時(shí),債券的價(jià)格變化.如下表所以(1)-f0)=f(x)+(x)+)(t)(1-x)2-f(n)表1債券的價(jià)格變化x)≤|f(1)|+o)+31()(1-x)2+10%11%15%利息(s)10毒108紙n)kx2≤2+(1-x)2+x2≤2+1=31086函數(shù)方程中的應(yīng)用期限(t)5Sy例7設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有連續(xù)三階導(dǎo)數(shù),且滿足方貼現(xiàn)因子Dn(0.62090.59880.4972f(x+h)=f(x)+hf(x+h),0<0<1(6和h無關(guān)).(1)試證:f(x)是一次或二次函數(shù)年金因子(-m3.7913.64733.3520證問題在于證明:f1x)=0或fTx)=0.為此將(1)式對(duì)h求導(dǎo)注意θ和h無關(guān),我們有零息票部分6209:59.88849.72f(x+h)=f(x+h)+h1x+h)(2)年金(-D)x)3791836.4733.528從而x+b)-(x)-(x+h)=6f(x+助h).令h→0取極中國(guó)煤化工9.36883248限,得;f(x)-6f1x)=f(x),f1x)=2ef1x)aYHCNMHG若6≠,由此知fx)=0,f(x)為一次函數(shù);若0=,(2)跨世紀(jì)2008年7月第16卷第7期 Crois Century,June2008,vol16,N.7129學(xué)習(xí)型社會(huì)中成人教育現(xiàn)狀及其發(fā)展趨勢(shì)徐炳(黑龍江大學(xué)成人教育學(xué)院教學(xué)部,黑龍江,?,?)【摘要】成人教育是面向社會(huì)所有成人的一種學(xué)習(xí)教育形式,在學(xué)習(xí)型社會(huì)的建設(shè)中具有重要的地位和作用。然目前我國(guó)的成人教育中還存在許多問題這必然影響我國(guó)建立學(xué)習(xí)型社會(huì)的目標(biāo)。因此,有必要研究成人教育發(fā)展中的問題并給子解決,以充分發(fā)揮成人教育在建立學(xué)習(xí)型社會(huì)中的作用【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)型社會(huì);成人教育終身教育【中圖分類號(hào)】C72【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B【文章編號(hào)】1005-1074(2008)07-0129-02近年來,我國(guó)黨和政府部門十分重視“學(xué)習(xí)型社會(huì)”的建每個(gè)人的學(xué)習(xí)能力就業(yè)能力和創(chuàng)業(yè)能力,使自己的潛能得到設(shè)黨的十六大明確提出把在2020年“形成全民學(xué)習(xí)終身學(xué)充分發(fā)揮,才智得到充分的展示,實(shí)現(xiàn)個(gè)人價(jià)值。習(xí)的學(xué)習(xí)型社會(huì)促進(jìn)人的全面發(fā)展”列為小康社會(huì)的一個(gè)從社會(huì)角度來看,“學(xué)習(xí)型社會(huì)”是社會(huì)發(fā)展的必然要重要目標(biāo),并強(qiáng)調(diào)要“加強(qiáng)職業(yè)教育和培訓(xùn),發(fā)展繼續(xù)教育,求。經(jīng)濟(jì)全球化的今天,國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)日益激烈國(guó)際間的競(jìng)爭(zhēng)表構(gòu)建終身教育體系。成人教育是終身教育的一部分,是一種現(xiàn)在人才的競(jìng)爭(zhēng)上,重視教育,培養(yǎng)創(chuàng)新型人才,實(shí)現(xiàn)人的自非常適合所有社會(huì)成員學(xué)習(xí)能滿足其不同學(xué)習(xí)需求的開放和全面地發(fā)展,從而為社會(huì)創(chuàng)造更多更好的價(jià)值和財(cái)富,從性教育形式。同時(shí),它也是促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步與和諧發(fā)展的有效而推進(jìn)社會(huì)的變革與進(jìn)步,成為全球化的大趨勢(shì)。建立學(xué)習(xí)途徑,與學(xué)習(xí)型社會(huì)的建設(shè)緊密相連,關(guān)系密切。在這個(gè)意義型社會(huì)。因此,社會(huì)向每個(gè)成員提出了不斷學(xué)習(xí),更新知識(shí)和上來說,成人教育的發(fā)展對(duì)于學(xué)習(xí)型社會(huì)的建設(shè)就具有十分技能的要求。重要的促進(jìn)作用,是促進(jìn)學(xué)習(xí)型社會(huì)形成的重要途徑2學(xué)習(xí)型社會(huì)的成人教育的現(xiàn)狀對(duì)學(xué)習(xí)型社會(huì)內(nèi)涵的理解成人教育的對(duì)象都是社會(huì)成人,他們參加成人教育學(xué)習(xí)黨的十六大提出構(gòu)建“學(xué)習(xí)型社會(huì)”的宏偉目標(biāo)。根據(jù)的過程其本身就是學(xué)習(xí)化社會(huì)建設(shè)的一部分;同時(shí),他們接受十六大報(bào)告的提法所謂的學(xué)習(xí)型社會(huì)是以終身學(xué)習(xí)和全民成人教育后又回到社會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展學(xué)習(xí)持續(xù)學(xué)習(xí)這不僅僅是學(xué)習(xí)為核心內(nèi)涵的。他們自我完善的行為,而且對(duì)學(xué)習(xí)型社會(huì)的建設(shè)也是一種擴(kuò)從個(gè)人角度看,學(xué)習(xí)型社會(huì)是個(gè)人生存和發(fā)展的需要。展、促進(jìn)、推動(dòng)。因此,重視和發(fā)展成人教育應(yīng)該是發(fā)展各類隨著信息時(shí)代的到來,科技日新月異,知識(shí)更新的步伐加快,教育,優(yōu)化教育結(jié)構(gòu)增強(qiáng)教育供給能力的重要環(huán)節(jié)。然而,從竟?fàn)幰踩找婕ち摇€(gè)人要想在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中取得一席之地,目前的成人高等教育發(fā)展現(xiàn)狀來看既有先天不足的問題,也就需要不斷學(xué)習(xí),不斷“充電”,更新知識(shí)和技能以應(yīng)對(duì)社會(huì)有后天跟不上社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的因素。其表現(xiàn)為:需求。同時(shí),“學(xué)習(xí)型社會(huì)”為社會(huì)成員提供良好的學(xué)習(xí)環(huán)2.1社會(huì)對(duì)成人教育存有偏見傳統(tǒng)思想認(rèn)為,成人教育境,社會(huì)的每個(gè)成員都享有學(xué)習(xí)的權(quán)利都有接受教育的機(jī)是非正式教育,就是“用金錢換取文憑”,成人教育和正規(guī)教會(huì),人人都在實(shí)踐終身學(xué)習(xí),全體社會(huì)成員通過學(xué)習(xí)不斷提高育相比被認(rèn)為是“低人一等”。這種偏見的長(zhǎng)期存在必然影麥考雷( Macaulay)利用泰勒展開式的第一項(xiàng)求出該債券平2同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京高等教育出均期限為3.791.用平均期限法預(yù)計(jì):利率從10%上升到版社,1987:260-26311%,債券價(jià)格下跌3.91%,即新價(jià)格為96.21美元;而3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析(第三版)[M],北京:高等教育出利率從10%上升到15%,價(jià)格下跌18.96%,債券價(jià)格變杜,202為81.05美元,因此當(dāng)利率變化不大時(shí),平均期限法的預(yù)計(jì)Cormac Butler.風(fēng)險(xiǎn)值概論[M].上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社相對(duì)準(zhǔn)確;但當(dāng)利率變化較大時(shí)誤差較大,麥考雷用凸性及2002:137-153凸性的修正值重新估計(jì),得到了非常滿意的結(jié)果.凸性(用y衰2引率變化表表示)表示的是秦勒展開式的第二項(xiàng),再用12XyX(r)2進(jìn)行調(diào)整(△r為利率變化),如表2。(該債券的凸性用泰勒利率變化公式易算為19.37)平均期限我們發(fā)現(xiàn)與債券的實(shí)際價(jià)格非常接近;但極大地減少了平均期限估計(jì)值3.791%18.95%工作量麥考雷正是通過泰勒展開式求出了修正的平均期限和凸性值;而布萊克( Black)和斯科爾斯( Scholes)利用它建中國(guó)煤化工2.421%立了著名的期權(quán)定價(jià)模型。CNMHG18.95%+2.421%8參考文獻(xiàn)1裝禮文數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]北京高等教育出版?zhèn)聝r(jià)格3183.47社,1993