2010年4月廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Apr.2010第10卷第2期Journal of Langfang Teachers College( Naturnal Science Edition)Vol 10 No概率方法的應(yīng)用車明剛(吉林師范大學(xué),吉林四平136000【摘要】通過實(shí)例討論了概率論在其它數(shù)學(xué)分支中的運(yùn)用,一方面顯示出概率方法在證明某些數(shù)學(xué)問題時(shí)的簡明性,另一方面也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系【關(guān)鍵詞】概率方法;不等式;中心極限定理;數(shù)學(xué)期望The Application of Probability MethodsCHE Minggang(Abstract) This article discusses the application of probability methods by using some specific examples. It showsthebriefness of the probability method, at the same time it also demonstrates the linkage bet ween the branches of mathemat-(Key words] probabilistic methods; inequalities; the central limit theorem; mathematical expectation中圖分類號(hào)〕0212〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕A〔文章編號(hào)〕1674-3229(2010)02-0022-02概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,主要是研究隨機(jī)現(xiàn)根據(jù)性質(zhì)Ex2≥(Ex)可知,1∑a≥象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué),有它獨(dú)特的理論和方法,具有廣泛的應(yīng)用。本文通過構(gòu)造概率模型,利用概率思想1方法來解決實(shí)際問題,從而使解決的過程變得直觀簡潔并使其具有直觀的概率背景易于掌握。利用2概率方法在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用概率方法解決數(shù)學(xué)其它分支中的問題。一方面說明了數(shù)學(xué)各分支之間的內(nèi)在聯(lián)系,另一方面也啟發(fā)我通過構(gòu)造概率模型,利用離散型隨機(jī)變量的概們從不同的角度來解決數(shù)學(xué)問題。率函數(shù)的性質(zhì)可以達(dá)到級(jí)數(shù)求和的目的。1利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證明不等式例題1求無窮級(jí)數(shù)∑aa的和其中an不等式的形式多種多樣,針對(duì)不等式的具體形是等差數(shù)列(d>0,d為公差)。解建立概率模型,設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩個(gè)基式,構(gòu)造相應(yīng)的概率模型進(jìn)而利用概率論的一些性本事件A和A,將E獨(dú)立地做n次,在第k次試驗(yàn)質(zhì)來證明不等式。中A出現(xiàn)的概率為p4;A不出現(xiàn)(即A出現(xiàn))的概命題證明1率為q,其中證明設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為≤pk≤1,0≤qk≤1,pk+qk=1,(k=1P(X=a1)=,i=1,2,…,n,設(shè)A1表示事件A在第i次試驗(yàn)中出現(xiàn)(因?yàn)镋x2=1Sa:,EX=12,…,n),則有臺(tái)p(A1)+p(A2)p(A1)+p(A3)p(A2)p(A1)+M凵中國煤化工[收稿日期]2010-01-15[基金項(xiàng)目]吉林師范大學(xué)教研項(xiàng)目CNMHG作者簡介]車明剛(1971-),男吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院講師碩士研究方向:奇點(diǎn)理論及應(yīng)用。2第10卷·第2期車明剛:概率方法的應(yīng)用2010年4月+p(A)p(A1)p(A2)…p(A-1)=1-p(A1)p(A2)令…p(A,),即則Pi+ p2 91+ P3 92+'+ Pn9192qn-IE(ni)=h+x,9192 qn由引理1得根據(jù)p,q取不同的值來求級(jí)數(shù)的和,P:= P(A:i=1,2,又∫(x)有界連續(xù),由引理2,得其中a1>0為數(shù)列首項(xiàng),d>0為公差,則imE{八[(∑/n)+x]}=f(h+x)ddd1dda,t3d a,+d即a,td…,1+(n-2)dlmS八(x+kn)m“=(x+h)a1+(na1+d..a1+(n-1)d4建立二元隨機(jī)模型求解二重積分a1+ nd o所以通過建立二元隨機(jī)模型,將二重積分的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為概率的求解問題,利用模型的性質(zhì),可以簡a1n→+a1n+…+al.aa-aa+ma化積分的計(jì)算。例題3計(jì)算二重積分Id-d(an+nd)=1d其中D為橢圓(+2)≤k,k>03利用大數(shù)定律證明極限解建立概率模型設(shè)(,n)服從二維正態(tài)分戰(zhàn)周的年男通用數(shù)準(zhǔn)內(nèi)被紅所通布此三重積分恰為G2落在橢(二+別)≤明一些復(fù)雜的極限。內(nèi)的概率其中6,相互獨(dú)立且~N(0,a2),~引理1(辛欽大數(shù)定理)設(shè)Xn}是兩兩獨(dú)立N(0,b2),于是同分布且具有限均值m的隨機(jī)變量則有x2=(a)+(2)-x(2),所求概率為m,其中s,=∑x:,m=E(X)。P(X2≤K)=I引理2設(shè)g(x)有界連續(xù),而,一→,則對(duì)FEr>0, lim g(E )-g(E)=Oo5用蒙特卡洛方法近似計(jì)算定積分例題2設(shè)∫(x)為[0,+∞)上有界連續(xù)函蒙特卡洛方法又稱隨機(jī)模擬法,通過構(gòu)造適當(dāng)數(shù),x≥0,h≥0時(shí),則有的概率模型建立相應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn),利用概率性質(zhì),m(x+Mn)!c“=fh+x)可以近似計(jì)算定積分。以下題為例,其實(shí)這種方法是建立在辛欽大數(shù)證明設(shè)1n}兩兩獨(dú)立且同分布,~P(k定律h),由泊松分布的性質(zhì)得YHa中國煤化工CNMHGe/√2rdxP(∑:)=相]=m(下轉(zhuǎn)28頁)232010年4月廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第10卷·第2期[參考文獻(xiàn)]4結(jié)東語[1]劉華杰.分形藝術(shù)[M].長沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社由迭代規(guī)則集和控制概率集以及仿射變換集構(gòu)[2] J. Hutchinson. Fractals and Self Similarity[J].Indiana成的IFS系統(tǒng),IFS吸引子僅由迭代規(guī)則集決定,與Uniw.Math.J,30(1981)p713-747概率控制向量和仿射變換集無關(guān)。在實(shí)際繪圖中,控[3]T. Fujimoto,Y.Ohn,K., Muraoka,N. Chiba. Fractal制概率控制拼貼圖形各部分落點(diǎn)的密度,仿射變換Deformation Using Displacement Vectors Based onExtended Iterated Shuffle Transformation[J.藝術(shù)科學(xué)論集則控制拼貼圖形塊的拼貼方式,使圖形顯示出層文志,vol.lNo3p.134-146次的效果,與自然景觀更加貼近。目前已有的分形圖[4]李曉燕,IFS碼圖像生成算法[].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào),形生成策略,多數(shù)依靠試探性實(shí)驗(yàn)去挖掘,對(duì)于分形1996,(4)圖形的IFS迭代規(guī)則集、控制概率集以及仿射變換[5]李水根分形M北京:高等教有出版社,204.[6]林貽俠,朱銓范,等.吸引子在代系統(tǒng)中的作用[J].上集選擇的理論基礎(chǔ)尚待建立。海大學(xué)學(xué)報(bào),1995,(5)(上接23頁)解設(shè)隨機(jī)變量X服從(0,1)上的均勻分布,題,進(jìn)行仔細(xì)觀察和分析,構(gòu)造適當(dāng)?shù)囊阎囊痪S則Y=∫(x)的數(shù)學(xué)期望為或多維隨機(jī)變量模型;第二,分析一維或多維隨機(jī)變J=E(f(x)=f(x)dx。量的相關(guān)性質(zhì)(如概率函數(shù)或概率密度的規(guī)范性,數(shù)字特征等)及一些定理(如大數(shù)定律,中心極限定理其中等);第三,利用概率模型進(jìn)行求解或證明即得。對(duì)于概率問題中的其他數(shù)學(xué)方法,也要針對(duì)解決的數(shù)估計(jì)J的值就是估計(jì)f(x)的數(shù)學(xué)期望的值由學(xué)問題,進(jìn)行仔細(xì)觀察和分析,進(jìn)而采取適當(dāng)?shù)奈⒋髷?shù)定律,可以用f(x)的觀察值的平均去估計(jì)積分方法或其他數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解。f(X)的數(shù)學(xué)期望的值具體做法如下:[參考文獻(xiàn)]先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生n個(gè)(0,1)上均勻分布的隨機(jī)1林正炎等,當(dāng)前概率學(xué)科中的研究機(jī)遇[]數(shù)學(xué)進(jìn)展,2004,(4):159-161x,i=1,2,…,n然后對(duì)每個(gè)x計(jì)算八(x),最[2]劉璃娟,對(duì)一類積分問題的探討[J上海工程技術(shù)大學(xué)后得J的估計(jì)值為八≈f(x),則在精確值n學(xué)報(bào),2004,(3):30-35[3]周惠新概率方法的妙用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2005,(5):=105時(shí)的模擬值為0.341355。數(shù)學(xué)中的各個(gè)學(xué)科都是相互聯(lián)系的,熟悉數(shù)學(xué)[4][關(guān)]W費(fèi)勒等胡迪鵝林向清譯概率論及其應(yīng)用中的各種方法,可以提高綜合解決數(shù)學(xué)問題的能力。[M].北京:科技出版社,1980[5]復(fù)旦大學(xué)概率論(第10冊(cè))[M].北京:人民教育出版利用概率方法的關(guān)鍵在于根據(jù)不同的數(shù)學(xué)問題,去社,1979構(gòu)造合適的概率模型然后利用概率論中的相關(guān)性[6]柯召,魏萬迪,組合論[M]北京:科學(xué)出版社,1981質(zhì)與定理解決問題。數(shù)學(xué)問題中的概率方法可以歸[7]王梓坤概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社結(jié)為以下三個(gè)步驟:第一,對(duì)于所要解決的數(shù)學(xué)問中國煤化工CNMHG28