第8卷第16期 2008年8月科學(xué)技術(shù)與工程VoL8 No. 16 Aug 20081671-1819(2008) 16-4761-03Science Technology and EngineeringC 2008 Sei. Tech. Engng管理科學(xué)基于CVaR的投資組合優(yōu)化段琪何春雄*(華南理工大學(xué)理學(xué)院,廣州510640)摘要由VaR模型的非一致性風(fēng)險(xiǎn)度量缺點(diǎn)引出CVaR模型,分析了CVaR的計(jì)算方法,并利用遺傳算法對我國股票的實(shí)際數(shù)據(jù)求出了投資組合的最優(yōu)解。關(guān)鍵詞條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值投資組合優(yōu)化遣傳算法中圖法分類號F224.9;文獻(xiàn)標(biāo)志碼AVaR( Value at-Risk) ,即風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值,是一種標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)技術(shù),用來估計(jì)金融風(fēng)險(xiǎn)的方法"。盡管VaR1 CVaR 的計(jì)算方法在金融風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域非常流行,但是經(jīng)過很多學(xué)者的不斷探索和實(shí)踐證明(2] , VaR無論在理論上還是在應(yīng)CVaR是指在給定期限和置信度下,某一資產(chǎn)用上都存在一定的缺陷，如VaR不滿足次可加性組合面臨的超過VaR的平均損失。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:φ(X+ Y)≤φ(X) +φ(Y)。CVaR。(x) = E[Jf(x,5)1f(x,5) ≥VaR.(x)]。所以,不是- -致性風(fēng)險(xiǎn)度量。VaR 不- -定滿足其中f(x,5)為價(jià)格狀態(tài)為ξ ,投資組合為x下的損凸性;VaR只依賴于單一的損失函數(shù)的分位數(shù)。雖失,其中x = (x.,2..x.) C X ,X為投資組合的可能以較大概率保證損失不超過VaR,但不能表明損失一旦超過VaR這種極端情況發(fā)生時(shí)的潛在損失行集,且XCR" ,ξ = (5 5**.為市場價(jià)格向量或市場因子,它的密度函數(shù)為Pt。假定Pe是連續(xù)的大小。為了克服VaR的不足,Rockafeller和Uryasev3]的.當(dāng)ξ的分布已知時(shí),f(x,5)是-一個(gè)依賴于x的隨提出了條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量技術(shù), CVaR機(jī)變量,它不超過臨界值a的概率由下式確定:考慮的是大于VaR的極端損失的平均值,它表達(dá)了ψ(x,a)= p(r)dy,a∈ R。當(dāng)資產(chǎn)損失超過VaR值時(shí)其損失究竟是多少的問ψ(x,a)為累積分布函數(shù),它關(guān)于a單增連續(xù)題。從數(shù)學(xué)意義上講,它是一個(gè)條件期望值,較VaR的函數(shù).以ag(x)表示投資組合x的VaR值[4] ,即更能體現(xiàn)資產(chǎn)組合所面臨的真正風(fēng)險(xiǎn),且CVaR是ag(x) = min{a∈R;ψ(x,a)≥1 -β};-致性風(fēng)險(xiǎn)度量方法;被學(xué)術(shù)界認(rèn)為是一-種比VaR令q(x) =(1-β) > . f(x,y)p(y)dy。風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量技術(shù)更為合理有效的現(xiàn)代風(fēng)險(xiǎn)管理方法。其中p(x)表示資產(chǎn)損益不小于ag(x)時(shí)的期望損失值CVaR,其中β為置信水平。2008年4月28日收到國家 自然科學(xué)基金項(xiàng)目(70571024)資助CVaR的計(jì)算不需要事先假定分布形態(tài),在任第-一作者簡介:段琪,女,碩士研究生 .研究方向:隨機(jī)分析與金意情況下其計(jì)算都可涌討模擬法來實(shí)現(xiàn)。融工程。Email:duanqj821@ 163. com。中國煤化工●通信作者簡介:何春雄,男,博士,教授,研究方向:隨機(jī)分析與金MH.CNMHG融工程。Email:machxhe@ 8ecut. edu. cn。prL,u7-471- g*ilU\o,f) -a]'},其中4762科學(xué)技術(shù)與工程8卷a*= max{0,a} . 計(jì)算CVaR的關(guān)鍵在于函數(shù)Fp(x,行投資組合優(yōu)化。選擇了陸家嘴、深發(fā)展、青島啤a). Fp(x,a)具有如下性質(zhì)+:酒、申能股份、深康佳、友誼股份這6支股票。由于minCVaRg(x) =.. min. Fp(x,a) 。從1996年12月16日開始我國實(shí)施T+1交易,并如果損失函數(shù)f(x,y)為凸函數(shù),可行集X是凸且有漲跌停板限制。這種政策的改變對最終的結(jié)集,則上式就是凸規(guī)劃的最優(yōu)化問題,最小化CVaR果產(chǎn)生的影響比較大,數(shù)據(jù)選擇了1996年12月可轉(zhuǎn)化為解決凸優(yōu)化問題5:16日之后截止到2007年12月28日2550個(gè)數(shù)據(jù)。。 min Fp(x,a)。這里,選擇的目標(biāo)時(shí)段為1 d ,因此考察每只股票對因此，基于CVaR的投資組合必定存在最優(yōu)解。應(yīng)的日收益率,根據(jù)股票的歷史價(jià)格,計(jì)算其幾何由于市場因子ξ的分布一-般是未知的,在這種情況下,只能根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或情景模擬數(shù)據(jù)來刻畫收益率ry = lIn;P里,同時(shí)置信水平分別選擇90% ,Pij-I它們的經(jīng)驗(yàn)分布,再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)分布測算其風(fēng)險(xiǎn)量95%與99%。值。因此, F(x,a)可以用情景分析法(模擬法)來盡管VaR、CVaR的度量為貨幣單位,但是為了近似,在本文中運(yùn)用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,取m個(gè)歷敘述方便本文中仍將收益、損失、VaR、CVaR等統(tǒng)統(tǒng)史數(shù)據(jù)y;,j =1,2,.. m,則Fp(x,a)可近似表.折算為初始價(jià)值的百分比來考慮,因?yàn)樨泿艈挝慌c示為:百分比之間存在著一對應(yīng)的線性關(guān)系.P(x,a) =a+π-8m SU(*.y) -a]'。第一步:初始化群體從上式可以看出,如果f(x,y)是關(guān)于x的線性函.設(shè)定種群規(guī)模N =50,最大進(jìn)化代數(shù)maxgen數(shù),那么函數(shù)Fp(x ,a)是凸的而且是分段線性的。=50，代溝Gap =0. 9,采用浮點(diǎn)編碼方式,隨機(jī)生成50個(gè)染色體Z = (xX,.,,Xx) ,其中每個(gè)染色體用X = (:2,1,,,,.)表示,其中s =7。2求解CVaR模型的遺傳算法第二步:適應(yīng)度的計(jì)算和評估初始群體的特性對計(jì)算結(jié)果和計(jì)算效率均有適應(yīng)度函數(shù)為:重要影響。針對基于CVaR模型的投資組合優(yōu)化問φ(X,a) =a+(1-B)mδ [[f(X,y)-a]*。題的特點(diǎn),采用浮點(diǎn)編碼,定義染色體的長度與該其中X = (x,*,.,x.)。模型變量的個(gè)數(shù)相同,隨機(jī)生成染色體個(gè)體X =(x,",x.) ,其中每個(gè)基因xE [0,a],a∈[O,第三步:遺傳操作及產(chǎn)生下一代依據(jù)適應(yīng)度的大小,先將有效解集中最大的適1] ,并且要求2x=1。應(yīng)度值對應(yīng)的個(gè)體賦值給中間變量,精英保留策略就是在算法的迭代過程中,從上然后將隨機(jī)選中的雙親按照概率p。進(jìn)行交叉一代保留最優(yōu)解至下一帶的過程。操作,產(chǎn)生新的個(gè)體.其中p。=0.8。接著再以一定遺傳算法要求進(jìn)化過程中保持群體規(guī)模不變,的概率Pm選取種群中若干個(gè)體進(jìn)行變異,其中Pm但為了防止早熟收斂,在進(jìn)化過程中引人移民機(jī)=一=0.14。將交叉、變異操作后的子代種群和父制,對群體中的個(gè)體進(jìn)行調(diào)整。所謂移民機(jī)制就是在每一代進(jìn)化過程中以- -定的淘汰率將最差個(gè)體代種群分別計(jì)算適應(yīng)值并按照適應(yīng)值大小分別進(jìn)淘汰,然后用產(chǎn)生的新個(gè)體代替。行排序,將子代種群中前50%的個(gè)體代替父代種群中后50%的個(gè)體，重組后產(chǎn)生新的種群,對新產(chǎn)生3 CVaR 模型在投資組合中的應(yīng)用的種|中國煤化工計(jì)算適應(yīng)值并排序,YHCNMHG新種群中最差的.選取了深滬兩市中的6只股票應(yīng)CVaR模型進(jìn)NCap個(gè)個(gè)體。16期段琪,等:基于 CVaR的投資組合優(yōu)化4763第四步:收斂準(zhǔn)則有其優(yōu)越性,它具有次可加性,而且是凸的,用CVaR以最大進(jìn)化代數(shù)maxgen為收斂準(zhǔn)則,如果進(jìn)化度量風(fēng)險(xiǎn)在計(jì)算上相對簡單,而且在投資組合優(yōu)化代數(shù)達(dá)到maxgen ,中止收斂輸出最優(yōu)個(gè)體及優(yōu)化求解過程還可以順便得到投資組合的VaR?；诤瘮?shù)值,否則進(jìn)化代數(shù)加1,返回第二步。CVaR模型進(jìn)行了投資組合優(yōu)化,分析了投資組合.用matlab軟件執(zhí)行遺傳算法流程[5],得到近似優(yōu)化的計(jì)算過程。最優(yōu)解,如表1。由于遺傳算法提供了一種求解復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問題的通用框架,它不依賴于具體問題的領(lǐng)域,而表1近似最優(yōu)解且函數(shù)優(yōu)化是遺傳算法的經(jīng)典應(yīng)用領(lǐng)域,這里采用VaRCVaR了遺傳算法對中國的股票投資組合進(jìn)行了實(shí)證b=0.90[ 0.1420， 0.1034， 0.0955,0.01550.0198研究。.0. 1515, 0. 1710, 0. 3366]b=0.95[ 0.0492， 0.2664， 0. 1403,0.0263O.0290參考文獻(xiàn)0. 0461, 0. 2655, 0. 2326]b=0.99 .. [ 0.2824， 0.0667， 0.2627,0. 04670.04831菲利普,喬 瑞. 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR.二北京:中信出版社,20050. 0855, 0. 0644, 0. 2383]2王春蜂.金融市場風(fēng)險(xiǎn)管理-VaR方法.天津:天津大學(xué)出版社,004結(jié)論3 Rokaellr R T, Uyasev s. ptimization of Conditional Value-at-Risk. The Joumal of Risk ,20004陳劍利,李勝宏. CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量模型在投資組合中的運(yùn)用.運(yùn)籌由于VaR的非一-致性風(fēng)險(xiǎn)度量和計(jì)算結(jié)果差與管理,2004, 13(1):95- 99異大等缺點(diǎn),理論界提出了改進(jìn)的方法CVaR模型.5雷英杰,張善文,李續(xù)武,等. malab遺傳算法工具箱及應(yīng)用.西作為在CVaR基礎(chǔ)上改進(jìn)的一種風(fēng)險(xiǎn)度量方法,安:西安電子科技大學(xué)出版社.2005CVaR和VaR雖然非常相似,但是CVaR與VaR相比Portfolio Optimization Based on CVaR ModelDUAN Qi, HE Chun xiong(College of Science, South China Univensity of Technology , Guanghou 510640 P. R China)[ Abstract] Because of the disadvantage of the VaR model, is introduced the CVaR model and analyzed The cal-culation method of CVaR, and used the genetic algorithm to solve the optimal solution of portfolio in Chinese stockmarket.. Key words] CVaRporfoliogenetic algorithm中國煤化工MYHCNMHG