應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)第27卷第2期2006年2月)應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)編委會(huì)編Applied Mathematics and Mechanics文章編號(hào):1000-0887200602-0217-06熱方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群與不變解秦茂昌2,梅鳳翔,許學(xué)軍(1.重慶工商大學(xué)理學(xué)院重慶4000672.北京理工大學(xué)理學(xué)院北京100081)(胡更開推薦)摘要:主要研究了熱方程與波方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元及相應(yīng)的群不變解研究表明對(duì)于守恒形式的偏微分方程,可通過其伴隨系統(tǒng)求得的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元來構(gòu)造其顯式解這些顯式解不能由方程本身的Lie對(duì)稱群生成元或Lie- Backlund對(duì)稱群生成元構(gòu)造得到關(guān)鍵詞:非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元;熱方程;波方程;顯式解中圖分類號(hào):0152.5175.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A引言在微分方程特別是對(duì)偏微分方程而言舶的約化及顯式解的構(gòu)造的各種方法中,對(duì)稱群方法是一種非常重要且應(yīng)用廣泛的方法文獻(xiàn)1~4論述的經(jīng)典Iie對(duì)稱群方法,可用來構(gòu)造偏微分方程的顯式解并對(duì)方程本身進(jìn)行約化偏微分方程旳經(jīng)典對(duì)稱群通常是指定義在自變量及函數(shù)空間上將方程的解變?yōu)槠渌獾臒o限小連續(xù)變換同時(shí)將利用對(duì)稱群方法構(gòu)造得到的解稱為方程的群不變解Bluman和Cole在文獻(xiàn)56中用一種新方法得到了守恒型偏微分方程的一種新的非局部對(duì)稱這種對(duì)稱既不是給定方程的Lie點(diǎn)對(duì)稱也不是其Lie- Backlund對(duì)稱這種對(duì)稱被稱為偏微分方程的勢(shì)對(duì)稱〔古典勢(shì)對(duì)稱)一般而言由于偏微分方程的勢(shì)對(duì)稱確定方程比它的Lie對(duì)稱群確定方程要少所以要找岀其所有的對(duì)稱是非常困難的但同時(shí)也產(chǎn)生了找到新的對(duì)稱及群不變解的可能性正因?yàn)槿绱诉@種對(duì)稱引起了廣大研究者的興趣最近,古典勢(shì)對(duì)稱被進(jìn)一步發(fā)展推廣到了非古典勢(shì)對(duì)稱文獻(xiàn)7]得到了波方程的幾個(gè)非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元及其群不變解文獻(xiàn)8琍利用 Burgers方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元構(gòu)造得到了新的顯式解關(guān)于守恒型偏微分方程的非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元的尋找及其相應(yīng)群不變解的構(gòu)造還有大量的工作要做在本文的第1節(jié)我們將給出一種求偏微分方程非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元的方法萬(wàn)第2節(jié)則以熱方程及波方程為例說明方程非古典勢(shì)對(duì)稱群生成元的求法及其群不變解的構(gòu)造中國(guó)煤化工CNMHG收稿日期:2004-03-19;修訂日期:2005-10-30基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10272021)作者簡(jiǎn)介:秦茂昌(1971—)男云南永勝人博土(聯(lián)系人.Tel:+86-23-609941796;7110037@sina.com.cn217秦茂昌梅鳳翔許學(xué)軍尋找對(duì)稱的方法考察階數(shù)m≥2的如下守恒形式的偏微分方程D(f(y,a,u(1),l(2)r…,(m-1))=0,式中自變量y=(x1x2灬xn)為函數(shù),(j=12灬m-1)表示第j次偏導(dǎo)數(shù)的全體例如u(1)={u1,2…,un},a(2)={u1,a12…,m}灬(具體以x1=t和x2=x為自變量來說,(1)={u4,x3,(2)={un,ua,lx3,(3)={um, btex illex,umx})同時(shí)定義算子Dl12因?yàn)榉匠探M1湜是守恒形式所以存在n(n-1)2個(gè)函數(shù)y構(gòu)成一個(gè)反對(duì)稱張量(i