機床與液壓sep.2008第36卷第9期MACHinE TOOL HYDRAULICSVol 36 No 9機床工作臺的動力學(xué)分析張會端,譚慶昌,裴永臣(吉林大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院,吉林長春130025)摘要:在考慮絲杠與螺母之間的接觸關(guān)系以及軸承支承剛度的情況下,利用拉格朗日方程建立了滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的動力學(xué)方程,用振型疊加原理和隆格-庫塔法進行求解,研究了滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),按正交試驗計算分析了系統(tǒng)參數(shù)對工作臺軸向振動的影響,優(yōu)化組合了系統(tǒng)參數(shù),為滾珠絲杠傳動系統(tǒng)參數(shù)的選擇以及裝配調(diào)整提供了理論依據(jù),為提高工作臺軸向定位精度奠定了基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞:機床;動力學(xué);傳動系統(tǒng);參數(shù)優(yōu)化中圖分類號:TB122文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1001-3881(2008)9-0684The Dynamic analysis of the Worktable of MachinesZHANG Huiduan, TAn Qingchang, PEI YongchenCollege of Mechanical Science and Engineering, Jilin University, Changchun Jinlin 130025, China)Abstract: In the condition of considering both the bearing stiffness and the contact deformation between the ball screw and thenut, dynamic model of the ball screw drive system of machines was established using Lagrange equation. The model was analyzed bythe mode superposition and Runge- Kutta method to calculate the transient response of the system. From the orthogonal experimenteffect of the system parameters on axial vibration of the machine worktable was studied, the optimistic system parameters for the mini-mum vibration wereKeywords: Machine; Dynamic; Drive system; Parameter optimizing引言承,因此,沿滾珠絲杠軸向受到的外力為工作臺與導(dǎo)機床傳動系統(tǒng)一般包括伺服電機、滾珠絲杠以及軌之間的摩擦力F以及工作臺受到的進給力P隨螺母做軸向往復(fù)運動的工作臺。隨著進給速度和加者組成軸向力P通過工作臺作用到絲杠上工精度的提高,工作臺的運動精度和傳動系統(tǒng)控制成工作臺為人們關(guān)注和研究的焦點1。研究傳動系統(tǒng)的振動是利用控制技術(shù)提高工作臺運動精度和定位精度的基礎(chǔ),特別是伺服電機越來越廣泛的應(yīng)用,使得傳動系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的研究越來越重要滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的振動,可以看作是帶有移動圖1傳動系統(tǒng)示意圖質(zhì)量塊的梁的振動。 Arash Yavari等用離散單元研在滾珠絲杠傳動系統(tǒng)中,絲杠和螺母之間產(chǎn)生的究了帶有移動質(zhì)量塊的 Timoshenko梁的橫向振動。軸向接觸變形和扭轉(zhuǎn)接觸變形,是導(dǎo)致絲杠產(chǎn)生縱向S. Zibdeh等研究了 Euler-Bernoulli梁、 Rayleigh梁振動和扭轉(zhuǎn)振動的主要激勵,引起螺母產(chǎn)生軸向位和 Timoshenko梁在移動的隨機力作用下的橫向振動移,從而影響工作臺的定位精度,所以絲杠的縱向振PLe"研究了簡支條件下受移動質(zhì)量塊作用的Tmo動和扭轉(zhuǎn)振動是研究絲杠傳動精度首先應(yīng)考慮的問shenko梁的橫向振動,并與在移動力作用下的橫向振題1動做了比較。U.CCu和 C C Cheng研究了由伺服筆者考慮了絲杠與螺母之間的接觸變形以及軸電機驅(qū)動的帶有移動質(zhì)量塊軸的扭轉(zhuǎn)和彎曲振動。承的支承作用,利用拉格朗日方程,建立了滾珠絲Paolo Gallina(研究了帶有移動螺母的絲杠的扭轉(zhuǎn)振杠與質(zhì)量塊(即工作臺)系統(tǒng)的動力學(xué)方程,利用動與縱向振動。振型疊加原理和隆格-庫塔法求解,分析了傳動系機床工作時,工作臺受力如圖1所示:垂直于導(dǎo)統(tǒng)的參數(shù)對工作臺軸向振動的影響,獲得了使振幅軌底面的主切削力P,與吃刀方向相反的背向力P,減小的優(yōu)化參數(shù)組合,為滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的設(shè)計沿x方向的進給力P,工作臺移動時產(chǎn)生的摩擦力和裝配提供了理論依據(jù),為提高工作臺定位精度莫F主切削力與背向力由機床導(dǎo)軌的底面及側(cè)面支定了TH中國煤化工CNMHG收稿日期:2007-12-05作者簡介:張會端(1972-),女,博士研究生,主要研究方向為機械振動學(xué)。譚慶昌(1957—),男,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向為機械傳動與控制。電話:0431-85094594,E-mal: tango@ jlu. edu. cr第9期張會端等:機床工作臺的動力學(xué)分析691滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型u(x,1)=U(x)q(t)φ(x,t)=ψ(x)q(t)(7)將式(6)和(7)代入式(2)、(3)、(4)后連同式(5),根據(jù)拉格朗日方程,并利用式(1)整理后得系統(tǒng)的動力學(xué)方程為:[M]lq+[C]q+[K]{q}={F(t)}(8)u(x,r) p(r,n)其中:{q}=[:q.q]',{q},q分別代表加速度和速度,[M]、[C]、[K]分別為系統(tǒng)的質(zhì)量圖2滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣,{F(t)為力向量。滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖2所示,各2絲杠的頻率方程與振型函數(shù)參數(shù)含義見附錄。絲杠以角速度』轉(zhuǎn)動,質(zhì)量塊沿x2.1絲杠的縱向振動軸的位移s(t),包括絲杠轉(zhuǎn)動引起的軸向位移A64、由文獻[12-13],設(shè)絲杠縱向振型函數(shù)為絲杠的扭轉(zhuǎn)變形引起的質(zhì)量塊的軸向位移Aφ(A,)(忽略二階小量)、絲杠的軸向變形引起的質(zhì)量塊的U(x)=Csin-x+Deos-x(9)軸向位移u(A64,t),以及質(zhì)量塊在螺母與絲杠接合邊界條件為:處的局部振動位移q,記為:du(as(t)=A64+Ap(A4,t)+u(A4,t)+q,(1)dxkU(0)=0(10)滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的動能表示為du(x)+k3U(L)=0(11)T=-m1(。4「du(x,)dxtaLdo(x()其中;,=、,C、D為常數(shù)將式(9)代入以上兩式,得滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的勢能表示為:EAC -. D=0(12)U=+o以24+24,甲(A,1)]2+24[u(,)3+2ka[a(L,2)]2+2k[甲(0,n)]2+2k【甲(L,)]2ka[csin oil+ Deos=0(13)(3)令C=ka,由式(12)、(13)可得絲杠的縱系統(tǒng)耗能函數(shù)表示為向振動頻率方程為:1?！緋(A64,)(EAw:-k.) sin-L= EAw a (k,+ka)cos-LI r du(o(14)把C=ka和式(12)代入式(9),可得考慮d(0,)軸承支承剛度的絲杠縱向振型函數(shù)系統(tǒng)外力為質(zhì)量塊所受摩擦力和進給力的合力U(x)=k。asin“x+EAa。cos=x(15)P.,所做虛功表示為:為使振型函數(shù)唯一,把振型函數(shù)正則化,即令SW=P&8, PAU(x)dx=1(16)由文獻[12-13],設(shè)絲杠的縱向振動、扭轉(zhuǎn)振動位移函數(shù)在時間和空間上可分離,并表示為:把式(15)代入式(16),得:8k2 a2+EA2氣+(E2Aa2-k2a2)sin-LTYH鐘則兩端軸承支承的絲杠縱向振動正則振型為:U(r)=8. k, a, sinx+ EAa, cos(18)機床與液壓第36卷2.2絲杠的扭轉(zhuǎn)振動設(shè)絲杠扭轉(zhuǎn)振動的振型函數(shù)為:(G ar-k,kaai)sin-L=GJo a, (kn +k,)cos=L(20)ψ(x)= Csin -Ex+Des2()8(4+Cm)(21與縱向振動同理,可得兩端抽承支承的絲杠扭轉(zhuǎn)其中:a4=振動的頻率方程與正則振型為P8a+Ca,,(Gm-h)m“t+ai3模型驗證(8),利用振型疊加原理和隆格-庫塔法求解方程為驗證本文傳動系統(tǒng)模型的正確性,在方程分析工作臺沿絲杠的運動。(8)中,令:=0,q(x,)=0,k、k→∞,k=根據(jù)式(1)可知,絲杠轉(zhuǎn)動引起的質(zhì)量塊位移ka=0,m=0,k.=k=0,D=0,不計阻尼,軸向51=A4為線性位移,而系統(tǒng)振動引起的質(zhì)量塊位移力P(t)= Pinot作用在桿的右端,則模型簡化為文2=Ap(A4,t)+u(A4,t)+q.為波動位移,是影響獻[14]中一端固定本文仿真結(jié)定位精度的主要因素,所以下面分析傳動系統(tǒng)參數(shù)對另一端自由的桿的縱向金s-s2的影響。振動。為與該文獻的結(jié)按正交試驗,利用L2(2)正交表,確定要分析果對比,取P=20N的參數(shù)及其取值,見表1。根據(jù)表1的數(shù)據(jù),計算位a=2m進行計算,結(jié)果4移52,分析各參數(shù)對質(zhì)量塊振幅的影響,結(jié)果見表如圖3所示。圖中曲線2。由表可見,絲杠的導(dǎo)程越大,質(zhì)量塊s2的振幅越吻合,說明本文建立的小;質(zhì)量塊的質(zhì)量越小,振幅越小;質(zhì)量塊與絲杠連系統(tǒng)動力學(xué)方程(8)圖3桿縱向振動的對比接的軸向接觸剛度越大,扭轉(zhuǎn)剛度越小,質(zhì)量塊振幅是正確的。越小;絲杠兩端的軸承縱向支承剛度越大,扭轉(zhuǎn)剛度4結(jié)果與分析越小,質(zhì)量塊的振幅越小;而系統(tǒng)各連接處的阻尼和把頻率及相應(yīng)的振型函數(shù)式(18)、(21)代入式系統(tǒng)所受的軸向力對質(zhì)量塊的振幅影響不大。衰1按正交試驗選取的系統(tǒng)參數(shù)及其取值參數(shù)取值k=k/b=k/kP(Nym-)(Nmad-")(N·pm-1)(Nmad-)齠gmm(N·8·m-")(N·s:mad-)(N·s:m-)(Nsmd-)N6000300表2各參數(shù)對質(zhì)量塊振幅影響的分析結(jié)果10參數(shù)3.222793.622.882.314.642.822.982.892.763.192363.103.671.343.163.003.093.083.0.460.401.260.221.363.300.340.020.200.180.12優(yōu)值222主次參數(shù)注:2、52為各參數(shù)取不同值時,質(zhì)量塊振幅的極差分析的均值;R為各參數(shù)的極差根據(jù)減小52的幅值,提高工作臺運動精度的原快趨于平穩(wěn),且振幅較小,說明通過調(diào)整傳動系統(tǒng)的則,通過正交計算分析,確定傳動系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化組參數(shù),可以使工作臺處于比較平穩(wěn)的軸向移動狀態(tài)。A: k =k=600N/um; k =k2=100N/rad; k3 000N Hm; k, =400N rad; m =300kg; h=10mm; c,中國煤化工150N/rad; c,= 50Nrad, c, =Ca= 200N.sm;c,I=CNMHGc=30N-/md;P,=40N。按優(yōu)化參數(shù)計算質(zhì)量塊的0.4T振動曲線,如圖4所示。質(zhì)量塊在最初的波動之后很圖4質(zhì)量塊的優(yōu)化振動曲線第9期張會端等:機床工作臺的動力學(xué)分析71結(jié)論設(shè)計[J].機械設(shè)計與制造,2005(8):101-103筆者利用拉格朗日方程建立了滾珠絲杠傳動系統(tǒng)【1】JH金斯伯格.機械與結(jié)構(gòu)振動一—理論與應(yīng)用的動力學(xué)方程,用振型疊加原理和隆格-庫塔法求[M].中國宇航出版社,2005解,研究了滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng),分析了系【13】張義民.機械振動力學(xué)[M].吉林科學(xué)技術(shù)出版統(tǒng)參數(shù)對質(zhì)量塊軸向振動的影響,并優(yōu)化了系統(tǒng)參數(shù)社,2000.9組合。為了減小工作臺軸向位移的波動,提高定位精14】師漢民機械振動系統(tǒng)—分析·測試·建?！Χ?設(shè)計或裝配傳動系統(tǒng)時,在滿足其它條件的前提策(下冊)[M].華中科技大學(xué)出版社,2004.3下,應(yīng)遵循以下原則:增大絲杠導(dǎo)程;減小工作臺的15】任露泉實驗優(yōu)化技術(shù)[M].機械工業(yè)出版社,質(zhì)量;增大絲杠兩端軸承的縱向支承剛度,減小扭轉(zhuǎn)1987.2.支承剛度;增大螺母與絲杠連接的縱向剛度,減小扭附錄:文中各符號的意義轉(zhuǎn)剛度。5為質(zhì)量塊的軸向位移;參考文獻(x,1)為絲杠的縱向振動位移;(1 Amin Kamalzadeh, Kaan Erkorkmaz. Accurate trackingq(x,1)為絲杠的扭轉(zhuǎn)振動位移ntroller design for high-speed drives [J].Internationalk、ks分別為軸承1和軸承2的縱向支承剛度;Joumal of Machine Tools Manufacture. 2007. 47k、k分別為軸承1和軸承2的扭轉(zhuǎn)支承剛度k為螺母和絲杠接合部的縱向剛度;[2] Dominic S Guecarra, Akira Kyusojin. Development of ak為螺母和絲杠接合部的扭轉(zhuǎn)剛度;new lapping method for high precision ball screw(2nd re-c、ca分別為軸承1和軸承2的縱向阻尼;port) Desiexperiment study of an automatic lappingc、c分別為軸承1和軸承2的扭轉(zhuǎn)阻尼;process torque monitoring system [J]c為螺母和絲杠接合部的縱向阻尼;Journal of the International Societies for precision Engneering and Nanotechnology, 2002, 26: 389-395c為螺母和絲杠接合部的扭轉(zhuǎn)阻尼;【3】 R. Whalley,M. Ebrahimi,A.A. Abdul-Amer. Hybridm為工作臺的質(zhì)量modeling of machine tool axis drive [J]. Journal of Ma-P.為工作臺所受軸向力hine tool and manufacture. 2005. 45: 1560-1576h為絲杠的導(dǎo)程[4]Min-Seok Kim, Sung-Chong Chung. Integrated design為絲杠的角速度,Q=50mrad/s;methodology of ball-screw driven servomechanisms with64為絲杠的轉(zhuǎn)角,64=;discrete controllers Part I Modeling and performance anL為絲杠的長度,L=550mm;sis [J]. Mechatronics, 2006, 16: 491-50d為絲杠直徑,d=25m[5]H. Diken. Dynamic behavior of a coupled elastic shaft-E為絲杠的彈性模量,E=2.07×10MPa;elastic beams system [J]. Journal of Sound and vibraG為絲杠的剪切模量,G=8.3[6] Arash Yavari, Mostafa Nouri. Discrete element analysisp為絲杠的密度,p=7.85×103kg/m3;of dynamic response of Timoshenko beams under movingA為絲杠的當(dāng)量面積,A=可,143-153.J為絲杠截面的極慣性矩為,J=可d;[7]HS. Zibdeh, H. S Juma. Dynamic response of a rotatingbeam subjected to a random moving load [J]. JournalhSound and Vibration, 1999, 223(5): 741-758A為質(zhì)量塊移動速度系數(shù)為,入?m[8]H. P. Lee. 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