第53卷第6期2004年6月物理學報Vol, 53, No 6, June, 2004100032902004/53(06)194006ACTA PHYSICA SINICA⊙2004 Chin. Phvs.So位錯動力學與系統(tǒng)的全局分叉羅詩裕)邵明珠")韋洛霞)劉曾榮)(東莞理工學院東莞523106)2(上海大學數(shù)學系,上海200436)(2003年6月17日收到;2003年7月21日收到修改稿)在位錯動力學的 Seeger方程基礎(chǔ)上,引入周期場作用,把位錯運動方程化為具有硬彈簧特性的 Duffing方程,并利用多尺度法分析了系統(tǒng)的動力學特征,利用 Melnikov方法討論了系統(tǒng)的全局分叉和系統(tǒng)進人混沌狀態(tài)的可能途徑結(jié)果表明,當b/a一定,Q不斷減小時,系統(tǒng)逐漸向臨界狀態(tài)接近,然后經(jīng)過無限次級聯(lián)分叉進入混沌狀態(tài)關(guān)鍵詞:位錯,分叉,超晶格,非線性PACC:6180M,0547,7550R由于超晶格的特殊幾何結(jié)構(gòu),引起了人們對它的興1.引言趣比如選擇GaP作基片,沿[00方向生長等厚的GaP和GaAs,P1,薄層,由于在生長方向上晶格失配隨著人類認識能力的不斷提高,人們已經(jīng)完成沿生長方向的各層將交替產(chǎn)生伸長和壓縮形變,導或正在完成從線性認識到非線性認識的超越凝聚致(110平面溝道偏折,使直溝道變成了鋸齒狀的態(tài)物理中的非線性問題就是一類十分普遍而重要的“折溝道”這種溝道的特點是在界面處溝道平面連問題,比如熱膨脹、熱導率、晶格動力學、非線性光學續(xù),一階導數(shù)不存在.當然,這只是一種理想情況.實和半導體光磁電效應等都表現(xiàn)出了明顯的非線性特際上,超晶格的溝道偏折是由于界面處晶格失配產(chǎn)征,非線性系統(tǒng)的一個重要特征就是它的振幅和生應力,應力集中產(chǎn)生位錯,位錯運動、釘扎導致晶位都是時間相關(guān)的函數(shù)一般情況下,非線性方程格形變正是由于位錯存在,超晶格在界面處的溝道不存在嚴格解,而近似解大都利用攝動法攝動法有不再是折溝道,而是彎溝道其特點是界面處溝道平效的基本條件是小參數(shù)而對于大參數(shù),系統(tǒng)則表現(xiàn)面連續(xù),一階導數(shù)存在出了另外一系列新的特征其中一個就是在參數(shù)變本文在 Seeger方程基礎(chǔ)上,引入阻尼項和周期化的某個范圍內(nèi),系統(tǒng)將出現(xiàn)級聯(lián)分叉,而后進入混場(比如聲場)作用,對超晶格界面的位錯運動作沌狀態(tài),表現(xiàn)出了特有的內(nèi)在隨機性這種隨機行為非線性描述事實上,引入阻尼項和受迫項后,位錯的特點是系統(tǒng)存在一個奇怪吸引子.弱釘扎的電荷運動方程是一個具有硬彈簧特性的Dfng方程,利密度波系統(tǒng)和在外場作用下的位錯動力學系統(tǒng)都表用攝動法討論了系統(tǒng)的動力學特征,并利用現(xiàn)出了這種混沌行為Melnikov方法分析了系統(tǒng)的非線性動力學行為,導隨著加速器技術(shù)的發(fā)展,人們對帶電粒子與物出了系統(tǒng)走向混沌的臨界值,分析了系統(tǒng)的全局分質(zhì)相互作用進行了廣泛而深入的研究.帶電粒子的叉和系統(tǒng)進入混沌的可能途徑在δ/a-圖上,討溝道效應和溝道輻射便是人們發(fā)現(xiàn)的重要現(xiàn)象之論了系統(tǒng)的混沌區(qū)和非混沌區(qū).結(jié)果表明,當/a一.由此發(fā)展起來的溝道技術(shù)在固體物理和原子核定,不斷減小時,系統(tǒng)逐漸向臨界狀態(tài)接近,然物理中得到了廣泛應用,而且還成功地用它來研究后經(jīng)過無限次級聯(lián)分叉進入混沌狀態(tài);或者,當無量了形(應)變超晶格.所謂超晶格就是將兩種晶格常綱的外場頻率Ω固定,無量綱的系統(tǒng)參數(shù)δ/α逐漸數(shù)不同(或相近)的材料交替生長,形成的多層薄膜增加時,系統(tǒng)也將經(jīng)過無限次奇階次諧分叉進入混結(jié)構(gòu).由于超晶格的材料、組分和層厚等均可以人為沌(甚至在原子和分子尺度上)控制,可望得到均勻半中國煤化工晶格的溝道偏折由導體材料所不具有的光電特征值得注意的是,正是CNMH(道不再是直溝道,6期羅詩裕等:位錯動力學與系統(tǒng)的全局分叉194l而是折溝道我們曾經(jīng)用位錯靜力學方法,討論了溝為如下形式的常微分方程道偏折的機理本文試圖從位錯動力學出發(fā),進一步Eng§2ran2πd +204討論超晶格界面附近位錯的運動行為.也許正是由a3 sIn于位錯的釘扎和堆積導致了溝道彎曲,但是,也可能22.與空間無關(guān)的情形由于位錯運動的混沌行為導致界面附近應力集中使溝道畸形,甚至分層或“斷裂”這就為超晶格的制備假設(shè)在滑移方向位錯運動是均勻的,則系統(tǒng)的提出了更高要求,同時也為進一步改善材料性能提狀態(tài)與x無關(guān)于是方程(4)化為供可能途徑or2+F()=b(1)2.非線性運動方程其中F()由(3)式給出.方程(6)是無阻尼的位錯動力學方程.引人阻尼項,方程(6)化為假定考察的位錯是一段直的刃型位錯,并假定位錯線與x軸平行(即平行于超晶格相鄰兩個平面m ar+r di f(e)= bo(t),的交線),且一端被雜質(zhì)釘扎通常,位錯沿x方向其中γ是單位長度位錯上的衰減系數(shù)方程(7)就的位移是位置x和時間t的函數(shù),1956年,Seer是本文關(guān)注的位錯動力學方程在研究金屬內(nèi)耗時首次描述了這樣的系統(tǒng),并導將F()按 Talore級數(shù)展開,并取前兩項,可得出(x,t)滿足偏微分方程a:92-()+m9,(1)其中F()=A-B,E()a2=8其中b是 Burger矢量長度,m是單位長度上位錯的有效質(zhì)量(m∝pb2,p是位錯密度),a(t)是位錯在A-(2)1(1+4)單位長度上受到的力E()是單位長度位錯所對應a1(1+16a3)的勢能,且是周期為d的周期函數(shù).將E()按Fourier展開,并截斷為如下形式假定時間相關(guān)的周期場均勻地作用在所考察的E()=E0-a2cos5,(2)位錯上(比如將它放置在周期變化的聲場中),并意到(8)式,方程(7)可進一步化為其中d是晶格常數(shù),a和a2是小量(同E。相比)d由(2)式可得m dr2+ y5+AE-BE= ao bcosat,(10)其中a是外場振F其中a3=a2/a(11)注意到a1和a2是小量,于是,方程(1)左端的ψ=/o,0=(A/2b)2,E(日)可用E。代替;將(3)式代入方程(1),可得r=a0t,6=60ob/8V(12)83:2r則方程(10)化為無量綱形式dsd 2十(13)分兩種情形討論系統(tǒng)(10)是一個具有硬彈簧特性的Ding方程這21.與時間無關(guān)的情形是一個典型的動力學系統(tǒng),文獻[2,3]用攝動法對它假設(shè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)(比如系統(tǒng)經(jīng)過比較長進行過研究.下面首先討論在弱非線性情況下系統(tǒng)的時間后)則系統(tǒng)狀態(tài)與時間無關(guān),(x,1)退化為的動力下后再討論大參數(shù)情況下系統(tǒng)的動a力學中國煤化工論系統(tǒng)的全局分(x),22=0,0(1)為常數(shù)a,則偏微分方程(4)化叉和CNMHG1942物理學報卷如果我們關(guān)心的不是方程的解,而是它的一般3.系統(tǒng)的主共振和次共振動力學特征,則從上式就可以直接看出位錯運動時將穿過哪些共振線事實上,從方程(21)可以看出假設(shè)方程(10)中阻尼項和非線性項是一個小當Q≈0,1/3,3時,系統(tǒng)出現(xiàn)共振因為這三條共振量,則形式上可將它改寫為線是在一次近似中出現(xiàn)的,這類共振又稱為次共振.d'ys+o+ 2ep -e'=cosr,(14)在二階或二階以上的近似中將出現(xiàn)更多的共振線從上式還可以看出,Ω=1的這條共振線除了線性其中2H=a,而∈是小參數(shù),也是形式參數(shù)當它是激勵外,非線性也可以激勵,這就是說,當位錯運動形式參數(shù)時,只需在結(jié)果中令它為1即可當它是小時,將穿越a=0,1/3,1,3四條共振線其中a=1參數(shù)時,在方程中它僅代表該項是O()量級我們的這條共振線是必須避免的,而=0,3,1/3則是應利用多尺度法討論系統(tǒng)(4)的動力學行為引人快當盡量避免的適當選擇工作點,這些共振線是可以尺度T=τ和慢尺度T1=εr,并注意到避免的;即使不能避免,只要保證位錯運動能夠比較dr a do +eD,+快地穿過共振線(不包括』=1這條共振線),則材料仍然是安全的=(Do+ED1+…)2(15)=D+2eDD1+…4.系統(tǒng)的級聯(lián)分叉與混沌臨界值其中微分算子Dn=,于是,方程(14)可以表分兩種情況討論示為4.1.自治系統(tǒng)Dψ+2eDD1ψ+2epDψ+…+ψ-cycostO(16)根據(jù)定義,方程(13)的自治系統(tǒng)由問題歸結(jié)為尋找如下形式的近似解y"+φ-y3=0ψ=ψ(70,T1)+ey(T,71)+…(17)給出,或者表示為將(17)式代入方程(16),并令ε的同次冪系數(shù)相等可得D'o +4其中g(shù)'=dg/dr.系統(tǒng)(23)有初積分Do,+r=-2Do D, Do -2RuDo wo -oH(49)=92+“-2-h.(2)(18)當h=14時,系統(tǒng)存在一對異宿軌道( heteroclin(18)式中第一個方程的通解可表示為orbit);當h>14時,存在一簇開軌道;當03(2(52)R()(49)該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當6/a一定,Q不斷減小時,可見,對于任一固定的a,當m充分大時,恒有不系統(tǒng)逐漸向臨界狀態(tài)接近然后經(jīng)過無限次級聯(lián)分等式叉進入混沌狀態(tài)或者,對于』一定,參數(shù)8/a不斷R(n)