第25卷第4期增刊儀器儀表學報2004年8月Simulink環(huán)境下的 Stewart平臺的動力學仿真徐鵬王代華(重慶大學光電技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點實驗室重慶40004)摘要以經(jīng)典的 Newton-Euler法建立的六自由度并聯(lián)機構(gòu)6-UPS( universal- prismatIc- spherical) Stewart平臺的動力學模型為基礎(chǔ),詳細介紹了使用仿真工具 Simulink按照并聯(lián)設(shè)計思想設(shè)計的 Stewart平臺動力學并行仿真方案,并給出了仿真結(jié)果。經(jīng)初步分析表明仿真結(jié)果與實際情況的運動狀態(tài)是吻合的。關(guān)鍵詞 Stewart平臺、動力學建模、創(chuàng)mm協(xié)真Dynamic Simulation of Stewart Platform in SimulinkXu p(Key Laboratory of Opto-electronic Technology and Systems of MOeChongging University, Chongqing, 400044, ChinaAbstract Based on the dynamic model of an 6-UPS (universal-prismatic-spherical)Stewart platform establishedusing Newton-Euler approach, the simulating scheme of the 6-UPS Stewart platform's dynamics in Simulink isproposed and developed according to the parallel design idea. also the simulation results are presented and analyzed, which shows that the simulation results are consistent with the practical motion situation of the 6-UPSStewart platformKey words Stewart platform Dynamic modeling Simulink simulation人(利用簡化的模型首先建立了 Stewart平臺的La-grangian方程;Ji專門研究了 Stewart平臺支腿的慣量效果;Wang和 Gosselin利用虛功原理建立了Stewart平臺是德國人 Stewart提出的一種六自 Stewart平臺的反向動力學方程; Dasgupta和由度并聯(lián)機構(gòu),由于它較串聯(lián)機構(gòu)具有高剛度、高精 Mruthyunjaya使用 Newton-Euler方程在考慮支腿度、負載能力強以及高靈敏度等優(yōu)點,得到學術(shù)領(lǐng)域和和平臺上所有約束力和外力或矩的影響下建立了應用領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。就學術(shù)領(lǐng)域而言, Stewart平臺 Stewart平臺最具一般性的閉環(huán)動力學方程的研究方向主要集中在運動學和動力學兩大領(lǐng)域。在由于 Stewart平臺的動力學模型對整個系統(tǒng)的重過去幾十年中在運動學領(lǐng)域取得的理論成果頗豐;由要性,怎樣通過仿真手段把復雜的模型清晰地表達出于并聯(lián)機構(gòu)的多體動力學問題的復雜性,因而在動力來并且具有很好的并行運算性能?這里以 Dasgupta學領(lǐng)域的研究文獻相對較少。在2000年 Dasgupta發(fā)的建模思想為基礎(chǔ),詳細介紹在 Simulink環(huán)境下,按表的綜述性文章中列出的1998年之前的這方面的文照并聯(lián)設(shè)計思想設(shè)計的 Stewart平臺動力學并行仿真獻不到10篇。早期在這方面研究的是 Fichter和方案,并給出了仿真結(jié)果。經(jīng)過對仿真結(jié)果的初步分析Merlet等人,之后Do和Yang首先利用 Newton-表明直結(jié)果氣定際情況的運動狀態(tài)是吻合的,說明Euler方法在忽略連接鉸摩擦以及支腿上的旋轉(zhuǎn)慣量建立中國煤化工的的情況下推導出 Stewart平臺的逆動力學方程;Liu等CNMHG全國優(yōu)秀博士學位論文作者專項資金資助項目第4期增刊Simulink環(huán)境下的 Stewart平臺的動力學仿真119在支腿和上下平臺的連接點上。由文獻[9]可知,采用2 Stewart平臺機構(gòu)及其動力學模型Newton-Euler法建立的 Stewart平臺的動力學方程可表示如下:Stewart平臺的原理是由 Stewart提出的作為飛行模擬器的一種機構(gòu),它由上下兩個平臺和6個可伸縮運動的支腿構(gòu)成。根據(jù)支腿和上下平臺連接方式m=HF+(1)XM的不同又出現(xiàn)多種類型 Stewart平臺機構(gòu)。其中最為典型和最為一般性的就是6-UPS( universal-prismatic式中:J=J+2J,=+∑nspherical)FA 6-SPS(spherical-prismatic-spherical)plMEMR種機構(gòu)類型。上平臺和支腿都采用球型鉸連接,支腿上下部分通過滑動鉸連接,前者的支腿和下平臺通過方MR IM(RE, RRT)向結(jié)連接,而后者通過球型鉸連接。這里闡述的動力學模型是以6- UPS Stewart平臺,如圖1所示。為研究對Lg QQ象,對于后者的動力學方程要額外考慮球型鉸軸的旋M{c×(u×R)-g轉(zhuǎn)力矩?！羖+MRX{a×(a×R)-g采用 Newton- Euler法建立6- UPS Stewart平臺動力學模型的大致思路是:假設(shè)要求的上平臺的運動q1×V,一fH=[s(q×s)了,加速度和角加速度已知,通過旋轉(zhuǎn)矩陣和坐標轉(zhuǎn)換矩陣用任務空間狀態(tài)來表示在固定坐標系中各矢量關(guān)F=lF, F2 F, F. Fs F]系;通過對支腿的運動學和動力學問題的分析,建立支g=Xp,R=XRo, ra=Trao腿的 Newton-Euler動力學方程,求出各個支腿對上平r=T(v+r)臺的作用力,再分析上平臺的動力學和動力學問題,把I=TlT支腿對平臺的作用力帶入到對上平臺建立的 Newton. -TLL.m, L 'diag(00 1)]TEuler方程中,化簡并最后得出整個平臺的閉環(huán)動力2s· r, myra2+mL學方程L(sT '+r s)latform FrameU[m(s×r4)(s×r)2+mn(s×r)(s×r)-s(L4+L)s]U(s×U1-2LW),U:=U2×rd+W×(Wrd),W×(W×rn)+2LW/ Base francU=mr4×U3+mnrn×U4+W×(I4+I)W-(mr+mnrn)×g+CW+ff圖1平臺結(jié)構(gòu)示意圖圖2 Stewart平臺支腿示意圖=C,(W-)圖2表示了平臺中各參考坐標系和基本矢量關(guān)V=(ms·U4+C.L+ms·g)s-s×U3系,在上下平臺的幾何中心O和O(參考圖1)分別建以上各式中符號的物理意義見附錄1和附錄2。立固定在平臺上的坐標系P(任務空間坐標系)和B由式(1)在已知平臺受到的外力和外力矩的條件下,通(固定坐標系)。O在O.中的矢量為t,在坐標系P中過YHs中國煤化工任務空間狀態(tài);反之,從O到各支腿和上平臺的連接點的矢量為p在坐標如果系B中從O到各支腿和下平臺的連接點的矢量為b。動CAMH由式(1)求出相應的主可刀工態(tài)作為反饋信號通過另外,在每個支腿的上下部分(分別用下標u和d表示事先設(shè)計好的控制器來控制輸出的主動力,得到期望上支腿和下支腿)都有一個本地坐標系L,坐標系固定的空間狀態(tài)。仿真結(jié)果正是基于這一思想得出的120儀器儀表學報第25卷算模塊也是同時獨立運行的,最后輸出的參數(shù)由式(1)3 Simulink仿真方案解出平臺任務空間中的線性加速度和角加速度,分別通過一次積分和二次積分得到線性速度和角速度以及使用 Simulink6.0仿真環(huán)境,根據(jù)6- UPS Stewart位置和角度矢量。把數(shù)值積分得到的以上四個矢量作平臺的動力學模型,按照并行設(shè)計的思想設(shè)計的為系統(tǒng)反饋送給支腿動力學模塊、平臺動力學模塊和Stewart平臺的動力學仿真方案如圖3所示。在封裝的控制器模塊,循環(huán)運行就得到了整個時間軸上的任務Parallel-Six-Legs-Dyn模塊中六個支腿的動力學求解空間狀態(tài)。是同時獨立運行的如圖4所示,而支腿和上平臺的運Integrator IntegratorParalle Six Legs DynProductIControllerOritentation圖3平臺的動力學仿真方框圖MATLABMATLAB北FunctionSelectorLegs dynCMATLABMtaskJMATLABSelectorLego Dyn圖4六支腿動力學并聯(lián)仿真框圖圖5PD控制框圖為了使系統(tǒng)很好地跟蹤期望的任務空間狀態(tài)在K,=[4×104×1054×105×105×1041×10°],仿真方案中設(shè)計了一個 PD Controller模塊,如圖5所K,=[1×101×102×101×101×1032×10°]示。其輸入是任務空間狀態(tài)和期望的任務空間狀態(tài),輸出是各支腿上的主動力。PD控制器數(shù)學表達式如下4仿真結(jié)果及分析中國煤化工diag(K,(1 3))(ta-t)+diag(K, (1 t 3))(t-t)CNMHG的動力學模型和diag(K2(4:6))(-0)+diag(K,(4:6))(a-a)(2)sm提供的系數(shù)參數(shù)和式中K和K,是PD控制器比例增益系數(shù)和微分增益初始量運行仿真模塊,仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。在系數(shù),且仿真過程中采用四階龍格-庫塔數(shù)值微分算法,仿真時第4期增刊Simulink環(huán)境下的 Stewart平臺的動力學仿真間為0.1s,最小步長為0.001s。另外,由于重力對系統(tǒng)定角度,再反向回到初始角度,同時繞x軸和y軸旋的動力學特性有著非常明顯的影響,并且有可能使數(shù)轉(zhuǎn)一定角度并且方向相反,再反向回到初始角度。這與值運算發(fā)生奇異。因此,仿真結(jié)果是在平衡了重力的情六自由度平臺的真實運動過程是吻合的。圖7同樣表況下得到的數(shù)值結(jié)果明各支腿在0.014s的時間內(nèi)逐漸趨向于期望空間狀從仿真結(jié)果中可以看出,在經(jīng)過大概0.01s的時態(tài)相對應的驅(qū)動空間狀態(tài),從圖中也能清楚地看到在間平臺運動到期望的結(jié)果。從圖6中更清楚地反映了達到穩(wěn)定狀態(tài)之前有一個峰值,這也正好與任務空間平臺從較低的位置運動到較高的位置的全過程:上平狀態(tài)到達期望狀態(tài)前所做的運動相對應。臺在z軸方向上一直上升,而x軸和y軸方向上先做由于篇幅限制,本文省略了任務空間狀態(tài)上平臺偏離初始位置的正向運動,待回到初始位置的時候,再的線性速度和加速度、角速度和角加速度以及執(zhí)行空做反向偏離運動,最后再回到初始位置,而且x軸和y間狀態(tài)的支腿速度和角速度的仿真結(jié)果軸方向的運動是相反的;角度的運動是先繞z軸旋轉(zhuǎn)a 620.10010.598a576090.050.050,100.050.10010(a)支腿1(b)支腿2(c)支腿3x10 Theta200.6550.654405。060:60.050.1(d)支腿4(e)支腿5(f)支腿6圖6 Stewart平臺任務空間狀態(tài)仿真結(jié)果圖7 Stewart平臺驅(qū)動空間狀態(tài)仿真結(jié)果Proc. Inst. Mech Eng, 1965, 180: 371-386.5結(jié)論2 B Dasgupta, T S. Mruthyunjaya. The Stewart platformmanipulator: a review Mechanism and Machine TheoryNewton- Euler法作為解決剛體動力學的經(jīng)典方2000,135:15~40.法,由于具有直觀性強和物理概念清晰等特點,也是解3E.F. Fichter, A Stewart platform-based manipulator決并聯(lián)多體動力學問題的主要手段之一。由于并聯(lián)多general theory and practical construction. Int. J.體系統(tǒng)動力學問題自身的復雜性,充分利用計算機仿Robotics res.,1986,5(2):157~182真的手段,尤其使用具有對矩陣運算比較有優(yōu)勢的4 J. P. Merlet Parallel manipulators, Part I: Theory, deMatlab/ Simulink作為仿真工具是解決這類復雜問題 gn, kinematics,dynamics and contro. Technical Report的重要手段。在經(jīng)典的六自由度并聯(lián)機構(gòu)6-UPSt 646 INRIA, France, 1987.Stewart平臺的 Newton- Euler模型的基礎(chǔ)上使用仿真5W.Q.D.Do,D.c.H.Yang. Inverse dynamic analysis工具 Simulink按照并聯(lián)設(shè)計思想設(shè)計了 Stewart平臺and simulation of a platform type of robot J. of Robotic動力學仿真方案,對仿真結(jié)果的初步分析也表明設(shè)計Systems,1988.5(3):209~227中國煤化工wis, Kinematic analysis的仿真方案是正確的。CNMH GOr IEEE Tran. on In參考文獻dustrial Electronics, 1993, 40(2): 282-293.7 Z Ji. Study on effect of leg inertia in Stewart platform1 D. Stewart. A Platform with Six Degrees of FreedomIEEE Proc. of Int. Conf. on Robotics and Automation122儀器儀表學報第25卷1993,121~1R=[0.040.03-0.06]8J.wang,C.M. Gosselin. A new approach for the dy-萬向節(jié)、圓柱鉸、和球鉸的粘滯阻尼系數(shù):namic analysis of parallel manipulators. Multibody SysnamIcs萬向節(jié)固定軸的單位矢量:9 B Dasgupta, T S. Mruthyunjaya Closed-form dynamic0.81410.23080.9535quations of the general Stewart platform through NewK=0.27140.92310.2860ton-Euler approach Mech Mach. Theory, 1998, 33(7):0.00000.30770.09530.00000.0000993~1012.支腿和上下平臺的鉸點分別為:30.30.0-0.2-0.150.15附錄1=0.00.20.30.1-0.2-0.15t、、t上平臺位置矢量、速度矢量、加速度矢量0.10.00.0-0.1-0.05-0.05上平臺的旋轉(zhuǎn)方向矢量、角速度矢量、角加速0.60.1-0.3-0.30.2度矢量;b=0.20.50.3-0.4-0.3-0.2W—支腿的轉(zhuǎn)動角速度矢量L、L—支腿的長度、支腿的線性速度;上下支腿的質(zhì)量:m=5.0,m4=3.0,X—任務空間坐標系到固定坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣;上平臺的質(zhì)量:M=40.0T—支腿本地坐標系在固定坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣,由s上下支腿的重心位置和k決定;r=[-0.6-0.080.08s—支腿的單位矢量;rdo=[0.40.14-0.18];g-重力加速度矢量;上下支腿的慣量:F—支腿上的主動力;0.0050.0020.002Fx、Mx-上平臺在任務空間坐標系中受到的外力L=|0.0020.0020.001和外力矩;0020.0010.0~—表示矢量叉乘轉(zhuǎn)換為矩陣乘積的運算。0100.0050附錄20.0050.0020.003任務空間初始狀態(tài)和期望狀態(tài)分別如下:0070.0030.001to=[0.1395]上平臺和支腿的慣量e=[00-0.2]radta=[0.100.4]ml=|0.0030.0400.0034=[00-0.2]rad;0040.0030.100平臺和負載的重心位置一·“(上接第115頁)間的相對誤差均方根RMS值是隨模態(tài)階次的增高而2Z.Y.Shi,S.S.Law,L.M. Zhang, Damage localization增大的,在前5階的相對誤差均方根值在5%~6%之by directly using incomplete mode shapes. Journal of內(nèi)。該結(jié)果表明可以用MSC/ Patran( Nastran)對拱結(jié)Engineering Mechanics, 2000, 126(6): 656--660構(gòu)進行動態(tài)模擬并可計算得出誤差較小的前5~6階3A. Rytter,M. Krawczuk,P.H. Kirkegaard. experI-模態(tài)。mental and numerical study of damaged cantileverJournal of Engineering Mechanics, 2000, 126(1): 60-參考文獻651李國豪.橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動.北京:中國鐵道出版社,1992H中國煤化工實驗修正結(jié)構(gòu)有限元分CNMHG