第21卷第9期中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)Vol 21 No 9 Sep. 20012001年9月Proceedings of the CSeeC2001 Chin. Soc. for Elec Eng文章編號(hào)258-8013(2001)09.0043-04廣義索末菲積分快速算法及架空導(dǎo)線與地下導(dǎo)線間互阻抗的計(jì)算鄒軍,袁建生,馬信山〔清華大學(xué)電機(jī)系電工新技術(shù)研究所北京100084)FAST EVALUATION OF GENERALIZED SOMMERFELD INTEGRALAND THE MUTUAL IMPEDANCE CALCULATION BETWEEN OVERHEAD CONDUCTORSAND UNDERGROUND CONDUCTORSZoU Jun, YUan Jian-sheng, MA Xin-shanSchool of Electrical Enqineering Tsinghua University Beijing 100084 ChinaΔ BSTRACT: An efficient approach to calculate the generalized媒質(zhì)電磁場(chǎng)求解的關(guān)鍵問(wèn)題。一般說(shuō)來(lái)根據(jù)場(chǎng)點(diǎn)ommerfeld integra GSI), which is based on the discrete compl和源點(diǎn)之間的距離、媒質(zhì)參數(shù)以及頻率范圍等條件image method; is presented. GSI is separated to the sum of two GSI的計(jì)算可采用解析近似法、數(shù)值積分法和解析tems, one of which is the approximate value obtained from an ana-數(shù)值積分法1近年來(lái)離散復(fù)鏡像法由于有較好Prony s method another of which的計(jì)算精度和合理的物理意義,已經(jīng)成為計(jì)算GSIan emendatory integral acquired by an adaptive quadrature. The e-的重要方法。但是對(duì)于有損媒質(zhì)中的CSI直接采nendatory integral kernel is the difference between the original anthe asymptotic integral kernel and converges very fast. The validity用離散復(fù)鏡像法計(jì)算精度不夠理想還需借助于比of the method herein is proved by the numerical solution of the mu較耗時(shí)的優(yōu)化技術(shù)或采用函數(shù)近似處理技術(shù)23al impedance between overhead power lines and underground有限長(zhǎng)架空電力線路與地下通信電纜之間的互telecommunication lines. It is shown, compared with the conventinal阻抗計(jì)算是電力系統(tǒng)對(duì)通信系統(tǒng)電磁干擾研究的基integration method, that the method herein can increase the calcula-礎(chǔ)。文4時(shí)論了考慮架設(shè)高度時(shí)有限長(zhǎng)導(dǎo)線間電tion efficiency more than 20 times感的計(jì)算但其沒(méi)有考慮位移電流的影響不適用于KEY WORDS Dower line; communication i;irne;較高頻率的情況同時(shí)其計(jì)算中尚涉及無(wú)窮級(jí)數(shù)的generalized sommerfeld integral計(jì)算。摘要提出一種基于離散復(fù)鏡像法的廣義索末菲積分(GSI)針對(duì)上述問(wèn)題本文提出了一種快速計(jì)算GSI快速計(jì)算方法。該方法將(S表示為離散復(fù)鏡像近似值和的解析數(shù)值方法。該方法將CS表示為離散復(fù)鏡積分校正項(xiàng)之和其中離散復(fù)鏡像近似值采用P方法得像近似值和快速收斂的積分校正項(xiàng)之和增加積分到解析式求出積分校正項(xiàng)以原積分核與逼近積分核之差作校正項(xiàng)充分保證了GS的計(jì)算精度。架空電力線與為校正積分核采用自適應(yīng)積分法求出。架空電力線路與地地下通信電纜互阻抗的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,與常規(guī)下通信電纜互阻抗的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明該方法比常規(guī)數(shù)值的數(shù)值積分法相比同樣精度下采用本文方法可提積分方法計(jì)算效率可提高20倍以上。高計(jì)算效率20倍以上。關(guān)鍵詞電力線路;通信電纜;阻抗;廣義 Sommerfeld積分中圖分類號(hào)M726.3N13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼2計(jì)算方法圖1是平行有限長(zhǎng)架空電力線與地下通信電纜引言中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)第21卷建立局部坐標(biāo)(0-n)有限長(zhǎng)電纜位于平面x2內(nèi),式中R+2表示為線段CD在其上建立局部坐標(biāo)0-5)其中則1可表示為AB平行于CDx1平行于2,r為AB和CD上任意-jh, R兩點(diǎn)間距離。根據(jù) Sommerfeld偶極子場(chǎng)理論架空R(6)電力線和地下電纜之間的互阻抗可表示為41)。ZWiNds(1)式中Rl△的積分核引入了λ)和其漸進(jìn)函數(shù)W40+1c",J則(2)Fa2(u1)之差,/△為快速收斂的積分。2.1待定系數(shù)a和b的確定式中c=3(4π,joo),Ao=m√p0eo,k1=a1和b1可采用Pomy方法確定5由于 Prony方OVulE法是對(duì)實(shí)變量函數(shù)的逼近而F2(u1)的變量u1為復(fù)變量因此尚需改變積分路徑以適合Pron方法。圖n1=√2-4和c0分別為真空磁導(dǎo)率和電容2是入平面和m1平面積分路徑示意圖根據(jù)積分核的率,為大地相對(duì)介電常數(shù)為大地電導(dǎo)率為r性質(zhì),可選擇平面和u1平面的第一象限作為在xoy平面內(nèi)的投影:為第一類零階 Bessel I函數(shù); Rieman面的上半頁(yè),該頁(yè)內(nèi)積分核無(wú)極點(diǎn)。設(shè)積分Kh>0)和xz<0)分別為電力線路的架設(shè)高度W1沿實(shí)軸路徑C進(jìn)行且在A=T時(shí)可作積分截?cái)嗪偷叵码娎|的埋深。(T的估計(jì)方法見(jiàn)文6])映射至u1復(fù)平面中對(duì)應(yīng)路徑C和點(diǎn)T。根據(jù)積分圍線定理積分路徑C可變?yōu)檠刂本€C1進(jìn)行反演至λ平面對(duì)應(yīng)積分路徑C1C圖1架空電力線與地下電纜布置示意圖圖2λ平面和a1平面積分路徑示意圖Fig 1 Schematic diagram of an overhead powerline and an underground telecommunication lineFig 2 Schematic diagram ofintegration paths in the complex 2 and uI plar令(x)=21e-"則式2)可變換為取積分路徑C1為3W:=[x)=(m)…從)從+()2=h(+1,(x-=12]0≤≤(7)Fa(u1)e“i,Jλp)=1△+lan式中xr=RfuT)k1]r=hna(T)k1l沿C1對(duì)Kλ)作解析開(kāi)拓則(3)Kt)=F(√u1)+k)0≤(8)式中Fa2(u1)為rA)的漸進(jìn)函數(shù);為Wx1的采用Pony方法對(duì)t)作逼近則近似閉合解析表達(dá)式;△為積分校正項(xiàng)。若Fa2(u1)可表示為ftAe(9)(4)由式(7)比較式(4)和式(9),可確定待定系數(shù)和式中a;和b;為待定系數(shù);N為展開(kāi)項(xiàng)數(shù)。由式3)和式4)利用 Sommerfeld積分恒等式A第9期鄒軍等:廣義索末菲積分快速算法及架空導(dǎo)線與地下導(dǎo)線間互阻抗的計(jì)算式中D=1+、yT2.3本文方法的適用范圍在Pony方法N個(gè)展開(kāi)項(xiàng)對(duì)應(yīng)2N個(gè)采樣點(diǎn)綜本文通過(guò)對(duì)積分核有效的近似得到了快速收合考慮計(jì)算精度和計(jì)算效率,般N=5~10即可斂的校正積分。數(shù)值計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)表明,計(jì)算頻率在達(dá)到較好的計(jì)算精度。10Hz以內(nèi)大地電導(dǎo)率和電容率取實(shí)際參數(shù)時(shí)本2.2積分校正項(xiàng)的計(jì)算文方法具有良好的計(jì)算精度和較高的計(jì)算效率。當(dāng)積分校正項(xiàng)為計(jì)算頻率高于10時(shí)采用 Prony方法逼近GS的1=[(A)-Fm1)}e,)積分核十分困難需增加采樣點(diǎn)以保證逼近精度此時(shí)消耗確定Fa(u1)上的時(shí)間已經(jīng)相當(dāng)可觀從而(1)整體上計(jì)算效率并沒(méi)有改善不宜采用本文方法。式10)可沿實(shí)軸積分路徑C進(jìn)行此時(shí)J可應(yīng)當(dāng)指出對(duì)于高頻段和甚低頻段,般可采用鞍點(diǎn)用多項(xiàng)式精確逼近。應(yīng)當(dāng)指出,雖然漸進(jìn)函數(shù)法或采用準(zhǔn)靜場(chǎng)條件導(dǎo)出近似解析公式Fa、(u1)的采樣點(diǎn)在積分路徑C1上但是根據(jù)解析原積分核實(shí)部函數(shù)解析開(kāi)拓的唯一性定理,可保證在積分路徑校正積分核實(shí)部C上Fa(u1)亦是Kλ)的漸進(jìn)函數(shù)。在Co上支點(diǎn)A=k附近Kλ)變化劇烈,F(u1)在該點(diǎn)附近逼近精度較差,Ⅰ△修正的正是來(lái)自于這一部分的積0.02分誤差。取εn=1J=0.02S/mf=0.5MHzh4048.0mz=-0.8m=100m圖3、圖4和圖5分別圖4原積分核與校正積分核的實(shí)部隨自變量x的變化是原積分核和校正積分核的模、實(shí)部和虛部的比較。Fig 4 Real part variation of the original integralkernel and the emendatory integral kernel versus 10.04原積分核虛部0.04原積分核模校正積分核虛部校正積分核模003402WYNNes1020.3404圖3原積分核與校正積分核模隨自變量λ的變化圖5原積分核與校正積分核的虛部隨自變量λ的變化Fig 3 Module variation of the originalig. 5 Imaginary part variation of the original integralintegral kernel and the emendatory integralkernel and the emendatory integral kernel versus akernel versus independent variable 1從圖3圖4和圖5表明原積分核減去其漸進(jìn)3計(jì)算實(shí)例函數(shù)后已經(jīng)具有快速收斂的性質(zhì)。在積分路徑上在實(shí)際計(jì)算分析中,常用參數(shù)為導(dǎo)線間單位長(zhǎng)按JA)的零點(diǎn)將無(wú)窮積分區(qū)間劃分成若干子區(qū)度的互感系數(shù)M,它與式1)定義的阻抗有如下關(guān)間以相鄰兩個(gè)零點(diǎn)作為1個(gè)積分區(qū)間各區(qū)間采用系:M=Zjol)其中l(wèi)為兩平行線路的平行長(zhǎng)度自適應(yīng) Simpson積分法。這一積分法能根據(jù)函數(shù)變算例1采用文4慘參數(shù)架空電力線路和地下化激烈的程度自動(dòng)調(diào)整積分步長(zhǎng)適合振蕩函數(shù)的電纜布置如圖1所示各段坐標(biāo)為:A(008m,(1積分。積分的截?cái)喔鶕?jù)誤差限δ確定。設(shè)前n個(gè)589.4,0,8)m;C(1059.8,y,-0.8)m,D區(qū)間的積分值之和為S第n+1個(gè)積分區(qū)間的積(1589.4y,-0.8)m式6)中函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)N取分值為△Sn+1若積分收斂條件|△S+Sn1<δ滿0表1為f=50Hz采用本文方法計(jì)算互感系數(shù)直到積分收斂條件滿足。事實(shí)上由于校正積分核必4以及CCm結(jié)果的比較、以便驗(yàn)證本文方足積分停止,=S+△S,1否則重復(fù)上述過(guò)程與文算例2作為本文方法的應(yīng)用可計(jì)算互感系數(shù)中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)第21卷表2是水平距離y=50m采用本文方法和常規(guī)的的資助在此表示衷心感謝。數(shù)值積分法計(jì)算結(jié)果的比較。表2中第三行給出了以數(shù)值積分值為基準(zhǔn)本文方法的誤差。參考文獻(xiàn):表1不同計(jì)算方法結(jié)果的比較pH[1]彭仲秋( Peng Zhongqiu). Sommerfeld積分的計(jì)算 The evaluation ofTab 1 Comparison of results by means of different methodsmeerfeld integrals IJ]電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)( Joumal of UEST of水平距離y/m文4]China)198544)88-97323.5mensional dipole above and withinground J]. IEE Proceedings-H,1991,1384)319326表2互感系數(shù)頻率特性μHkm)[3]王建蘭康彭仲秋 Wang Jian Lan Kang Peng Zhongqiu).有耗半Tab 2 Frequency character of the mutual induction空間天線問(wèn)題中的廣義 Sommerfeld積分( Generalized sommerfeld頻率/Hz5000500000integrals for antenna problems in half lossy space IJ電子學(xué)報(bào)數(shù)值積分296.57134.4829.815.85TA Electronical Sinica ), 1995, 23(3) 104-107.本文方法296,93137,2830.695.61[4]崔鼎新李寒非( Cui Dingxin ,Li Hanfei)兩條平行單導(dǎo)線之間的誤差百分?jǐn)?shù)/%1.22.082.低頻互感系數(shù)( Coupling coefficients between two parallel conductorsin the case of low frequency IJ].電機(jī)工程學(xué)報(bào)( Proc of CsEe)從表2中可看出本文方法具有良好的計(jì)算精1984(1):33-43度。在普通P·Ⅱ333微機(jī)上采用常規(guī)的數(shù)值積分[5] Hamming R W. Numerical methods for scientists and engineer[ M方法計(jì)算一次大約耗時(shí)40~60s而采用本文方法New York: McGraw-Hill Book Company, 1973平均耗時(shí)2s左右。計(jì)算效率提高20倍以上6]王錫良彭仲秋 Wang Xiliang Peng Zhongqiu) Sommerfeld積分的近似級(jí)數(shù)展開(kāi)( Approximateof sommerfeld inte-4結(jié)束語(yǔ)lsiJ]電子科技大學(xué)學(xué)報(bào) Joumal of UEST of China)99120本文提出了一種基于離散復(fù)鏡像法的廣義7]沈燮昌( Sheng Xiechang)復(fù)變函數(shù)論基礎(chǔ)( Basis of the complexSommerfeld積分的快速算法,其核心是將GS用function[ M]上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社( Shanghai:ShanPony方法近似表示然后用快速收斂的積分對(duì)GSIience and Technology Press ) 1982的近似值作修正。本文方法適用于需反復(fù)大量計(jì)算收稿日期20000417;改回日期20006.06。CS的場(chǎng)氜例如頻域法電磁暫態(tài)計(jì)算)有限長(zhǎng)架作者簡(jiǎn)介空電力線與地下通信電纜互阻抗計(jì)算結(jié)果證明了本鄒軍(1971-)男博士生文方法的正確性和實(shí)用性。袁建生1959-)男教授博士從事電磁兼容方面的科研工作馬信山1934-)男教授博士生導(dǎo)師從事電工理論與新技術(shù)、致謝電磁兼容方面的科研工作本文研究工作得到清華大學(xué)博土學(xué)位論文基金責(zé)任編輯丁玉瑜)一護(hù)護(hù)一護(hù)護(hù)小護(hù)護(hù)小護(hù)護(hù)一護(hù)小護(hù)護(hù)小護(hù)護(hù)一護(hù)護(hù)護(hù)小護(hù)一護(hù)護(hù)一護(hù)《中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)》對(duì)論文摘要的編寫要求摘要是科技論文的重要組成部分。摘要是以提供文獻(xiàn)報(bào)道性摘要是指明一次文獻(xiàn)的主題范圍及內(nèi)容梗概的內(nèi)容梗概為目的不加評(píng)論和補(bǔ)充解釋簡(jiǎn)明、確切地記述文簡(jiǎn)明摘要相當(dāng)于簡(jiǎn)介。報(bào)道性摘要一般用來(lái)反映科技論文獻(xiàn)重要內(nèi)容的短文。其基本要素包括研究的目的、方法、結(jié)的目的、方法及主要結(jié)果與結(jié)論在有限的字?jǐn)?shù)內(nèi)向讀者提果和結(jié)論。供盡可能多的定性或定量的信息充分反映該研究的創(chuàng)新之摘要大致可分為報(bào)道性摘要、指示性摘要和報(bào)道-指示處。性摘要3種類型?！吨袊?guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)》要求中文摘要篇幅以300個(gè)左右《中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)》要求寫報(bào)道性摘要的漢字為宜英文摘要應(yīng)與中文摘要相對(duì)應(yīng)