第33卷第1期江西科學Vol 33 No. 12015年2月JⅠ ANGXI SCIENCEFeb.2015doi:10.13990/jisn1001-3679.2015.01.015類 Lorenz系統(tǒng)的非線性動力學研究張勇1,張光云2,湯志浩(1河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院基礎教學部,47300,河南,南陽;2西南石油大學外國語學院610500,成都)摘要:通過理論計算和數(shù)值模擬分析了兩類類 Lorenz系統(tǒng)的非線性動力學行為。從耗散性、平衡點、不變集、波形圖、吸引集等方面展示了該系統(tǒng)的豐富的動力學特性。最后給出了相應的計算機模擬。關鍵詞:類 orenz系統(tǒng);相圖;非線性動力學;波形圖中圖分類號:0241.84;029;0242.1文獻標識碼:A文章編號:1001-3679(2015)01-06-04Nonlinear Analysis of Lorenz-Like SystemsZHANG Yong, ZHANG Guangyun, TANG Zhihao(1. Department of Basic Teaching, Henan Polytechnic Institute, 473000, Nanyang, Henan, PRC;2. School of Foreign Languages, Southwest Petroleum University, 610500, Chengdu, PRC)Abstract: Nonliear dynamical properties of Lorenz-Llike systems are studied theoretical calculationand numerical analysis. Dissipation, equilibrium points, invariant sets, waveform, and global attractivesets show that the Lorenz systems have rich dynamic characteristics. Finally, we give the simulationsabout our results in the paper.Key words: Lorenz-Llike systems phase portraits; nonlinear dynamics; waveform0引言五模類 Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學模型為9:2x1+4orenz混沌系統(tǒng)作為第一個混沌系統(tǒng)得到了9x2+3x1x3廣泛而且深刻的研究。其中,發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)并且對其進行動力學分析一直是一個熱點問題。3=-5Xx,十r(1)混沌系統(tǒng)在非線性電路、圖像加密、控制科學和信4=-5x4息科學中有著非常重要的應用1-。本文給出x5=-x5-3x1x4,了該混沌系統(tǒng)的動力學行為分析,包括平衡點、其中,r>0為系統(tǒng)(1)的為雷諾數(shù)。當r=30時波形圖、吸引集和最終界等,最后給出計算機模系統(tǒng)(1)軌線的相圖見圖1。系統(tǒng)(1)各個變量擬隨時間演化的圖形如圖2。1數(shù)學模型H中國煤化工收稿日期:2014-11-14;修訂日期:2014-12-16CNMHG作者簡介:張勇(1982-),男,河南南陽人,碩士,講師研究方向為混沌示。甚金項目:南陽市科技發(fā)展計劃科技攻關項目(2012G05;2013cc048);南陽市科技發(fā)展計劃軟科學項目(2013RKO13)。第1期張勇等:類 Lorenz系統(tǒng)的非線性動力學研究67書個001201401601圖1系統(tǒng)(1)軌線在各個三維空間中軌線的相圖6080100120140160180200F 0 1Wi WASi y wywy m w phis圖4系統(tǒng)(2)的各個變量隨時間演化圖形葉 WYWJI AAMYYYwh2主要動力學特性分析2.1不變性x3軸為系統(tǒng)(1)的一個不變集,從而從x3軸上任何點出發(fā)的軌線都只能在x3軸上運動8:2.2耗散性和吸引子的存在性對于系統(tǒng)(1),有0:444圖2系統(tǒng)(1)的各個變量隨時間演化圖形四模類 Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學模型為0所以系統(tǒng)(1)是耗散的,并以指數(shù)形式出=e2收x=-x-y2+0.5z2+0.51+2c,斂,也就是說,一個初始體積為V(0)的體積元在y=-y+xy-zo-0.52+0.5u2時間t時收縮為體積元v(0)e-。故當t→+∞z=-z+0.5yz+0.5y0-0.5xz-0.5x時,包含系統(tǒng)軌線的每個小體積元以指數(shù)速率-22收縮到0。此時,所有系統(tǒng)的軌線最終會被=-1+0.5xz+0.5yz-0.5x-0.5y,(2)限制在一個體積為0的極限點集上,并且它的漸進動力學行為會被固定在一個吸引子上,這說明其中c≠0為系統(tǒng)(2)的參數(shù)。當參數(shù)c=11時,了吸引子的存在性。系統(tǒng)(2)軌線的相圖見圖3。系統(tǒng)(2)各個變量2.3平衡點隨時間演化的圖形如圖4。對于系統(tǒng)(1),1)當0<7≤00時,系統(tǒng)只有一個平衡點P(0,0,÷,0,0)6<≤40.6時,系統(tǒng)有3個平衡點P1(0,0,<,0,0)圖3系統(tǒng)(2)軌線在各個三維空間中軌線的相圖中國煤化r0。),CNMHP.077’6√768江西科學2015年第33卷△={(x(t),y(t),z(t),v(t)lx2+y2+z2+3)當r>?！銜r系統(tǒng)有7個平衡點:M6)P1(0,0,s,0,0),為系統(tǒng)(2)的一個最終有界集和全局指數(shù)吸引集P.(-1,5/-15.0)證明:作廣義正定、徑向無界的 Lyapunov函數(shù)15-6/6_156V1(X)=x2+v2,X(t)=(x(t)7767-7,20,0)(t),x(t),u(t)),當V1(X(t))≥M,V1(X)>M(t≥b)時,計算vS(3’8080V6400~6,-√15(x(t))對時間t的導數(shù)2-})dv,((t))1/)、=2xx+2y+2zz+22(-x-y2+0.5z2+0.52+2c)+2y(-y+xy-mS2(115√15r93’80‘80’√640060.52+0.5v02)+2x(-z+0.5yx+0.5y-0.5x0.5x)+2(-+0.5x+0.5yz-0.5x-0.5y64006=-2x2-2y2-2-2v2+4ox≤-V1-x2-y2-S3(15r9r2-u2+4cx≤-V1+4c2≤-(V-M)<0,380'80’√64006’當V1(X(t))≥M,V1(x0)>M(t≥b)時,對上述不等式兩邊積分有6400-6)(X(t)≤V1(X(t)e(h)S4(--8080√6400~6=V(x(4)e)+M(1-e)6)dr整理得√6400v1(X(t)-M≤[V1(X0)-M]e)(8)2.4全局吸引和最終有界性令上述不等式(8)兩邊t→+∞,取上極限有定理11:對任意的∨r>0,令minV1(X(t))≤MV(X)=x2+x2+x2+x+x3,X(t)=(x(t),2(1),x3(1),x2(t),x(1),。x2根據(jù)定義,即l6,則當W(x()△={ XI min v1(Xx()≤M}≥L,(x0)>L(th)時,對于系統(tǒng)()的正半軌為系統(tǒng)的一個全局指數(shù)吸引集。線有估計式:注:取參數(shù)c=11,由定理2系統(tǒng)(2)的正半(X())-L]sW(X)-e(4)軌線包含在1=(x,y,,n)/x2+y2+2+從而集合s(=1(x1,,3,,)+x2+x+x+x所示。從圖5中可以看出系統(tǒng)(2)的正半軌線最終進入Ω1與定理2的理論結(jié)果相吻合,表明了為系統(tǒng)(1)的一個最終有界集和全局指數(shù)吸引計算結(jié)果的正確性。集定理2:令V(x)=x2+y2+2+n2,x(t)=3結(jié)論(x(1),y(t),x(t),(t)),M=42,則當v(X本文利用動力系統(tǒng)的基本理論研究了兩類類(2)≥M,(x)>M(t≥)時,對于系統(tǒng)(2)的 Lorenz系統(tǒng)一些基本的動力特性,并且給出了相正半軌線有估計式[v(X(t))-M]:應的計算機≤[1(x0)-M]e(0(5)性與有效性中國煤化工結(jié)論的正確從而集合CNMHG的一些動力學特性還有付」。第1期張勇等:類 Lorenz系統(tǒng)的非線性動力學研究路設計與仿真[J].江西科學,2011,29(6):691693[6]舒永錄,張付臣,楊洪亮.一個新的多維超混沌系統(tǒng)及其性質(zhì)研究[J].四川大學學報:自然科學版,2011,48(4):857-864[7 Zhang F C, Shu Y L, Yang H L Bounds for a new cha-otic system and its application in chaos synchronization[J. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(3): 1501-1508圖591在xyz空間中的投影[8 Liao X X. On the global basin of attraction and posi-ively invariant set for the Lorenz chaotic system and its參考文獻application in chaos control and synchronization[J]Sci China ser E,2004,34(12):1404-1419[1]王興元,孟娟超混沌系統(tǒng)的廣義同步化[J.物理[9]牛宏,王賀元 Navier-stokes方程五模的截斷類 Lorenz學報,2007,56:6288-6293[2]王興元混沌系統(tǒng)的同步及在保密通信中的應用方程組的靜態(tài)分歧[J].遼寧工學院學報,2006,26(5):338-343M].北京:科學出版社,2011[3]張付臣,舒永錄,姚憲忠磁盤發(fā)電機系統(tǒng)的動力學10]王賀元鞠春賢.四模 Lorenz系統(tǒng)的動力學行為及其數(shù)值模擬[J].高等學校計算數(shù)學學報,2010,32研究及其在混沌同步中的應用[J].應用數(shù)學學報,(2):99-1052013,36(2):193-203[4]張付臣,楊洪亮線性反饋控制在保密通信中的應11]張勇,尹社會,用[J].計算機工程,2011,37(14):259-262.力學研究[J/OL.].計算機工程與應用,htp:wwnet/kcms/detail/11 2127. TP. 20131017[5]屈元舉,謝芳森,沈艷菲.一個新四維混沌系統(tǒng)的電上接第60頁)[3]馬少仙,馬剛,張忠輔 P VF的鄰強邊染色[[刀].西北師范大學學報,2005,41(1):13-15蘭州大學學學報:自然科學版,2008,44(1):112-[9]王彥妮,王麗偉,劉萍幾類圖的鄰點可區(qū)別的全染色[門].科學技術(shù)與工程,2007,7(13):3048-3051[4]戴韻圖的鄰強邊染色[D].杭州:浙江師范大學,[10]閆麗紅,王治文,張忠輔廣義θ圖的鄰點可區(qū)別的2006全染色[J].經(jīng)濟數(shù)學,2007,24(1):103-106[5]張玉棟郝自軍晁福剛,等, SVP的鄰強邊染色[1]孫婷婷圖的點可區(qū)別的邊染色及點可區(qū)別的全染[J].西安交通大學學報,206,40(12):1463色[D].重慶:重慶大學,20081466.[12]張東翰蛛形圖的全染色和星全染色[J].商洛學院[6]張忠輔陳祥恩,李敬文,等關于圖的鄰點可區(qū)別學報,2013,27(6):31-32的全染色[J.中國科學,A輯,2004,35(5):574-13]張東翰朱白路的D(3)點可區(qū)別的全染色[J,商洛學院學報,2014,28(2),11-7]田雙亮若干廣義 Peterson圖的鄰點可區(qū)別的全染14] Bondy J A, Murty U S R. Graph Theory with Applica色[J].山東大學學報:理學版,2008,49(9):42-tions[ M]. New York The Macmillan Press Ltd, 1976[15] Reinhard D. Graph Theory[ M]. New York Springer-[8]陳祥恩,張忠輔PnVP。的鄰點可區(qū)別的全染色Verlag, 1997中國煤化工CNMHG