【學(xué)法指導(dǎo)】擋板法的應(yīng)用胡錦彩(浙江省天臺(tái)縣育青中學(xué),浙江天臺(tái)317200)摘要:擋板法是解組合問題的一種重要方法,本文通過具體實(shí)例闡逑了擋板法的構(gòu)建過程,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的建模思想。關(guān)鍵詞:擋板法;構(gòu)建;組合模型;轉(zhuǎn)化;推廣;快捷擋板法是解決組合問題的有效方法,它的關(guān)鍵是+x=MM≥n,mEZ)的正整數(shù)解的不同組數(shù)為Cm把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為組合模型。下面我們通過具體的例若將正整數(shù)解更改為非負(fù)整數(shù)解,像例題3就不能子來(lái)揭示這種轉(zhuǎn)化的途徑和方法。直接用上述的方法,為什么呢?因?yàn)閤y,z的值可以為0例1:要從7個(gè)學(xué)校中選出10人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,每那么我們能不能轉(zhuǎn)化為例2的方法來(lái)解呢?校至少有1人,這10個(gè)名額有多少種不同的分配方法?解析:這類問題一般地可用分類討論的方法求解,例3:求不定方程x+y+z=6的非負(fù)整數(shù)解的不同組數(shù)?即分成三類:第一類,有一所學(xué)校4人,其他學(xué)校各1人,不妨將x,y,看成3個(gè)盒子,先在3個(gè)盒子中先各放共有C,種不同的方法;第二類,有一所學(xué)校3人,有一上1個(gè)大小形狀都相同的小球,再把6看成6個(gè)大小形狀所學(xué)校2人,其他學(xué)校各1人共有A種不同的方法;第都相同的小球,然后把9個(gè)大小形狀都相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子至少有1個(gè)小球,這樣不定三類有三所學(xué)校各2人,其他學(xué)校各1人,共有C種不方程x+y+z=6的非負(fù)整數(shù)解的不同組數(shù)轉(zhuǎn)化為求不定方同的方法;根據(jù)加法原理可得C+A+C=84(種)。這種程x+y+9的正整數(shù)解組數(shù)。因此例3的解為C=28組。解法雖然思路清晰,方法可行,但總感覺有點(diǎn)麻煩,如事實(shí)上,若設(shè)x=x+1,y'=y+1,z=z+1則原方程果我們能從整體上考慮,就可將問題轉(zhuǎn)化為將10個(gè)形x+y+2=6可化為x+y+x=9,所求的原不定方程非負(fù)整數(shù)狀大小都相同的小球放到7個(gè)不同盒子中,每個(gè)盒子解的組數(shù)與新方程x+y+x=9正整數(shù)解的組數(shù)一一對(duì)至少有一個(gè)球,有多少種放法?事實(shí)上,把10個(gè)球排成應(yīng)。類比例2的解法,可知新方程x+y+x=9的正整數(shù)解行,然后用6塊擋板插在9個(gè)間隔中,將小球分成7份共有C=28組,故原方程非負(fù)整數(shù)解有28組的方法數(shù)共有C。=84(種),我們把這種直觀的方法稱為例4:求(a+b+c+d)展開式的項(xiàng)數(shù)。擋板法。這種解法既避開了復(fù)雜的分類討論,又形象生例4的解法通常把(a+b+c+d)改寫成[a+b)+動(dòng)簡(jiǎn)潔明了,學(xué)生掌握起來(lái)比較方便例2:求不定方程x+y+z=4的正整數(shù)解的不同組數(shù)。(c+d)]),然后按二項(xiàng)式展開,即(a+b+e+d)"=C解析:例2這個(gè)問題的最原始的解法手段是列舉(a+b)+Craa+b)(c+d)Cn(a+b)X(c+d)2+…+CmOc+d)0x=1x=1|x=2這樣展開式的所有的項(xiàng)數(shù)為11+10×2+9×3+8×4+7x法。它有如下的三組解即y=1,y=2,ly=l但這種解’56×6+5×7+4x8+3×92x10+1126(項(xiàng)),但是這種解法也沒有推廣的價(jià)值,如求(a+b+c+d)的展開式法雖然直觀明了,但沒有推廣價(jià)值,如:求不定方程的項(xiàng)數(shù),若用上述方法則力不從心。但我們可以把這X+y+=10正整數(shù)解的不同組數(shù)就相當(dāng)困難。那我們個(gè)問題轉(zhuǎn)化為例的方法來(lái)解決。因?yàn)?a+b+c+d)Co如何去構(gòu)造恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決這類問題呢?C1o-C1--a'b'c'd(x,y,z∈A,A=0,1,2,…,10),所我們?cè)O(shè)想將4個(gè)1排成一行,即f,1,1,1,它們之間以(a+b+e+d)展開式的項(xiàng)數(shù)為相當(dāng)于不定方程有3個(gè)空擋,相當(dāng)于用2塊擋板把4個(gè)大小形狀都相同的小球分成3個(gè)部分每個(gè)部分的個(gè)數(shù)依次記為x,y,0這x+y++1的非負(fù)整數(shù)解的不同組數(shù),所以共有C=286樣上述的每一種擋板的插法與方程x+y+z=4的一組正(項(xiàng)),這樣就起到事半功倍的效果。我們還可以得到更整數(shù)解一一對(duì)應(yīng),于是原問題的答案等價(jià)于從3個(gè)不同一般性的結(jié)論:(x+x+…x)的展開式的項(xiàng)數(shù)為C的元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù),為組合模型,所以共中國(guó)煤化工們可以看出很多的有C種不同的方法,故原不定方程有C=3組不同的正整至不可辨”等問題,通數(shù)解。同理,我們可以很方便快捷地得到不定方程過構(gòu)CNMH的解決變得簡(jiǎn)便快x+y+2=100的正整數(shù)解的不同組數(shù)為C=4851(組)。當(dāng)捷,這對(duì)于發(fā)展學(xué)生的形象思維和建模能力有著不可估量的重要作用。然我們還可以得到更一般的結(jié)論:不定方程x+x160