Cantor集的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用阮世華(莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,福建莆田351100摘要] Cantor集是實(shí)函數(shù)論中一類重要的集合本文從 Cantor集的構(gòu)造過(guò)程以及構(gòu)造拓展中得到相關(guān)的應(yīng)用.目的是幫助初學(xué)者對(duì) Cantor集有一個(gè)較全面的認(rèn)識(shí)關(guān)鍵詞] Cantor集;結(jié)構(gòu);完備集[中圖分類號(hào)]0174.1[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A[文章編號(hào)]1671-5330(2015)05-0141-02Cantor三分集是 Cantor在解三角級(jí)數(shù)問(wèn)題時(shí)1/p2的同心開(kāi)區(qū)間;第三步,在留存的四個(gè)閉區(qū)間做出來(lái)的,它具有若干重要特征,常是我們構(gòu)造重中再移去長(zhǎng)度為1/p的同心開(kāi)區(qū)間繼續(xù)要特例的基礎(chǔ)此過(guò)程,可得一列移去的開(kāi)區(qū)間,記其并集為Cantor三分集G(開(kāi)集),則G的總長(zhǎng)度為8我們稱Cn=[0將閉區(qū)間[0,1]三等分,去掉中間的開(kāi)區(qū)間1]VG為類 Cantor集(當(dāng)p=3時(shí),C就是 Cantor1.2,剩下兩個(gè)閉區(qū)間0,12.1.又把這分集)C也是非空完備集,且沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)更一般的,已有文獻(xiàn)對(duì)[0,1做相關(guān)的構(gòu)兩個(gè)閉區(qū)間各三等分,去掉中間的兩個(gè)開(kāi)區(qū)間,即造,所得到的點(diǎn)集也具有 Cantor三分集完全相同1278般地,當(dāng)進(jìn)行到第n次時(shí)的奇特性質(zhì),這里我們就不詳述3 Cantor集構(gòu)造拓展后的應(yīng)用共去掉2個(gè)開(kāi)區(qū)間,剩下2個(gè)長(zhǎng)度是3的互(0,1)中的每個(gè)實(shí)數(shù)都可以唯一地表示為p相隔離的閉區(qū)間,而在第n+1次時(shí),再將這2個(gè)進(jìn)位正規(guī)表示“,其中p是任意的大于1的正整閉區(qū)間各三等分,并去掉中間的一個(gè)開(kāi)區(qū)間,如此數(shù)Canr三分集與三進(jìn)位中用不著數(shù)字1的小繼續(xù)下去,就從[0,1]去掉了可數(shù)個(gè)互不相交的數(shù)集之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系.將[0,1]中的實(shí)數(shù)按三進(jìn)開(kāi)區(qū)間,剩下的集稱為康托爾三分集P.眾所周位小數(shù)展開(kāi),則 Cantor集中點(diǎn)x與下述三進(jìn)位小知,由此構(gòu)造的 Cantor三分集是測(cè)度為0的疏朗完備集,而且具有連續(xù)基數(shù)它的這一巧妙構(gòu)思也數(shù)集的元x=∑a3,a=0,2一對(duì)應(yīng)那么,為解決一些問(wèn)題提供啟示根據(jù) Cantor集構(gòu)造的拓廣這個(gè)特點(diǎn),我們可證2 Cantor集構(gòu)造法的拓展明:用十進(jìn)制小數(shù)表示[0,1]中的數(shù)時(shí),其用不著在[0,1]中做出總長(zhǎng)度為8(0<8<1是任數(shù)字7的一切數(shù)成一完備集意給定的數(shù))的稠密開(kāi)集.為此,取p=(1中國(guó)煤化小數(shù)表示[0,1]中的2δ)/δ,并采用類似于 Cantor集的構(gòu)造過(guò)程:第的一切數(shù)也是完備集CNMH步,我們移去長(zhǎng)度為1/p的同心開(kāi)區(qū)間;第二步疋世小效與[0,1]中任一數(shù)表成在留存的兩個(gè)閉區(qū)間的每一個(gè)中,又移去長(zhǎng)度為0.a1a2…an…,其中an(n=1,2…)是0,1,…9中收稿日期]2015-03-10[作者簡(jiǎn)介]阮世華(1977-),女,福建莆田人,講師,主要從事研究方向?yàn)槎鄰?fù)變函數(shù)研究142安陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)2015年的一個(gè)數(shù),把[0,1]十等分,去掉第七個(gè)左開(kāi)右閉例321設(shè)區(qū)間6.7及第八個(gè)左閉右開(kāi)區(qū)間7.8,即10’1010’10E={x∈[0,1去掉其中的開(kāi)區(qū)間5.8,于是表示式中a1=6an=2或7},我們有八個(gè)區(qū)間的每一個(gè)再進(jìn)行十等分,去掉各自的第E是閉集;2E=c;③E在[0,1]中不稠或7的小數(shù)全部去掉6=0.59,然后把余下的七個(gè)左開(kāi)右閉區(qū)間以及第八個(gè)左閉右開(kāi)區(qū)間,即證:①若有{xm}CE:xm→x(m→∞),則又去掉一個(gè)大的開(kāi)區(qū)間。于是表示式中a2=6或r=∑b,10(b,=0,1,2,…,9)類似于7的小數(shù)全部去掉(對(duì)分點(diǎn)的小數(shù)仍規(guī)定以9為循如果|xm-x1<10",那么在xm∈E時(shí)環(huán)節(jié))繼續(xù)這一過(guò)程,去掉的這些開(kāi)區(qū)間有可數(shù)2或7(n=1,2,…,P-1),從而E是閉集多個(gè),且彼此不相交,又無(wú)公共端點(diǎn),與[0,1]也②如同0和1組成的數(shù)列類似,E=c無(wú)公共端點(diǎn),所以[0,1]中用不著數(shù)字6和7的③由于E∩(0.28,0.7)=b,故E在[0,1切數(shù)成一完備集中不稠密.例2證明:用十進(jìn)制小數(shù)表示[0,1]中的例421試作一個(gè)由無(wú)理數(shù)構(gòu)成的完備集數(shù)時(shí),其用不著數(shù)字5和7的一切數(shù)成一完備集證:用十進(jìn)位小數(shù)可將[0,1]中任一數(shù)表成證:由于有理數(shù)集是可數(shù)集,所以可設(shè)[2,0.aa…an…,其中an(n=1,2…)是0,1,…9中3]中的有理數(shù)全體為{rn},n=1,2,…類似于的一個(gè)數(shù)字,把[0,1]十等分,去掉第六個(gè)開(kāi)區(qū)間Cantor集的做法:第一步舍去含有r的端點(diǎn)為無(wú)理數(shù)的中央開(kāi)區(qū)間,第二步再在余下的閉區(qū)間里5.6及第八個(gè)開(kāi)區(qū)間,8,于是表示式中以同樣的步驟操作,并依次將rn}挖去,…[2,a1=5或7的小數(shù)全部去掉3]VG即是1o=0.49,10=069·然后把余下的八個(gè)區(qū)[參考文獻(xiàn)]間的每一個(gè)再進(jìn)行十等分,去掉各自的第六個(gè)開(kāi)1]程其襄,張奠宙,魏國(guó)強(qiáng),等,實(shí)變函數(shù)與泛函分析基區(qū)間以及第八個(gè)開(kāi)區(qū)間。于是表示式中a2=5或礎(chǔ)[M].3版.北京:高等教育出版社,20107的小數(shù)全部去掉(對(duì)分點(diǎn)的小數(shù)仍規(guī)定以9為循[2]周民強(qiáng)實(shí)變函數(shù)論[M].2版.北京:北京大學(xué)出版環(huán)節(jié))。繼續(xù)這一過(guò)程,去掉的這些開(kāi)區(qū)間有可數(shù)多個(gè),且彼此不相交,又無(wú)公共端點(diǎn),與[0,1]也[3]董大校. Cantor集的性質(zhì)及其構(gòu)造推廣[J. Journal of無(wú)公共端點(diǎn),所以[0,1]中用不著數(shù)字5和7的Yunnan Finance &Economics University, 2008, 23(5)切數(shù)成一完備集一般的,用十進(jìn)制小數(shù)表示(0,1)中的數(shù)時(shí),[4]江澤堅(jiān),吳智泉,紀(jì)友清實(shí)變函數(shù)論[M].3版北京高等教育出版社,2007其用不著數(shù)字a1和a2的一切數(shù)成一完備集,其中a1,a2是1,2…9中的數(shù)字The Structure and Applications of Cantor SetRUAN Shi-huaDepartment of Mathematics, Putian Univer中國(guó)煤化工, China)Abstract Cantor set is an important set in real functions thCNMHGhe applications throughthe construction process and generalized structure of cantor set. The aim of this paper is to help the beginnersKey words: Cantor set; structure; complete set[責(zé)任編輯:Z