第28卷第3期(上)赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol. 28 No. 32012年3月Jounal of Chifeng University( Natural Science EditionMar.2012維熱方程解的存在性李慧(忻州師范學(xué)院?？撇?山西忻州034000摘要:文章利用算子半群理論證明了一維熱方程解的存在性和唯一性,此方法與以往解的存在性證明區(qū)別在于無(wú)須直接求解便可得到其解的穩(wěn)定性結(jié)論.關(guān)鍵詞:壓縮C半群;熱方程;算子;存在唯一性中圖分類號(hào):017792文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1673-260X(2012)03-0015-02算子半群理論是泛函分析的一個(gè)內(nèi)容豐富的DwA=Exm存在重要分支,該理論在許多實(shí)際問(wèn)題中,例如量子力定義2算子學(xué)中的 Schrodinger方程、中子遷移方程、人口發(fā)展Ax- lim Ttx-x,x∈DOA方程以及分布參數(shù)控制理論和工程技術(shù)中都得到稱為強(qiáng)連續(xù)半群T(的無(wú)窮小生成元,簡(jiǎn)稱為生成了廣泛的應(yīng)用本文用算子半群知識(shí)考慮如下一維元熱方程初邊值問(wèn)題引理個(gè)(Hile- Yosida生成定理)線性算子du(x,t)_du(x, t)(,x)∈(0,+∞)×(0,1)A生成壓縮C0半群的充要條件為(a)A為閉稠定算子;u(,O)=u1,1)=0,t∈(0,+∞)(b)p(A)2(0,+∞),且對(duì)于每個(gè)A>0,有IR(A,A)u(O,x)=1(x),x∈(0,1)解的存在性和唯一性≤1首先介紹一些文中用到的算子半群的基本知引理2若A生成C半群T(),則初值問(wèn)題識(shí).u(O=Au(t1準(zhǔn)備知識(shí)的解存在且唯一,其解為u()=T(uO)=:定義設(shè)X是 Banach空間,從X到X上2主要結(jié)論及證明的有界線性算子單參數(shù)族T,t≥0如果滿足:取狀態(tài)空間為X=L(,1這樣初邊值問(wèn)題(1)可T(0)=轉(zhuǎn)化為抽象 Cauchy問(wèn)題(2)VL, s20, T(t+s)=T(UT(s)u(=Au(0) Do(3)Vx∈x,JimT(x=x,則稱T()是強(qiáng)連續(xù)算子半u(O)=ux)x∈(0,1)群.定義算子A如下特別地,若Ⅴt≥0,有mo≤1,則稱為壓縮CoAg="∈D(A)半群D(A)={olo∈H0,1)∩Ho,1),且o(0)=5(1)=0定理1如上定義的算子A生成X上的壓縮C0半群證明因?yàn)镃O,1cDA),所以A是稠定的;Re入+2由泛函分析知識(shí)得L(0,1)上的常微分算子A=d在D=Cn0.1cD()上不是閉算子,但是A可所以當(dāng)A0時(shí),Am≤pg2以閉化其閉包是H.1所以上述定義的微分算gl≤gh,則有子A是閉算子IRAA川≤1下證p(A)0,+∞)由上面證明知算子A滿足Hile- Yosida定理設(shè)A=α+,令A(yù)-A)f=0即f"-Af=0的條件,所以算子A生成壓縮C0半群T(.證畢解二階微分方程得到:(x=CeN'+CeYx定理2對(duì)于每個(gè)u(x)∈HO,1)∩H(0,1)初邊由f0)=1)=0得到eY+e=0即e2=1,所以2值問(wèn)題(1)存在唯一解VA=2ni,則Aa=-n2r,n∈N證明此定理的證明可由定理1和引理2直對(duì)于每個(gè)A,相應(yīng)的(x-A)=0的解為:fx)接得出=Cnem+Cem,再由fO)=f(1)=0有Cn-Ca,所以f(x)=C(em-em).于是入An=-n2mcoA);參考文獻(xiàn)另外對(duì)g∈x入≠入,方程(X1-A)=g有唯一1) Pazy A. Semigroup of linear operators and ap解;所以p(A)2(0,+∞);plications to partial differential equations M]最后證明對(duì)每個(gè)A0,ROA,A川≤1Springer-Verlag, New York, 1983[2 ]Lawrence C. Evans. Parital Differential Equa對(duì)∈DA),有(x=f0d則tions(M. American Mathematical Society, 1998〔3〕衛(wèi)雪梅;傅初黎;非古典熱方程解的存在唯一性Hn2=dk≤ L. delle2sme2U蘭州大學(xué)學(xué)報(bào),1998(2):16-20(AI-A=A0-(r",=N2+f2≥(A+2)m2;〔4〕姚明華熱傳導(dǎo)方程次解的性質(zhì)黑龍江科技對(duì)于Vg∈X,對(duì)于滿足AI-Af=g的唯一f,有信息,2011(3):177-177l2(g0≥Re(Q-A)0≥(RA+2)mn2,則