2012年4月純粹數(shù)學與應用數(shù)學第28卷第2期Pure and Applied MathematicsVol 28 No. 2擬線性熱方程的函數(shù)分離變量解婁丹,謝離麗(西北大學數(shù)學系,陜西西安710069)摘要:用群狀結構法研究擬線性熱方程的分離變量解,對于允許和型分離變量解的二階擬線性熱方程給出了一個完整的分類.說明了一些帶有函數(shù)類型反應項的方程具有函數(shù)分離變量解,推廣了前人的結論關鍵詞:函數(shù)分離變量解;群狀結構法;擬線性熱方程中圖分類號:O175.,2文獻標識碼:A文章編號:1008-5513(2012)02-0242051引言本文研究帶有反應項的擬線性熱方程ut=(K(uur)x+A(ak(uux+ D(u)的函數(shù)分離變量解,其中K(u),D(u)均為足夠光滑的函數(shù).分離變量法是用來解決數(shù)學物理中的帶有初邊值條件偏微分方程的有效方法.李點對稱的方法在帶有變系數(shù)的線性偏微分方程的分離變量解的研究中扮演了十分重要的作用2.對非線性的偏微分方程而言,一個自然的問題就是它們是否存在分離變量解.因此,研究非線性偏微分方程的分離變量解是有意義的例如文獻⑧3對帶有熱源項的非線性反應-擴散方程ut=(D(u)ur)x+ B()Q(u), Bxt0的函數(shù)分離變量解作了具體的研究對于(n+1)維非線性偏微分方程E(t, . u, ux, ut, Urr, Uxt, utt, ..)=0,(2)這里u=u(x,t)C=C( 1, 2,如果方程(2)有形如u=φ(x)+v(t)的解,稱之為和形式的分離變量解;如果方程(2)有形如u=φ(x)(t)的解,則稱之為乘積形式分離變量解如果方程(2)有形如f(u)=g?(x)+v(t)的解,這里f(u)≠t,f(u)≠lnu,稱之為函數(shù)分離變量解.研究表明許多非線性偏微分方程有函數(shù)分離變量解.收稿日期:2011-0基金項目:國家自然科學基金(10671156)作者簡介:婁丹(1985-),碩士生,研究方向:偏微分方程中國煤化工CNMHG第2期婁丹等:擬線性熱方程的函數(shù)分離變量解243文獻⑧35]中分別研究了方程:ut=(D(uux)x+ b(a)Q(u)utt=(D(uuc)x+b(aQ(a)ut=(A()D(uux)x+ B(a)Q(u)的函數(shù)分離變量解下面將討論帶有反應項的擬線性熱方程(1)的函數(shù)分離變量解2群狀結構法如果方程(2)中的E不顯含t,則設vx=G(x,),u=F(x,u)運用群狀結構法間,得到如下方程組Fr+GF= FGEF.G. F.gm F.G為了獲得方程(2)的函數(shù)分離變量解,令G(x,u)=9(x)h(u),從(3)式第一個方程可以解出F(x,w),得F(x,)=h(u)f(7)(t)=h(sg(y)dy, n(t)=f(n)從而得到如下形式的函數(shù)分離變量解:H(u)=(y)dy +n(t)3擬線性熱方程的函數(shù)分離變量解下面考慮方程(1),根據(jù)群狀結構法理論,把G(x,u)=g(x)h(u),F(x,u)=h(u)f(n)代入到方程(1)中得到∫滿足f= gxK+9(Kh)u+AgK+這里方程(1)具有(5)式確定的函數(shù)分離變量解注意到∫是不依賴x的函數(shù),于是對(6)式兩邊關于x進行微分,得到gxak+ gaghKu+2gg (Kh)u+(Ag)xK +9 (Kh)uh+Ag+ gDu gDh=0.(7)這里考慮h(ω)=1的情況,此時方程(1)有和型的分離變量解:H(u)=t=/9()dy+m(t)中國煤化工CNMHG244純粹數(shù)學與應用數(shù)學第28卷方程(7)意味著:gxrK+3gg Ku+g Kuu+(Ag)xk+Ag Ku+記r代表由9x,99,g3,(4g)x,Ag2,g張成的線性空間,dim=2.根據(jù)r的維數(shù),求解方程(8)決定的函數(shù)K(u)和D(u)的表達式情形1dimT=2此時A和g滿足下面的方程組+a2 Ag,(Ag)x=b19+b2 Ag其中a1,a2,b1,b2均為實數(shù).將(9)式代入方程(8)得到函數(shù)K(u)和D(u)滿足下列的ODE系統(tǒng)/a2b162bKu+ajKa+ d)K+5a202Ku+akU+Ku=0下面分情況討論方程(10)的解0,b2≠0K(u)=C1+a202 C1e 02u+其中c1,c2以及以后出現(xiàn)的c3均為積分常數(shù).(i)a2=0,b2=0K(u)D()=-b2C1+c2(i)2≠0.令△=(3a2b2+b2)2-8a2b2(a2b2+2)=(a2b2-2)2,61a2b2+262=-b2≠0時K(u)d(u其中12a2b1+a1b2bK())c2emu-b1c1u+中國煤化工CNMHG第2期婁丹等:擬線性熱方程的函數(shù)分離變量解245其中(c)當△=0時K(u)=(c1+c2u)e2,D(u)=-(mc1 +nc2)e-o1u-mc2ue 2u+c3,其中m= a2b1bb2b, n=2a情形2dimr=3此時A和g滿足下面的方程組g9x=019+a2°+a3Aq(11)(Ag)x=b19+b293+b3其中a1,a2,a3,b1,b2,bg均為實數(shù).將(11)式代入方程(8)得到函數(shù)K(u)和D()滿足下列的ODE系統(tǒng)b3+b3)K+(3a3+1)Kn=0,(2a2+a3b2+b2)K+302Kn+Kn=0,(12)+a301+b1)K+3a1Ku+ Du=0下面分情況討論方程(12)的解.令(i)當△>0時,分以下幾種情況:(a)a2=0,b2≠0K(u)=cieu +c2e-ouD()=(Ab1-3a1)c(Ab1+3a1)c1e。+e3,其中a3+1(a3+1)62+(303+1)b2=04(b)a2=0,b2=0D()=-(a1a2+b33其中a3=-3,b3=02(c)a2≠0,b2=0.K()D(u)=mc1e-a2+nc2e-2a21中國煤化工CNMHG246純粹數(shù)學與應用數(shù)學第28卷其中2a2(i)當△<0時,K(u)=ea(c1 cos(Bu)+C2 sin(Bu)),C1入-C26C2)+C13+B2其中入2a1a2+=b14結論本文利用群狀結構法討論了擬線性熱方程的函數(shù)分離變量解問題.結論是對于某些具有函數(shù)類型反應項的方程,能得到函數(shù)分離變量解.參考文獻[1 Bluman G W, Kuwei S Symmetries and Differential Equation M. New York: Springer, 19892 Miller W. Symmetry and Separation of Variables(M. Reading: Addison-Wesley, 1977.3 Qu C Z, Zhang S L. Group foliation method and functional separation of variables to nonlinear diffusionequation J]. Chin. Phys. Lett., 2005, 22(7): 1563-15664 Qu C Z, Zhang S L. Extended group foliation method and functional separation of variables to nonlinearwave equations[J]. Commun. Theor. Phys., 2005, 44: 577-5825 Hu J Y, Qu C Z, Yin Hui. Functional separable solutions to nonlinear diffusion equations by group foliationmethod J. Commun. Theor. Phys., 2007, 47: 193-1996]左蘇麗.運用群狀結構法求非線性波方程的函數(shù)分離變量解門J.廈門大學學報,2008,47(1):1215.7]勾明.擬線性波方程的函數(shù)分離變量解J.蘭州大學學報:自然科學版,2009,45(1:107-111Functional separable solutions to quasi-linear heat equationLou dan. Xie lili(Department of Mathematics, Northwest University, Xi'an 710069, China)Abstract: In this paper, we considered the separable solutions to the quasi-linear heat equation with the groupfoliation method. A classification was carried out for the second order heat equations which admit additiveseparable solutions. The result is an extension of some known conclusions about the functional separation ofKey words: functional separable solution, group foliation method, quasi-linear heat equation2010MSC:38Q80中國煤化工CNMHG