第33卷第11期繼電器Vol.33 No. 112005年6月1日RELAYJun.1, 20055混合整數(shù)無功優(yōu)化問題的連續(xù)優(yōu)化方法黃偉,劉明波(華南理工大學(xué)電力學(xué)院,廣東廣州510640)摘要:通過對離散變量進(jìn)行二進(jìn)制編碼,把每個(gè)離散變量表示成若干個(gè)取值在0、1之間的連續(xù)變量,從而將一個(gè)含有離散變量的混合整數(shù)無功優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的連續(xù)優(yōu)化問題，再用非線性原對偶內(nèi)點(diǎn)算法求解。并且,在優(yōu)化過程中根據(jù)二進(jìn)制變量的權(quán)重系數(shù)逐步確定離散變量的取值,實(shí)現(xiàn)了離散變量在優(yōu)化過程中的逐次歸整。并以IEEE 118節(jié)點(diǎn)作為試驗(yàn)系統(tǒng)，與常規(guī)的離散優(yōu)化算法作比較,驗(yàn)證了該算法的正確性和有效性。關(guān)鍵詞:無功優(yōu)化;混合整數(shù)規(guī)劃; 二進(jìn)制編碼; 非線性內(nèi)點(diǎn)法中圖分類號(hào): TM714文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A文章編號(hào): 1034897020000000進(jìn)制編碼的連續(xù)化處理，再根據(jù)編碼后的權(quán)重在優(yōu)0引言化過程中逐位確定離散變量的值，實(shí)現(xiàn)離散變量在無功優(yōu)化的基本內(nèi)容是在滿足各種約束條件下優(yōu)化過程中的逐次歸整。非線性原對偶內(nèi)點(diǎn)算法作利用無功控制手段,如控制發(fā)電機(jī)和無功補(bǔ)償設(shè)備為求解連續(xù)非線性優(yōu)化問題的基本算法。并以的無功出力及可調(diào)變壓器的分接頭等,來提高電壓IEEE118節(jié)點(diǎn)做為試驗(yàn)系統(tǒng),驗(yàn)證該算法的正確性水平,降低系統(tǒng)有功損耗。但是變壓器變比和并聯(lián)電容器組都不能進(jìn)行連續(xù)的調(diào)節(jié),這使得無功優(yōu)化1離散優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性連續(xù)優(yōu)化問問題在本質(zhì)上屬于連續(xù)變量和離散變量共存的、大規(guī)模的非線性混合整數(shù)規(guī)劃問題。如何有效地處理這些離散變量一直是無功優(yōu)化問題中的一個(gè)難點(diǎn)。典型的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以表示成目前的算法大多為先將其作為連續(xù)變量參與優(yōu)如下形式:化,求得優(yōu)化解后再進(jìn)行簡單的靠攏式取整,對其余(min f(x,u)s.t. h(x,u)=0的連續(xù)變量則用常規(guī)的潮流計(jì)算或優(yōu)化計(jì)算確定。P(1)這不僅會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)上的近似,而且可能導(dǎo)致某些約束Xmin≤x≤xmx條件違限,無法獲得可行解。顯然,這是不恰當(dāng)?shù)摹min≤u≤umx文獻(xiàn)[1]給出了完整的非線性混合整數(shù)無功優(yōu)式中: f(x,u)為目標(biāo)函數(shù),在這里表示系統(tǒng)的有功化模型,用常規(guī)的分支定界法和決策樹法求解,其計(jì)損耗;h(x,u) =0為節(jié)點(diǎn)功率平衡方程;x∈R(°表算量較大。文獻(xiàn)[2]建立了電容器投切的逐次線性示連續(xù)的優(yōu)化變量,由發(fā)電機(jī)無功出力、節(jié)點(diǎn)電壓幅整數(shù)規(guī)劃模型,并提出對偶松弛解法和逐次歸整解值和相角構(gòu)成的列向量;u∈R{9)表示離散優(yōu)化變法。文獻(xiàn)[3]采用二次罰函數(shù)的線性近似建立離散量,由可調(diào)變壓器變比和無功補(bǔ)償電容器的無功出模型,并與牛頓法最優(yōu)潮流求解過程結(jié)合,但必須輔力構(gòu)成。下標(biāo)max、min分別表示相應(yīng)變量的上、下之以一系列規(guī)則及一些人工調(diào)試的參數(shù),影響了其限?？梢?這是一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃問題。實(shí)用性。文獻(xiàn)[4]提出在牛頓法最優(yōu)潮流中用正曲離散變量u的具體表達(dá)式又可以寫成:率二次罰函數(shù)處理離散變量,引人的機(jī)制簡單有效。u,=tStep:+uan (i=1,2.,.-,q)本文提出了一種把電力系統(tǒng)混合整數(shù)無功優(yōu)化式中: 4;表示第i個(gè)離散變量當(dāng)前的檔位(可調(diào)變壓問題轉(zhuǎn)化為-個(gè)等價(jià)的連續(xù)優(yōu)化問題來求解的新算器分:器投切的組數(shù));法。該算法先將無功優(yōu)化問題中的離散變量進(jìn)行二Step:中國煤化工長。我們可以把.4;寫TMYHCNMHG基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(50277013);廣東省自然t;=ya2° +yn2' +..++.2*(i1,2,..,q (3)科學(xué)基金項(xiàng)目(011648)其中: s,=(log_umm) +1,y=0或1,i=1,2,",q，6繼電器j=1,.-,S。<0. 5時(shí),它會(huì)向yk =0的方向收斂;而當(dāng)ya >0.5這樣就把離散變量u;轉(zhuǎn)換成了僅取0或1的時(shí),ya就會(huì)向yu=1的方向收斂。因此幾次迭代之變量y,的組成形式,而每-一個(gè) yu可以用一個(gè)等式約后離散變量u;的取值便被固定下來。這樣的優(yōu)化束y(y-1)=0限制其取值。把所有的u(i=1，結(jié)果往往是陷入了 局部最優(yōu),效果并不令人滿意。2,,q)進(jìn)行這樣的二進(jìn)制編碼后,就會(huì)得到因此,我們提出了逐位確定二進(jìn)制編碼的方法之(S; + 1)個(gè)這樣的等式約束。把它們綜合起來就來解決這個(gè)問題。從式(7)可知,u;被分解成yo,'s,共S.+1個(gè)0/1變量,而2° ,2' ,，2分別表示每一一個(gè)對應(yīng)的y的權(quán)重。可見,權(quán)重最大的y。是一個(gè)新的等式方程之r,(y-1) = 0。最后原對u;的影響也最大,而權(quán)重最小的yx對u;的影響模型P就可以轉(zhuǎn)換為:就相對小很多。因此我們把整個(gè)優(yōu)化過程分步完(min f(x,y)成。先用內(nèi)點(diǎn)法優(yōu)化一遍后確定最高位ys,的值;然s. t.h(x,y) =0后把它固定,對其余的變量重新優(yōu)化一次，確定次高位ysS-11的值;依次類推,最后確定yxo的值。此時(shí)，P2{2r(y,-1) =0(4)臺(tái)向整個(gè)優(yōu)化過程結(jié)束。Xmin≤x≤xmax采用此方法后,把離散變量的取值分成了S; +1Umin≤u≤Uimx i = 1,2,"",q步來確定,每一步都是用內(nèi)點(diǎn)法求得的嚴(yán)格最優(yōu)解。其中，和傳統(tǒng)對離散變量簡單的一-次性四舍五人就近歸整y=[yry,",y,J"(5)相比,可以有效地求得更優(yōu)的解,而且可以避免節(jié)點(diǎn)y-=~yvn."y,.J', (i=1,.",9)(6)電壓越限等不可行情況的出現(xiàn)。完整的計(jì)算步驟如u:=(yo2° +ya2' +... +y.,2*)Step, +Umin (7)下因?yàn)樽罱K的y,是僅取0或1的變量,為了加快1)把離散變量進(jìn)行二進(jìn)制編碼。2)對編碼后的模型P,用非線性原對偶內(nèi)點(diǎn)法算法的收斂性,不妨再引人以下的約束條件:求解。0≤yy≤l3)若計(jì)算收斂則繼續(xù)下一步,否則轉(zhuǎn)到第7)最終得到的優(yōu)化模型如下: .步。4)記錄優(yōu)化結(jié)果及各個(gè)優(yōu)化變量的值。s.t. h(x,y) =05)確定每一個(gè)離散變量u;二進(jìn)制編碼后的最xmin≤x≤xmxUmin≤u;≤U:mx i = 1,2..,q(9)高位變量yis,o令S:=S;-1,把s作為常數(shù)(i=1,2,.,q)。之Eyo(r,-1)=06)若q個(gè)s;中存在非負(fù)數(shù),則轉(zhuǎn)到第2)步,繼續(xù)計(jì)算。0≤yq≤17)優(yōu)化結(jié)果輸出。在模型P,中，所有優(yōu)化變量x,y都是連續(xù)變量,可以用任何一種連續(xù)優(yōu)化方法求解此模型。本3算例文采用具有二階收斂性的直接非線性原對偶內(nèi)點(diǎn)算選擇IEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)作為試驗(yàn)系統(tǒng)。該系法求解該模型,具體的求解步驟和方法可見文獻(xiàn)統(tǒng)包括10個(gè)無功補(bǔ)償點(diǎn)和8臺(tái)可調(diào)變壓器,共18[7,8]。組離散變量。系統(tǒng)基本數(shù)據(jù)如表1所示。2二進(jìn) 制編碼的逐位優(yōu)化采用非線性內(nèi)點(diǎn)法求解優(yōu)化模型P3時(shí),各數(shù)據(jù)均用標(biāo)幺值表示;基準(zhǔn)功率取100 MVA;收斂判據(jù)從上述的討論可知,每個(gè)離散變量u;都被分解為:補(bǔ):中國煤化工偏差小于10~; .成了S;+1個(gè)0/1變量ya,整個(gè)方程變量的數(shù)目增.各變量E值和最小值之和加了。若干個(gè)yu的取值共同決定了1個(gè)離散變量的一半TYHCNMHG'u;的值，這在理論上會(huì)影響算法的收斂效果。為便于比較分析,我們采用了三種優(yōu)化方法:從仿真試驗(yàn)的過程中也發(fā)現(xiàn),當(dāng)二進(jìn)制變量了a① 把離散變量作為連續(xù)變量進(jìn)行優(yōu)化的連續(xù)優(yōu)化黃偉,等混合整數(shù)無功優(yōu)化問題的連續(xù)優(yōu)化方法7方法;②在方法一求得的優(yōu)化結(jié)果基礎(chǔ)上,將離散從表2列出的結(jié)果可以看出,三種方法的離散變量的優(yōu)化值就近歸整,再做一次潮流計(jì)算的傳統(tǒng)變量均在約束范圍之內(nèi)。但是,方法一由于是連續(xù)離散優(yōu)化方法;③本文提出的方法。表2列出了用優(yōu)化的方法,離散變量都沒有歸整;而方法二和方法這三種方法求解IEE18節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的離散變量優(yōu)三中離散變量的歸整 效果都非常好?？梢?用本文化結(jié)果。提出的方法能有效處理無功優(yōu)化中離散變量歸整的表1試驗(yàn)系統(tǒng)的基本數(shù)據(jù)問題。Tab.1 Basic data of the test system對于連續(xù)變量,限于篇幅,這里僅列出部分發(fā)電系統(tǒng)名稱IEEE1I8節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)機(jī)無功出力和節(jié)點(diǎn)電壓的優(yōu)化結(jié)果，如表3所示。節(jié)點(diǎn)數(shù)18可以看出,由于方法二的簡單靠攏式歸整造成支路數(shù)93了部分發(fā)電機(jī)無功出力的越限，如表3中的Qas ;而可調(diào)變壓器數(shù)且部分節(jié)點(diǎn)的電壓也出現(xiàn)了越界的現(xiàn)象,如表3中.并聯(lián)補(bǔ)償電容器數(shù)10發(fā)電機(jī)數(shù)36的Vor和Vpg8。這顯然是不可行的。這一現(xiàn)象在大負(fù)荷數(shù)118規(guī)模的系統(tǒng)中顯得尤為明顯。因?yàn)橄到y(tǒng)規(guī)模越大，離散變量的數(shù)目也越多,此時(shí)用方法二求解也就越表2離散變量優(yōu)化后的值容易出現(xiàn)不等式越限的情況。而方法三的所有節(jié)點(diǎn)Tab.2 Optimum values of discrete variables電壓和發(fā)電機(jī)無功出力都在約束的范圍之內(nèi)。設(shè)備及運(yùn)行限制優(yōu)化結(jié)果.變量下限上限步長方法一方法二方法三另外,還對上述三種方法求得的目標(biāo)函數(shù),也就Ts-8 0.901.10 0.025 1.0058 10000 1.0125是有功網(wǎng)損，作-一個(gè)比較,如表4所示。Tn7_30 0.90 1.10 0.025 1.0115 10000 1.0125表4采用三種方法的網(wǎng)損比較T2s-26 0.901.100.0251.0146 1.0250 1.0125Tab.4 Comparison of active power lossT37-38 0.901.10 0.025 0.9954 1.0000 1.0125by three methodsTs9-63 0.90I.100.025 1.0105 1. 00001.025方法一方法二 方法三T61-64 0.901.10 0.025 0.9987 1.0000 1.0125網(wǎng)損1.1673 1. 15831.1714Tes.66 0.901.10 0.025 1.0381 1.0500 1.0625T8-810.901.10 0.025 1.0949 1. 1000 1.0625可見,方法一由于是連續(xù)優(yōu)化方法,求得的網(wǎng)損Qc19 0.00 5.00 0.050 0.378 0.400 0. 400相對比較小，只有1. 1673。而考慮了變量的離散特:Qao 0.00 5.000.050 0.020 0.000 0.050性之后,網(wǎng)損必然會(huì)有所增大。用方法三求得的網(wǎng)Qa1 0.00 5.00 0.050 0.123 0. 1000. 150損為1.1714,比連續(xù)優(yōu)化的結(jié)果大了0. 0041。另0.050 0.0920.100 0.050外,方法二求得的網(wǎng)損甚至比方法- -的結(jié)果還要小，Qcu 0.00 5.000.050 0.004 0.000 0.000那是因?yàn)榇藭r(shí)已有某些變量越限,這是一個(gè)不可行5.000.100 0.000360.00 5.000.050 0.048 0.050 0.000的結(jié)果。Qcn 0.00 5.000.050 0.674 0.650 0. 800從以上的分析可見,本文提出的方法能夠正確、Qca 0.00 5.00 .0.050 0.055 0.050 0.000有效地處理含有離散變量的混合整數(shù)無功優(yōu)化問_Qa6 0.00 5.000.050 0.6701 0.650 0. 800題。表3部分連續(xù)變量優(yōu)化的值4結(jié)論Tab. 3 Optimum values of the selected continuous variables連續(xù)二運(yùn)行限制二針對電力系統(tǒng)無功優(yōu)化中離散變量和連續(xù)變量變量下限上限方法方法二_ 方法三共存的問題,本文提出了一種求解混合整數(shù)規(guī)劃的Qcu -0.50 1. 30-0.054-0.054 -0. 2204連續(xù)優(yōu)化方法。通過對離散變量進(jìn)行二進(jìn)制編碼,las -0.50 1.30 ，-0.05-0.8718 -0.4796把每個(gè)離散變量表示成若干個(gè)在0、1之間取值的連Qc2 -0.50 1.30 1. 02841.2795-0.5000VDr7 0.95 1.05 1.04291.05271.0432續(xù)變中國煤化工功優(yōu)化模型來求解。變量的權(quán)重系數(shù)Vos 0.951.05 1. 05001.0511.0500THCNMHGVom 0.90 1.10 1. 0536I .0536 1.0534逐步確疋離取文重時(shí)取值,大現(xiàn)」離散變量在優(yōu)化Voo 0.951.05 1.0404 ..0404過程中的逐次歸整。Vos1 0.951.05 1. 02051. 0204 1. 0189通過對IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的計(jì)算分析,該算法8繼電器相對傳統(tǒng)的離散無功規(guī)劃模型,能夠更為有效和準(zhǔn)數(shù)規(guī)劃非線性罰函數(shù)方法[J].控制與決策，2002, 17確地求解大規(guī)模混合整數(shù)無功優(yōu)化問題。且當(dāng)采用(3) :310-314.非線性原對偶內(nèi)點(diǎn)法求解該模型時(shí),其計(jì)算精度及MENG Zhi-qing, HU Qi-ying, YANG Xiao-qi. A Methodof Non-linear Penalty Function for Solving Integer Pro-收斂性都比較好。granming and Mixed Integer Programming [J]. Control參考文獻(xiàn):and Decision, 2002, 17(3) :310-314.[6] SantosJ R, Lora A T, Exposito A G. Finding Improved[1] 李乃湖.計(jì)及整型控制變量的電壓.無功功率優(yōu)化Local Minima of Power System Opimization Problems by[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化, 1994, 18(12):5-11.Interior- point Methods [J]. IEEE Trans on Power Sys-LI Nai-hu. Opimal Voltage-reactive Control with Discretetems, 2003,18(1): 238-244.Variables [J]. Automation of Electric Power Systems,[7] Wei H, Sasaki H, Kubokawa J, et al. An Interior Point1994, 18(12):5-11.Nonlinear Programming for Optimal Power Flow Problems[2] 鄧佑滿,張伯明,相年德配電網(wǎng)絡(luò)電容器實(shí)時(shí)優(yōu)化投with a Novel Data Structure[J]. IEEE Trans on Power切的逐次線性整數(shù)規(guī)劃法[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，Systems, 1998, 13(3): 870-877.1995, 15(6) : 375-382.[8]劉明波 ,程瑩,林聲宏.求解無功優(yōu)化的內(nèi)點(diǎn)線性和內(nèi)DENG You-man, ZHANG Bo-ming， XIANG Nian-de. 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Automation of劉明波(1964-),男,教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向Eletric Power Systems, 199 ,23(23): 37-40.[5]孟志青 ,胡奇英,楊曉琪.一種求解整數(shù)規(guī)劃與混合整為電力系統(tǒng)優(yōu)化計(jì)算與穩(wěn)定性分析及電力市場。A continuous optimization algorithm for mixed integer reactive-power optimizationHUANG Wei, LIU Ming-bo( Electric Power College , South China University of Technology , Guangzhou 510640 ,China)Abstract: This paper converts all discrete variables into combination of several continuous variables between0 and1 by means of bi-nary encoding technology , and hence the mixed integer reactive-power optimization problem with discrete variables is transformed into aequivalent continuous optimization problem, which can be efectively solved by nonlinear primal-dual iteror-point algorithm. Accordingto weight coffcient of binary variable,discrete variables can be gradually detemined in optimizaion process , and their discreizationcan be realized during iteration sccessively. Furthermore , the numerical example of IEEE 118-bus system is employed to validate cor-rectness and efectiveness of the proposed algorithm , and the result based on this algorithm is compared with that based on conventionaldiscretization algorithm.This prjet is spprted by National Natural Science Founation of Chinal中國煤化工r See Foundetion of Guangdong Province (No. 011648).Key words: reactive power optimization; mixed integer programming;fHCNMHG_point algorithm