數(shù)學分析測試分析陸競(杭州師范學院數(shù)學系，浙江杭州310012)摘要:高校擴大招生后,數(shù)學專業(yè)基礎課的教學大綱是否要作修改已經(jīng)是業(yè)內人士所關注的課題。華東師大與杭州師范學院等高校承擔了教育部高教司(世行貸款21世紀初高等理工科教育教學改革》項目課題的研究。為此對在校生進行了一系列數(shù)學分析課程的測試。本文對其中一次測試結果作了詳細分析,從中可以了解到當前數(shù)學專業(yè)學生的學習現(xiàn)狀,對教師的教學工作有-定的借鑒作用。關鍵詞:數(shù)學分析;測試中圈分類號:C424.74文獻標識碼:A文章編號:1008 - 4894(2005)02 - 0099- 04數(shù)學分析始終是數(shù)學專業(yè)的最重要的基礎課經(jīng)過精心設計,不涉及一般的運算能力、技巧和模仿程，數(shù)學分析的教學水平在很大程度上代表了數(shù)學性的證明,只需要思考,辨別和判斷,再加上測試是基礎課程的教學水平。杭州師范學院數(shù)學系早在在整個課程學完后進行的，所有的知識點都應該已1994年即對該課程進行重點建設,并于當年在省教經(jīng)被測試對象掌握。測試前也不作任何復習,訓練育廳組織的專家組驗收評估會上以優(yōu)秀的等次獲得和提示工作。總之，是在沒有任何事先準備的情況通過。按照課程建設所制定的大綱以及一整套教學下進行的。因此，測試的結果很說明學生掌握的程規(guī)范,在以后幾年的教學實踐中,取得了預期的較為度。下面對第二次測試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計作簡單的分析和滿意的效果。近年來,隨著招生規(guī)模的日益擴大,新說明。本套統(tǒng)考題總分100分,有極限理論、微積設專業(yè)的不斷增加,報考數(shù)學專業(yè)考生的基本情況分、級數(shù)理論。發(fā)生了一-定的變化,這在各層次的高校數(shù)學專業(yè)的教師,都有較深的感受,教學中也有明顯的反映。數(shù)1試題學分析的教學是沿襲原有的教學大綱和規(guī)范,還是針對當前的實際作適當改革,是我們回避不了的現(xiàn)(1)計算. lim(1+)".(8)實問題,而且這類問題也已引起了有關部門的關注，(2)設y = arccos√1- x,求y'. (8')由華東師大主持的,有杭州師范學院等參加的教育(3)求不定積分In xdx. (8')部高教司《21世紀初高等理工科教育教學改革》項目,將對此作出客觀的評價。課題組工作的重要- -(4)求冪級數(shù)2 nx"-1的收斂半徑和收斂區(qū)域,環(huán),是檢測數(shù)學分析的教學水平。為此,課題組決并用初等函數(shù)表示它的和函數(shù). (8' )定,對整個數(shù)學分析課程的內容進行三次不同側重,(5)設z = arctan(x - y)*,求dz. (8')不同形式的數(shù)學分析水平測試。每次測試在幾個高校同時進行。杭州師范學院選擇剛進人第五學期學(6)求二重積分ffe+, ded ,其中D= |(x.,y)習的數(shù)學專業(yè)85位學生作為試驗樣本。由于試題≤1}. (8')收稿日期:2004- 12-03xdydz + ydzdx + zdxdy基金項目:教育部高教司《世行貸款21世紀初高等理工科教育.中國煤化工教學改革》項目課題(No.1282B01011)其中.FYHCNMHG的內側. (8')作者簡介:陸競(1958-),男 ,浙江杭州人,副教授。(8)下面是某人寫的一段證明:99“因為limxn = xo,所以Ve > 0,3N,當n >教學建議:加強導數(shù)運算的訓練,增加求導計N,就有1x-xo1 N時,都有xn= xo.”(3)求不定積分|n xdx. (8')上述證明和結論是否正確,請說明理由。(8')測試評估:本題滿分8分,從平均分7.7分看，(9)設函數(shù)f(x)在[a,b]上無界.證明:在[a,情況算是很可以的了。這是使用分部積分求原函數(shù)b]中必存在點xo,使f(x)在xo的任意鄰域內都無的典型例子。說明學生對應該用分部積分求原函數(shù)界. (8')的最基本的類型掌握得還是比較好的,但遺忘積分(10)設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上常數(shù)的現(xiàn)象還有發(fā)生。可導,且f(a) = f(b).證明:若f(x)在[a,b]上不教學建議:增加求不定積分的習題計算量,應是常數(shù)函數(shù),則存在x1,xz∈[a,b],使f(x1) <0,強調不定積分理論,杜絕遺漏積分常數(shù)現(xiàn)象.f(x2) > 0. (8')(4)求冪級數(shù)2 nx"-1的收斂半徑和收斂區(qū)域，(11)設F(x) =| f(t)dt. 請問,在什么條件并用初等函數(shù)表示它的和函數(shù)。(8' )下,有F"(x) = f(x)?說明理由. (10)測試評估:本題滿分8分,其實只要在高等數(shù)學(12)試給出一個在(0,1)上連續(xù)有界,但非一中學過冪級數(shù)的有關知識,那么求收斂半徑和收斂致連續(xù)的函數(shù)的例子.要求說明理由. (10')區(qū)間都是輕而易舉的,因為涉及的極限的計算以及可以看出測試著重于了解學生對基本概念基本在端點處的數(shù)項級數(shù)的斂散性都是顯而易見的。理論及方法的掌握程度。共有85名學生參加。這次教學建議:加強冪級數(shù)概念的教學,要求學生測試反映數(shù)學分析教學中的不少問題,一些學生基必須掌握冪級數(shù)收斂半徑的求法,能利用冪級數(shù)逐本功不扎實,既不理解抽象的數(shù)學概念,又不會做簡項求導與逐項求積解決部分問題。單的計算題。這里有一些客觀上的原因:有的認為測(5)設z = arctan(x- y)*,求dz. (8') .試與自己切身利益無關;有的抱怨沒有給出復習時測試評估:本題滿分8分,考查多元函數(shù)的微間等。對此,必須認真思考仔細分析才能找出原因,分,本質是求兩個偏導數(shù)。由于對底與指數(shù)均是變量進而把數(shù)學分析的教學工作做好。因而于測試結束的函數(shù)的求導本來就掌握得不盡如人意,現(xiàn)在又是后,對結果進行統(tǒng)計和分析,提出了對問題產(chǎn)生的看多元,又是復合,又是微分,有些人難免就犯糊涂了。法,給出了教學建議。教師在多元部分的教學中,可能對求導會重視不夠，也應引起主意。2卷面分析教學建議:加強多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分的每題得分情況見表1,具體分析如下:教學,增加這方面的作業(yè)量。(1)計算lim(1+ 2)". (8)(6)求二重積分e2++ dxdy,其中D= {(x,y)測試評估:本題滿分8分,考察對重要極限的掌1 x2+ y≤1}. (8')握情況。所有參加測試者都給出了正確結果,說明最測試評估:本題滿分8分,考查用極坐標變換求基本的極限還是掌握得可以的。二重積分的最基本的例子。因為所有參加測試的學(2)設y = arccos√1- x2,求y'. (8')生都給出了正確結果,有理由相信,對這類問題學生測試評估:本題滿分8分,考查學生對復合函數(shù)掌握的是較好的。求導的掌握程度。應該說函數(shù)并不復雜,然而結果卻教學建議:從結果看,學生對極坐標變換掌握出乎意料之外。有的連y = arccosu 的導數(shù)公式也忘得較好,這與教學中對這部分內容的正確處理有關，了,還有些鏈式法則已淡忘。至于結果不加絕對值符應繼續(xù)收共百告的戴出中國煤化工號更是不在少數(shù)。這么基本的考題都做的不理想,當然會影響不定積分,多元微分的學習。打好基礎的重THCNMHGJ|xdydz + ydzdx +要性由此可見一班。zdxdy,其中s為球面x2+ y2+ z2= 1的內側. (8')100●測試評估:本題滿分8分,只要還記得高斯公生干脆空著。其實只要把幾何直觀與中值定理結合式,同時注意到側的概念,那么拿到8分沒有問題。起來就不難得到結果。得分如此之低的原因與其說之所以有差不多- - 半的學生為0分,當然是因為他是Lagrange中值定理掌握得不夠深人,倒不如說是們已經(jīng)不知道高斯公式為何物了。現(xiàn)在的學生已習導數(shù)的幾何意義沒有真正掌握。教學建議:加強微分中值定理和判別函數(shù)單調慣于考前聽有關的復習課，而按要求,本次測試之前不復習,不劃范圍,所以出現(xiàn)這種情況也是情理之性法則的教學。中的。(11)設F(x)= [f(t)du. 請問,在什么條件教學建議:加深第二類曲面積分的教學和用高下,有F"(x) = f(x)?說明理由。(10)斯公式計算第二類曲面積分的訓練,強調第二類曲測試評估:本題滿分10分，微積分基本定理說，面積分與曲面所選的側向有關。(8)下面是某人寫的一段證明:f(x)連續(xù),則F'(x)= f(x)。既然是基本定理,應該“因為limx.= xo,所以Vε > 0,3N,當n >很好掌握,現(xiàn)實情況卻不容樂觀,得5分的學生是因為沒有說明理由。看來教學中對最基本的理論問題N,就有1x。-xo1<ε,由ε的任意性,可得x= xo.還要加強。因此,當n > N時,都有xn= xo.”"教學建議:加強微積分基本定理的教學,教學上述證明和結論是否正確,請說明理由。(8')中要求學生重視積分與求導互為逆運算的條件。測試評估:本題滿分8分,利用e的任意性說明(12)試給出一個在(0,1)上連續(xù)有界,但非一某些量是無窮小量或者是0,在數(shù)學分析中是經(jīng)常致連續(xù)的函數(shù)的例子.要求說明理由。(10)見到的。得4分的學生或者知道這個說法是錯誤的，測試評估: 本題滿分10分,只有少數(shù)幾個學生.但就是不能正確地表述，或者只能舉一個反例說明給出了正確的例子并進行證明..對-部分學生而之。這反映了學生學習中有不求甚解的作風,這是學言,一致連續(xù)本就比較難懂,非一致連續(xù)并且有界就習的大忌。更頭疼了。象這類比較體現(xiàn)學生程度的考題,大致上教學建議:加強極限的ε - N和e - 8理解的準就是這個水準,我們應該有一個切合實際的估計,在確性教學。(9)設函數(shù)f(x)在[a,b]上無界。證明:在[a，教學中才能把好尺度,不至于對學生作出出乎他們能力之外的要求。b]中必存在點xo,使f(x)在知的任意鄰域內都無教學建議:加強函數(shù)的一致連續(xù)性的教學,著界。(8')測試評估:本題滿分8分,可以說是全軍覆沒。重講透函數(shù)一致連續(xù)的實質。 由于函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學分析教學難點之一,建議采用電子教學等實數(shù)理論本就是學生們的軟肋,他們可以熟練背誦輔助方法,加深學生的直觀認識。W eierstrass聚,點原理和Borel有限覆蓋定理。但很少能在具體問題中成功使用.這種現(xiàn)象不是孤立的,其總體評價實質還是沒有真正鉆進去再走出來。較好掌握基本概念和方法并能以之解題的學生教學建議:加強函數(shù)有界性與有限覆蓋定理的可以說少之又少,只能說教學要求基本能達到,但效教學強度。有限覆蓋定理的教學是數(shù)學分析的難點果不能令人滿意。出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，-是部分學生數(shù)之一,力求使盡可能多的學生能用它解決比較簡單學分析的知識本就掌握得不夠扎實，加之隨著時間的有關問題。的推移,數(shù)學分析的許多概念已逐漸淡忘。再因為考(10)設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上前不劃范圍,不組織復習,對于巳習慣于考前突擊的可導,且f(a)= f(b).證明:若f(x)在[a,b]上不學生,更加感到不適應。這樣的學習方法肯定是不對是常數(shù)函數(shù),則存在劃1xz∈[a,b],使f(x) <0，頭的。 至少學習不是為了應付考試,應付考試的學習f(x2) >0. (8')不會中國煤化工到底有一個學風問測試評估:本題滿分8分,只是Lagrange中值定題,學YHCNMHG概念理論方法是理的簡單應用.盡管有相當?shù)膶W生從感覺出發(fā),使用不成問題的。.了Lagange中值定理。然而都不得要領,還有很多學101●表1得分統(tǒng)計表題號分值分布及人數(shù)平均得分(1)得分88’人數(shù)8:(2)62’5.5'30216(3)8'7.7'8C(4)6’5'3'-2' .0’32121746.1'(5)3'-2'2801:4.2'(6)85(7)0'3.9'384((8)104.8'(9)0.1'(10)(11)14433.3'(12)731.3'70-7960- 6950- 5940- 4930- 39總評261353.0土10.8百分率2.3%34 .9%30.2%16.3%Analyzing on the results of testing on mathematical analysisLu Jing( Deparment of Mathematics，Hangzhou Teachers College, Hangzhou, hejiang310012, China)Abstract: Since the number of recruiting students of higher education expended, whether it is necessary to modify the teaching syllabus of thebasic mathematical courses or not has been the topic of the specialists on mathematical teaching . The East China Teacher' s University and theHangzhou Teacher' s College now are undertaking the tasks set by the National Education Bureau to carry out a study on the project named as"The 21 century teaching reform on elementary and higher science and engineering subject education founded by the World Bank" . In doingso, we have been taking a series of tests in the mathematical analysis course on the university and college students. In this paper we just ana-lyze one testing results in detail B0 that we can know the real studying situation about the university and college students, which may be usefulto the university and college teachers in their teaching practice.中國煤化工Key words: mathematical analysis; testing .YHCNMHG