小型微型計算機系統(tǒng)2007年4月第4期Journal of Chinese Computer SystemsVol. 28 No.4 2007可求解多目標優(yōu)化問題的演化博弈優(yōu)化算法徐敏，張敏，王煦法(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)系,安徽合肥230027)E-mail:minny@mail. ustc. edu. cn摘要:借鑒演化博弈的思怒和選擇機制,提出了一種新的基于演化博弈的優(yōu)化算法(EGOA)用于多目標問題的求解.算法框架具備對該類問題的通用性.為了對算法性能進行評估,采用了一組多目標優(yōu)化問題(MOPs)的測試函數(shù)進行實驗.實驗結(jié)果表明,使用本算法搜索得到的演化穩(wěn)定策略集合能夠很好地逼近多目標優(yōu)化問題的帕累托前沿，與一些經(jīng)典的演化算法相比具有良好的問題求解能力.關(guān)鍵詞:多目標優(yōu)化問題;演化博弈理論;復(fù)制者動態(tài);演化算法中圖分類號: TP18文獻標識碼:A文章編號:1000-1220(2007)04-0640-05Evolutionary Game Based Optimization Algorithm for Multi objective Optimization ProblemsXU Min, ZHANG Min, WANG Xu-fa(Department of Computer Science & Technology, University of Science & Technology of China, Hefei 230027, China)Abstract:Used the idea and the selection mechanism called replicator dynamics of evolutionary game theory for reference, andproposed an evolutionary game based optimization algorithm (EGOA) to solve multiobjective optimization problems (MOPs).The frame of algorithm has universal character for MOPs. To evaluate the newly designed approach, solved a group of testfunctions. The experiment results showed that the evolutionary stable strategy (ESS) set searched by EGOA is very close tothe Pareto front of MOPs. Compared with some classic evolutionary algorithm, has a good ability of problem solving.Key words :multiobjective optimization problem; evolutionary game theory; replicator dynamics; evolutionary algorithm1引言個目標函數(shù)的向量函數(shù)f.形式化描述如下:min/max:y= f(x)= (f,(x),f2(x),.,fm(x)) (1)演化博弈理論是博弈論的-一個分支,它在假定演化的變這里x= (x,.x.)∈X,y= (yre...yn∈Y.化是由群體內(nèi)的自然選擇引起的基礎(chǔ)上,通過具有頻率依賴x為決策向量,y為目標向量. X稱作決策變量空間,Y為目效應(yīng)的選擇行為進行演化以搜索演化穩(wěn)定策略凹,并研究該標空間.演化過程.這里的選擇行為一般使用稱為"復(fù)制者動態(tài)"的方多目標優(yōu)化問題存在一個解集合,集合中的決策向量無去法在任何一個維度上進一步優(yōu)化,我們稱該集合為多目標優(yōu)多目標優(yōu)化問題是近年來演化計算領(lǐng)域研究的熱點之化問題的帕累托(Pareto)最優(yōu)集合.帕累托最優(yōu)集合的數(shù)學(xué)-.,研究者發(fā)展了-些演化算法用于多目標問題的求解,Zit-表達如下:不妨假設(shè)一個最大化問題有兩個決策變量a,b∈zler的文章[5]中給出了一些典型算法的詳細比較.值得- -提x.當且僅當(2)式成立時我們稱a支配(dominate)b,記作a的是,有研究者提出了一種基于演化博弈理論的協(xié)同進化算>b:法來解多目標優(yōu)化問題回。該算法巧妙地結(jié)合了演化博弈理Vi∈{1,2...n}:f,(a)≥ f;(6) ^論和協(xié)同演化算法,實驗結(jié)果說明其具有良好的性能.但是文3 j∈{1,2... ,m)}:f;(a)> f;(b)(2)章中給出的算法框架并不具有良好的通用性,只能用于兩目進- -步地,當且僅當a>b或者f(a)=f(b)時,我們稱a標優(yōu)化問題的求解.本文提出了一種新的基于演化博弈的演覆蓋(cover)b,記作aZb.整個搜索空間中所有互相無法支配化算法(EGOA),具有良好的通用性,并針對多目標優(yōu)化問題的決策向量組成帕累托最優(yōu)集合(或稱作帕累托最優(yōu)前沿，的求解給出了實驗結(jié)果和分析.Pareto -optimal front). .2.2求解多目標優(yōu)化問題的經(jīng)典演化算法2多目標優(yōu)化問題演化算法具有對多目標優(yōu)化向題求解的優(yōu)勢.早在19672.1定義年,R中國煤化工到使用遺傳算法求解多多目標優(yōu)化問題可以表示為一個將n個變量映射m到目標基于向量評估的VEGA:MYHCNMHG收稿日期:2006-01-06基金項 目;國家自然基金委員會海外青年學(xué)者合作研究基金(60428202)資助，作者簡介:徐 敏,女.1980 年出生,博士.研究方向為計算智能,基于主體的計算經(jīng)濟學(xué).4期徐敏等:可求解多 目標優(yōu)化問題的演化博弈優(yōu)化算法641算法,這是第一個多目標演化算法,但其本質(zhì)仍是加權(quán)方個條件之- - :法[0,且在搜索中會對某些個體或區(qū)域產(chǎn)生偏向,進而影響(1) F(s,s)>F(s' ,s)解的分布性.另一種非Pareto方法是Hajela和Lin提出的(2) F(s,s)=F(s' ,s), and F(Ss+s' )>F(s' ,s')。HLGA05,其對每個目標設(shè)置權(quán)重,通過目標加權(quán)計算個體而復(fù)制者動態(tài)的概念體現(xiàn)了優(yōu)勝劣汰的觀點，即使用某的適應(yīng)度,雖然權(quán)重也參與進化,但仍不適合對解集的搜一策略的人數(shù)的增長率與使用該策略得到的支付正相關(guān),具索[5].在Pareto方法研究領(lǐng)域，F(xiàn)onseca和Fleming提出了體表現(xiàn)為特定策略在一個群體中被采用的頻度的動態(tài)微分方MOGA算法00), Horn和Nafpliotis提出了NPGA算法[2),程.有結(jié)論:ESS總是一一個純策略復(fù)制者動態(tài)的漸進穩(wěn)定點Srinivas 和Deb也提出了NSGA算法([13. MOGA執(zhí)行相對容3.2算法框架及描述易且效率高,缺點是易受小生境大小影響;NPGA采用聯(lián)賽在EGOA中,每個個體記錄-一個決策向量.而群體中同法選擇個體,但聯(lián)賽群體的規(guī)模難以確定;NSGA根據(jù)Pareto時存在m個不同的種群,每個種群表示一個個體集合,將種支配關(guān)系對群體進行分層,并引進基于決策向量的共賞函數(shù)群i記作X. X.滿足X:UX:..UXm=X,并且X∩X;=法,其中優(yōu)化目標個數(shù)無限制且非劣最優(yōu)解分布均勻,但計算φ,i,j∈<1,2,.. ,m}.個體在記錄決策向盤的同時,還記錄一復(fù)雜度較高.2002年,Deb和Pratap提出了NSA-104,該個信息標記著個體所屬的種群.方法降低了計算復(fù)雜度,并引入了精英保留策略,同時利用排X;以f;為優(yōu)化目標.我們的算法借鑒了演化博弈的思想擠距離避免了共賞參數(shù)的設(shè)置1999年,Zitzler和Thiele首和選擇機制.群體中廣泛存在資源競爭行為,當兩個個體相遇次提出了采用精英保留策略的多目標優(yōu)化進化算法時,它們?yōu)榱送?份資源進行博弈.設(shè)最大化多目標優(yōu)化問題SPEA[5,利用外部群體保存進化中發(fā)現(xiàn)的非劣解,并通過支中個體x(x∈X;)與x' (x'∈X)進行博弈紅得到的效用(或配關(guān)系設(shè)置適應(yīng)度函數(shù),但維護外部群體的復(fù)雜度高且在保稱作支付)如(3)式所示.(f,(x) - min,留非劣解集的邊界上存在問題.為此,Zitzler等提出了max; - min,i=jSPEA-II算法[I5],較好地解決了SPEA中的問題.在非群體U(x)=(3)搜索研究方面,Knowles和Corne提出了- -種類似(1+1)-ES1 (f,(x) = f,(x'》)一(min, 二max)i≠j(max;一min;) - (min; 一max;)的進化策略的多目標進化算法PAESLIlo,只采用一個親本和.其中,min; = min(f)表示群體中最小的f;值,max;= max一個子代個體,并維護-一個非劣解檔案.此外,還有一- 些基于(f)則為群體中最大的f, 值. (3)式表示的效用函數(shù)是針對決策者預(yù)期目標的目標向盤方法[,如目標規(guī)劃,目標實現(xiàn)最大化問題的,而當問題為最小化多目標優(yōu)化問題時,效用函及最小最大方法等,其計算效率高,但各優(yōu)化指標的預(yù)期目標數(shù)需要一些調(diào)整.見(4)式.難以確定,且對非凸搜索空間不適用.f,(x)一min;也有研究者提出了--些協(xié)同演化算法用于多目標優(yōu)化問max; 一min;題的求解.如:Lohn提出了協(xié)同遺傳算法CGA用于求解_(f.(x)- f,(x'))- (min, = max)i≠j4)MOPs,并將其與一些演化算法的性能作了比較[1]. Sim提出(max; - min;) 一(min; 一max;)了一種基于演化博弈理論的協(xié)同演化算法GCEA0.該算法在min,=max;并且min;=maxj時,也即群體中所有個中,參與者通過與對手陣營的個體進行博弈來優(yōu)化它們自己體的f,值均相等并且f;值也相等時,(3)和(4)式中的分母的目標函數(shù).為0.這樣的特殊情況下,我們令U(x)=1在演化算法的每-一代,隨機挑選成對的個體進行若干次3演化博弈 優(yōu)化算法重復(fù)博弈.當所有博弈完成之后,由個體x參與的N次博弈所得到的平均效用決定個體x的基本適應(yīng)度,見(5)式.其中, .3.1演化博弈理論在演化博弈中,每個參與者都是隨機地從群體中抽取并BF(x)表示x的基本適應(yīng)度.進行重復(fù)，匿名的博弈.它假設(shè)博弈的參與者只具有有限的理BF(x)= 100x Ux)(5)性.演化博弈理論最早源于生態(tài)學(xué)家對動植物的沖突和合作為了使群體中各個種群在每一代中的分布穩(wěn)定不變,我行為的博弈分析.Smith和Price提出演化穩(wěn)定策略(ESS)的們還需要對基本適應(yīng)度作一個修正,得到個體的適應(yīng)度,修正概念標志演化博弈論的正式誕生.而Taylor和Jonker首公式如(6)式所示.其中,F(x)表示x的適應(yīng)度.次提出復(fù)制者動態(tài)(RD)這一基本概念凹,標志著演化博弈論2 BF(x' ).p,的又一次突破性發(fā)展. ESS和RD構(gòu)成演化博弈理論最核心2 BF(x' ). BF(x)(6)的一對基本概念,它們分別表征演化博弈的穩(wěn)定狀態(tài)和向這種穩(wěn)定狀態(tài)的動態(tài)收斂過程.中國煤化工* X的概率.由(6)式可演化穩(wěn)定策略定義為:“如果群體中所有的成員都采取這得::MYHCNMHG1用輪盤賭選擇,X中的種策略,那么在自然選擇的影響下,將沒有突變策略可以侵犯個體這個群體”.記F(s,s' )為當對手策略為s'時采取策略s獲得在生成下一-代的過程中,子個體除了從父個體處繼承策的效用.根據(jù)推導(dǎo)叫可得:一個策略s是ESS必須滿足以下兩略信 息之外,還需要繼承父個體的種群信息.如果兩個父個體642小型微型計算機系統(tǒng)2007年均屬于x,則孩子個體也屬于X,如果父個體一個屬于X,步驟2.隨機挑選成對個體進行博弈,按照(3),(4)式計另一個屬于X;,則孩子個體有50%的概率屬于X,50%的概算個體所得效用. .率屬于X,假設(shè)第t代群體中個體屬于X;的概率為p;,我們步驟3.重復(fù)步驟2直至博弈次數(shù)達到重復(fù)博弈最大次有2p:=1,則在t+1代,個體屬于X;的概率為:數(shù).步驟4.根據(jù)(5) ,(6)式計算每個個體的適應(yīng)度值.p',=pi+ t(2pp)=p>Sp=p(7)步驟5.根據(jù)個體適應(yīng)度用輪盤賭選擇生成下一代.由歸納法可知,該演化方案能夠保證群體中各個種群的步驟6.重復(fù)步驟2-5直到整個群體到達ESS或達到最分布穩(wěn)定.我們的算法描述如下,流程圖見圖1.大演化代數(shù).4實驗結(jié)果及分析隨機初始化群體[結(jié)果 輸出結(jié)果4.1 測試函數(shù)初始化群體數(shù)據(jù):否達到ESS7SumU+=;X.n++;本文采取Zitzler給出的0幾組多目標優(yōu)化問題的測試函數(shù)來進行算法測試.這里,每組測試函數(shù)的結(jié)構(gòu)類似,由三排選成對個體進行博弈|生成下x.SumU+=U(x);x.N++; I個函數(shù)構(gòu)成: fi,g,h.優(yōu)化目標為最小化f(x) = (f:(x)，fz(x)).其中,工由n個決策變量組成,函數(shù)fi是僅與第-個查達到重復(fù)博弈最大團數(shù)些葉選金倒決策變量相關(guān)的函數(shù),g函數(shù)與剩余的n-1個變量相關(guān),h是fi和g的函數(shù).并且:圖1 EGOA 算法流程圖f,(x) = g(.,",n) .h(f,(x),g(...") .(8)Fig.1 Flow chart of EGOA這里,x= (z1,.. ,x) .測試函數(shù)如表1所示.步驟1.隨機生成初始群體.表1測試函數(shù)集Table 1 Test functionsTF f(x)g(x2:,中,n)h(fi.g)n_工Ti到z30 x;∈[0,1]1+9.Tz工30 z;∈[0,1]Ts石30 x∈[0,1}唇(4 )n(0<())1+ 10(n-1)+xn∈[0.1]x..,T.工E(x-10cos(rx;))1~醫(yī)30 2xn∈[-5,5]Zo(u(z), .xn∈{0,1)0Ts 1+u(x)，0v(u(x))=11 x,*,x.∈u(xu) :位向量劃中1的個數(shù)F(2+u(x,)if u(x;)<5{0,1}*1if u(x)=5T。1-exp(-4x1 )sin'(6rx)1+9. ()a.2510 x;∈[0,1]這些測試函數(shù)中,T,具有凸的帕累托最優(yōu)前沿,而Tz的托前沿上的.其次,越靠近它的帕累托前沿,解的密度就越小.是非凸的.T:具有一定的離散特性,它的帕累托最優(yōu)前沿由4.2演化穩(wěn)定策略集合及分析幾段不連續(xù)的凸曲線組成T,具有21°個局部帕累托最優(yōu)中國煤化工.對以上6個測試函數(shù)進解,可用來驗證演化算法處理多峰性函數(shù)的性能. Ts具有一行計天驗均重復(fù)200次.參數(shù)定的欺騙性,與其他幾個測試函數(shù)不同,Ts中的xi為一個二設(shè)置MHCN MH G.率為0.01.除了T。和進制位串.由于目標空間的不均勻性,測試函數(shù)Ts的求解有Ts之外,其余四組的群體大小為100,最大運行代數(shù)為500.兩點困難之處.首先，它的帕累托最優(yōu)解不是-致分布在帕累這些參數(shù)與Zitzler使用的參數(shù)相同.重復(fù)博弈次數(shù)為群體大4期徐敏等:可求解多 目標優(yōu)化問題的演化博弈優(yōu)化算法643小的10倍.T,和Ts的群體大小為500,最大運行代數(shù)為為了直觀地比較本文算法與-些經(jīng)典演化算法的性能，1000.這里我們引用了- -些文獻中的實驗結(jié)果.圖8為Zitzler使用8種不同的演化算法對這-系列測試函數(shù)進行計算得到的結(jié)4f果[5].圖中從左到右依次為T,T2,T。(第-一排),T,Ts,7。(第二排)的實驗結(jié)果.4' o 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 t“ 0 0102030.4050.60.70.80.9 十C2.5圖2用EGOA計算出的圖3用EGOA計算出的函數(shù)T的ESS集合函數(shù)T:的ESS集合Fig.2 ESSset of Ti searched Fig. 3 ESS set of Tr searched051015202530°0 0.10.20.30.40.50.6 0.7 0.809by EGOAfl圖6用EGOA計算出的圖7用EGOA計算出的函數(shù)Ts的ESS集合函數(shù)T。的ESS集合4tFig.6 ESS set of Ts searched Fig.7 ESS set of Ts searched:2C 2.將我們計算得到的ESS集合與之比較可以看到,使用本算法搜索得到的演化穩(wěn)定策路集合基本上能夠很好地通近多目標優(yōu)化問題的帕累托前沿.在原文獻中,沒有-一個算法能夠o 0.10.2 0.30.4050.6070.809 0.30.40.30.60.70.80.91有效逼近問題T.的帕累托最優(yōu)前沿,同時在Ts的解的搜索上也有-些困難.我們使用EGOA在相同參數(shù)條件下進行實驗時得到類似的結(jié)果,但是在增大了群體大小和最大運行代圖4用EGOA計算出的圖5用EGOA計算出的數(shù)之后,可以看到EGOA成功地得到了和T。的帕累托最優(yōu)前沿相符合的ESS集合.并且大部分T。的ESS集合中大部Fig.4 ESS set of Ts searched Fig.5 ESS Set of Ts searched分的點都落在帕累托最優(yōu)前沿上.Tr,0.204_0.60.8 106020.40.60.800.20.40.60.8f1T,8樓f2f2400.20.40.60.8行051012025300.3 0.4 0.5 0.60.7 0.80.9 1圖8用8種不同的演化算法搜索得到的中國煤化工Fig. 8 Pareto fronts of T--Ts searche:fHCNMHG4.3種群在群體中 所占比例對演化穩(wěn)定策略的影響概率.事實上,在我們的算法中,最終達到的演化穩(wěn)定策略在.在上述試驗中,我們隨機給定各個種群在群體中的分布很大程度上與初始的種群分布是相關(guān)的.我們針對種群在群644小型微型計算機系統(tǒng)2007年體中所占比例對演化穩(wěn)定策略的影響做了實驗,結(jié)果如圖9 References:所示.試驗的測試函數(shù)為T1,參數(shù)與4. 2小節(jié)中的實驗參數(shù)- - [ 1 ] Maynard Smith J, Price G R. Evolution and the theory of gamesM]. Cambridge University Press, 1982.致.圖9中橫坐標表示的是pn,即以fi為優(yōu)化目標的種群在整[2] Taylor P D, Jonker L B. Evolutionarily stable strategies and個群體中所占的比例,取值為從0到1,間隔為0.05的20個game dynamics[J] Math. Bio. sci. ，1978, (40):145-156.實數(shù).實驗重復(fù)10次,圖9中標出的點為10次重復(fù)實驗的平[3] Zitzler E. Evoluionery algitoms for multobietire optimiza-tion: methods and applications[D]. A Dissertation Aubmitted to均結(jié)果.the Swiss Federal Institute of Technology Zurich for the degreeof Doctor of Technical Sciences, Nov. 11, 1999.0.9-。EFunction }[ 4] Maynard Smith J, Price G R. The logic of animal conflict[J]. .0.8Nature 246; 16- 18.[5] Zitzler E, Thiele L. Multibjective evolutionary algorithms: acomparative case study and the strength pareto approach [J]. .g0.5IEEE Trans. On Evolutionary Computation, 1999, 3(4); 257-271.E0.3[6] Kwee-Bo Sim, Dong-Wook Lee, Jji-Yoon Kim. Game theory0.2based coevolutionary algorithm; a new computational coevolu-0.1tionary approach[UJ]. International Journal of Control, Automa-00 0.1 0.2 0.30.40.5 0.60.7 0.80.9 1tion, and Systems ,2004,2(4): 463-474，Rate ofagents using function[ 7 ] Rosenberg R s. Simulation of genetic populaions with biochemi-1as optimization objeetcal prosperities [D]. University of Michigan, Ann Harbor,Michigan, 1967.圖9種群所占 比例對演化穩(wěn)定策略的影響[ 8] Schaffer J D. Multiple objective optimization with vector evaluat-Fig. 9 Relationship of and ESSsed genetic algorithms[C]. In; Proceedings of lst International從圖9中我們可以看到,隨著pr的增加,演化穩(wěn)定策略的Conferenceon Genetic Algorithms, Lawrence Erlbaum, 1985,93-100.目標函數(shù)1的值有明顯的下降趨勢,而目標函數(shù)2的值則有明[9] Xie Teo, Chen Ho. wang, Kang Lishan. Evluionary algorithms of multi2 objective optimization problems [J]. Chinese顯上升趨勢.通過對EGOA算法的分析,我們可以對這種現(xiàn)象Journal of Computers. Aug. 2003, 26(8); 997-1003.作出合理的解釋.當群體中以函數(shù)fi為優(yōu)化目標的個體數(shù)量[10] Hajela P. LinC-Y. Genetic search sratgies in mulicriterion op-較多時,該函數(shù)具有- -定的優(yōu)勢可以首先尋優(yōu)到一個較低的timal design[M]. Structural Optimization, New York: Springer,June 1992, 4: 99-107.水平,面其他函數(shù)在此基礎(chǔ)上進行優(yōu)化,從而導(dǎo)致最終的ESS [1FsaCM Fleming P J. Centic lorihms for mioieeie的分布偏向于f.optimization; formulation, discussion and genelization[ion[C]. In;s. Forrest (Ed. ), Proceedings of the Fifth International Confer-5總結(jié)ence on Genetic Algorithms, San Mateo, California, 1993, 416-本文提出了一種新的基于演化博弈的優(yōu)化算法(EGOA),[12] Horn J, Nafpliotis N, Goldberg D E. A niched pareto genetic al-gorithm for multiobjective optimization[C]. Proceedings of the用于多目標優(yōu)化問題的求解.在該算法中,每個個體記錄了個First IEE Conference on Evolutionary Computation, IEEE體所采用的策略的同時,還記錄一個信息標記著個體所屬的World Congress on Computational Computation, Piscataway,NJ, IEEE Press, 1994, 1:82-87.種群,種群信息對應(yīng)個體的優(yōu)化目標.它借鑒了演化博弈的思[13] Srinivas N K. Deb multiobjective optimization using nondominat-想和選擇機制,在每一代時,隨機從群體中抽取成對個體并進ed sorting in genetic algorithms[J]. Evolutionary Computation,行重復(fù)博弈,以在博弈中取得的效用來確定個體的適應(yīng)度函[14] Deb J, Amit Pratap, Sameer Agarwal T. Meyarivan a fast and1994, 2(3): 221-248.數(shù)值.在下一代的生成過程中,子個體除了從父個體處繼承策elitist multiobjective genetic algorithm; NSGA-II[J]. IEEE略信息之外,還繼承了父個體的種群信息.我們采用了特殊的Transactions on Evolutionary Computation, April. 2002, 6(2):適應(yīng)度修正方案來確保整個群體中種群的分布穩(wěn)定.相對于[15] Zitzler E. Laumanns M，Thiele L. SPEA2: improving the182-197.文獻[6]中的基于演化博弈理論的協(xié)同進化算法,我們的算法strength pareto evolutionary algorithm for multiobjective opti-具有更強的通用性.為了對EGOA的性能進行評估,我們采用mization[R]. Research Report ,2001.了一組多目標優(yōu)化問題(MOPs)的測試函數(shù)進行實驗.實驗結(jié)[16] Knowles J, Corne D. The pareto archieved evolution strategy: anew baseline algorithm for multiobjective optimization[C]. In;果表明,使用本算法搜索得到的演化穩(wěn)定策路集合能夠很好Proceedings of the 1999 Congress on Evolutionary Computation,地過近多目標優(yōu)化問題的帕累托前沿.Washington DC, 1999, 98-105.雖然用于多目標優(yōu)化問題的實驗結(jié)果比較成功，但是本[17] LohnJ, Kraus w, Haith G. Comparing a coevolutionary geneticalgorithm for multiobjective optimization[C]. Proceedings of the算法的應(yīng)用仍有需要完善的地方.EGOA算法基于演化博弈2002 IEEE Congress on Evolutionary Computation, May 2002,理論,它最終求得的解為博弈達到的ESS.但事實上在演化博中國煤化工弈中,ESS表示的是演化的均衡解.另-方面,從我們的實驗附中文結(jié)果中可以看出使用本算法求得問題的ESS集合與帕累托最[9] 謝MHC N M H G計算機學(xué)報2003.26(8);優(yōu)集合一致,呈現(xiàn)該結(jié) 果的理論基礎(chǔ)還有待研究.997-1003.