北京大學學報(自然科學版),第35卷,第3期,1999年5月Acta Scientiarum NaturaliumUniversitatis Pekinensis, Vol 35, No. 3(May, 1999)熱帶氣旋的準平衡動力學結(jié)構(gòu)”孫峰劉式適北京大學地球物理學系,北京,100871)摘要將熱帶氣旋分為內(nèi)外2個區(qū),2個區(qū)的時間、空間及物理量有不同的尺度,應用尺度分析和攝動法到熱帶氣旋的2個區(qū)域,分別求得在2個區(qū)域的控制方程,其中內(nèi)區(qū)受旋轉(zhuǎn)風和一個演變方程制約,外區(qū)受梯度風和另一個演變方程制約。內(nèi)外區(qū)的演變方程形式上相似,可統(tǒng)一求解,并解析地求得了2個區(qū)域的流場和氣壓場,得到的解能反映熱帶氣旋結(jié)構(gòu)的一般特征。關鑣詞熱帶氣旋;攝動法;動力學結(jié)構(gòu)中圖分類號P444;P4330引言大氣運動十分復雜,具有各種不同空間尺度的渦旋,它們的性質(zhì)也各不相同,尺度分析表明L=10km的小尺度運動,可以不考慮 Coriolis參數(shù)的運動;L=100km的中尺度運動必須考慮∫的作用,但Rsy參數(shù)=出的作用較小;L=100km的大尺度運動必須考慮B的作用。尺度分析和攝動法較好地解決了大氣大尺度運動演變:零級近似為地轉(zhuǎn)平衡,靜力平衡,和水平無輻散關系。而一級近似滿足準地轉(zhuǎn)位渦度方程。對于熱帶氣旋這樣的中尺度渦旋Peng和 williamsi用尺度分析方法和攝動法較好的解決β效應對熱帶氣旋非對稱流場結(jié)構(gòu)的影響。凌國燦和李顯霖(2首先提出將地轉(zhuǎn)渦分為內(nèi)層和外層,并應用尺度分析和攝動法求得了地轉(zhuǎn)渦內(nèi)層解,但他們主要求的是含摩擦的地轉(zhuǎn)渦內(nèi)層的數(shù)值解。劉式適等34利用尺度分析和攝動法求得了描寫熱帶氣旋運動的控制方程并解析求得熱帶氣旋的內(nèi)外區(qū)結(jié)構(gòu)。但尺度的分析存在一些問題:垂直速度的尺度取得過大,水平散度尺度的選取與實際觀測不符,另外給出了切向速度和徑向速度的垂直切變尺度,主觀性比較強,本文重新選取了熱帶氣旋的尺度,得到了新的熱帶氣旋內(nèi)外區(qū)的演變方程。新的演變方程內(nèi)外區(qū)相似,并統(tǒng)一求解,找到一個形式較一般的解。1基本方程組在柱坐標系(r,0,z)中描寫熱帶氣旋運動的基本方程組可以寫為中國煤化工CNMHG1)“非線性科學”和LASG資助項目收稿日期:1997-1209;修改稿收到日期:199804013孫峰等:熱帶氣旋的準平衡動力學結(jié)構(gòu)367OUr. vr orUa卓fvvaveatar1a(m)+19+9=08/φ8/9a/aψ8/⑨乎ataz(a2)+N2u=0。其中v、v和w分別表示徑向速度,切向速度和垂直速度。φ≡p1p0(p為靜止空氣密度p為相對于靜態(tài)大氣的氣壓偏差),∫為 Coriolis參數(shù)(設為常數(shù)),N為濕的 Brunt- Vaisala頻率,在垂直方向應用了靜力平衡,即az60為靜態(tài)大氣的位溫,0′為相對于靜態(tài)大氣的位溫偏差。另外,方程組(1)中未考慮摩擦力的作用,且絕熱方程采用濕絕熱形式。大量觀測事實表明,熱帶氣旋存在一個含臺風眼的內(nèi)區(qū)和有強烈天氣變化的外區(qū)。熱帶氣旋的內(nèi)外區(qū)的物理量的尺度結(jié)構(gòu)和天氣都有很大的不同,熱帶氣旋內(nèi)區(qū)水平尺度小,邊緣切向速度達到最大,變化相對較快;外區(qū)水平尺度大,廣大地區(qū)切向速度相對較小,變化相對較慢,因而將熱帶氣旋分為內(nèi)外區(qū)分別討論。設熱帶氣旋水平尺度為L(100km),垂直尺度為D(10km),特征水平風速取為U=10m·s-1,以c(10-1)作為小參數(shù)。在熱帶氣旋內(nèi)區(qū)水平尺度可取為EL(10km),內(nèi)區(qū)的徑向速度,切向速度和垂直運動尺度各取為U,U,EDU/L,外區(qū)的徑向速度,切向速度和垂直運動尺度各取為U,eU,e2DU/L,內(nèi)外區(qū)中的特征值都取為U22內(nèi)區(qū)的攝動法首先考慮熱帶氣旋內(nèi)區(qū)的運動為使方程無量綱化,設f= fofarI v,中11r十2rI drI其中下標為1的量表示量綱為1的量。在上式中已考慮到水平散度的尺度要比構(gòu)成水平散度的最大項小1個量級。將(3)式代入方程組(1),得到Ue. oUratI ar十ETura8f1ar1eLave,ve, a中國煤化工e141CNMHGaφ1中1v中i or1/ dz1az, az368北京大學學報(自然科學版)第35卷其中R=U.F,ND為 Rossby數(shù)和 Froude數(shù),在本文的尺度分析下,Ro=O(10p),F,=O(1031),對方程組(3)中的物理量作如下的攝動展開:υ,=υ+εv2+e2v+(5)w=v)+εvP2)+2w{)+…,蚱=40)+e中+c2中2)+…其中上標為(0)的量表零級近似,上標為(1)的量表一級近似,其余類推。此外,考慮了熱帶氣旋的3個速度中切向速度為最大。將(5)式代入方程組(4),可求得它的零級近似和一級近似分別為a中(0)a中1)(6)=0v.)av/1)2v0)v()r10)(1)(1)r1 a8a8(7)awrI a8 az1a+,()8)910(1)at11 ar1/az1小+a1)=0。(6)式表示零級近似滿足旋轉(zhuǎn)風關系而且軸對稱。由于v0)=0,因此au8/0=0,實際上表示的就是零級近似是水平無輻散,這是主導氣流的特征S。令()1e ar iDa1(x1v().01°)為無量綱的相對垂直渦度的零級近似,D)為無量綱的水平散度的一級近似。這樣,方程組(7)的后3式可以改寫為1)rIUrlv:,+a0D832r1510)824)arIa(9)中的第一式對r1徵商,得ar,va?sir,Dg+a821中國煤化工由方程組(9)的第2個方程和第3個方程有CNMHGr3中谷2r1℃(1)zariarId第3期孫峰等:熱帶氣旋的準平衡動力學結(jié)構(gòu)3698/a3中0(8x2)ax把(11)式代入(10)式,并利用(9)的第1式,可得到a oriGarir1Uat, ar,asa/a5;()roz。(6+803araz a0az1(3(m#)e(1)avga2中1(1or10°上式左端與無關,而右端各項均為一與6無關的量(零級近似量)與另一函數(shù)(一級近似量對θ微商的乘積,由于物理量的單值性,則右端各項對a積分1周后均為零,由此得到a2∮0at1 azfat1)az11621這是一級近似方程組(7)消元的結(jié)果,它只包含有零級近似量。將(12)式還原為有量綱量,得3((2()0(13)其中,(14)(13)式,(6)式和(14)式聯(lián)合,有a(_1。r)1「a/32)a(1a2510)378N2Lat az20ar\ s0)a"(0)v8)(0)這就是描寫熱帶氣旋內(nèi)區(qū)運動的控制方程組3外區(qū)的攝動法對于熱帶氣旋的外區(qū),設f=f0f,中=U=fU,?！?rIt1,ur= UVr, ve= UveV凵中國煤化工CNMHGave(16)370北京大學學報(自然科學版)第35卷將(16)式代入方程組(1),得到a中1+rIvEW1 azlrIrIawTIUra乙.8+taz1)az912)+aow其中a0=NH為層結(jié)量綱為1的參數(shù)數(shù)量級為101。方程組(1)中的物理量按(6)式攝g動法展開,可求得它的零級近似和一級近似分別為0中10)?1(0)f 1arIae a0,(O)aUr2v8)v1)中1a8fu19t1(19)(r1v(1)+0.+9)60nar/az(18)式表示零級近似滿足梯度風關系而且是軸對稱的。由于v0)=0,因此av00=0,實際上表示的就是零級近似是水平無輻散,這是主導氣流的特征S。注意(8)式,這樣,方程組(19)的后3式可以改寫為TI?1(1)atI(f1arivalr(20)82r1510),孑2中10a2中1at,dzrIaz, 1ur,+vo6z;+cr1ni)=0。(20)式中的第1式對r1微商并利用(20)式中的第2,3式,最后(20)式化為rIBh(0)a?中國煤化工ar1vanI,+ sfo) atiatCNMHG(1((:)第3期孫峰等:熱帶氣旋的準平衡動力學結(jié)構(gòu)37102a34(0)a31)1中1)(f1+t°)2frar ao/e).a中10)1h1+sfo l vp Vi+ 5o) ar ana //* aof1+ri /a6(21)82中18/中8o/araz ae Lax1 (f1 sorau上式左端與0無關,而右端各項均為一與無關的量(零級近似量)與另一函數(shù)(一級近似量)對微商的乘積,由于物理量的單值性,則右端各項對0積分1周后均為零,可得a+a./8n4a24()r;v:iaz+ 510) ar18z1 at0十t(22)這是一級近似方程組(19)消元的結(jié)果,只含有零級近似量。將(22)式還原為有量綱量得(0)82中()aNat az2araz at=0。(23)(23)式,(18)式和(14)式聯(lián)合有rυ82p2中()atat az2+fv0)。φ(?/aφ可以看到,熱帶氣旋內(nèi)外區(qū)的演變方程在形式上是相當一致的,通過適當?shù)淖冃?可以轉(zhuǎn)化為完全一致的形式。在外區(qū)作f2變換,則相應的垂直渦度為1 a6丿。(26)相應地,方程組(24)可以寫為8/82p82中·arv6at az2).araz aaa中ar a0a0 a0 a中國煤化工方程(27形式上完全同方程組(15)式,(15)式中的v,p以,《,“就化為外區(qū)的演變方程(27)式,這意味著熱帶氣旋內(nèi)外區(qū)遵循相似的運動規(guī)律,可以統(tǒng)一求解372北京大學學報(自然科學版)第35卷4演變方程的求解熱帶氣旋內(nèi)外區(qū)的演變方程組(15),(27)統(tǒng)一設解(外區(qū)將*號暫時略去),為A(t)V(r,z),∮)=B(t)φ(r,z)。(28)則根據(jù)方程組(15),(27)的第2式,都可以得到dIn B/ddInA/dt2,當=1a2a=2(a/o82+(29)方程組(15),(27)的第1式利用(28),(29)兩式,可以得到82更/bnrValnrv alnalnrv a3φ alor a2Φar azar araz azar30(29)式代入(28)式,可以得到1/1西a2西adaB(2ar283φ/aφaφ82φ/aφa3φaφaφ2N2 razor a2N2 araz aarz arazaφ/g}2+6@a+9{2N2a2((ar2ar ar2(31)為了求解非線性方程(31),設gP= C+y(Z),(C,D常數(shù)),(32)再將(32)式代入(31)式,它使(31)式的第2,3項為零,并得到關于y的微分方程d y(2-a)B解得N(2-a)B(34)因而,方程(31)的解可以寫為Φ=CDb2(35)由(35)式,(6)式可求得熱帶氣旋內(nèi)區(qū)的切向速度及重力位勢在徑向和垂直方向的分布,√aBD(2-a)根據(jù)內(nèi)區(qū)的一般特征,a取負值。則(36)式表明在熱帶氣旋的內(nèi)區(qū),重力位勢與ra成正比,而切向速度與r2成正比。選取適當?shù)腶值和各系數(shù),即可得到與實際相近的切向速度和位勢高度分布。另外a的取值也影響到垂直方向上的結(jié)構(gòu),這表明水平流場和垂直結(jié)構(gòu)存在定聯(lián)系。當a取-1,-2時,根據(jù)(36)式,分別對應中國煤化工0})=6r,∮"0)=BC1-BCNMHG(37)0)=62r,中(0)=BC2-D2r2+(38第3期孫峰等:熱帶氣旋的準平衡動力學結(jié)構(gòu)373由(27)式第2式,(35)式可以求得熱帶氣旋外區(qū)的切向速度及重力位勢在徑向和垂直方向的分布,n9=2D-,40Bc-B-+助-a2(3)根據(jù)外區(qū)的一般特征,a取正值。則(39)式表明在熱帶氣旋的內(nèi)區(qū),重力位勢與ra成反比,同時還與柯氏力,層結(jié)穩(wěn)定度等有關。而切向速度不但與r成反比,還與柯氏力有關,表現(xiàn)為梯度風的形式。同內(nèi)區(qū)一樣,a的取值也影響到垂直方向上的結(jié)構(gòu),表明水平流場和垂直結(jié)構(gòu)存在一定聯(lián)系。當a取1時,根據(jù)(39)式,對應r,∮(0)=BC3BD(40)需要指出,多個形如(36),(39式不同a取值得到的解或者多個a取值解的相加,都能分別滿足熱帶氣旋內(nèi)外區(qū)的控制方程,這與實際大氣中熱帶氣旋尺度強度有一定差別是一致的。但不同的解反映的熱帶氣旋內(nèi)外區(qū)的主要特征卻是相似的。另外需指出,當a=2時,(31)式各項都為零,因而形如(32)式的解成立,但不能確定y(z)的具體形式5熱帶氣旋的結(jié)構(gòu)綜合前兩節(jié)的分析,若設臺風內(nèi)區(qū)的半徑為rm,臺風的半徑為re;設r=rm(z=0)臺風的切向速度為v,則由(38)式和(40)式的第1式可以求得熱帶氣旋的切向風速分布為2);(rm-r),(rm≤r≤它接近于典型的 Rankine渦旋。同時,可由(38)和(40)兩式求得熱帶氣旋的擾動位勢分布,為+Bz-1N2,(0≤r≤2);+(x2-2)+Bbz-N2x2,(rm≤r≤re,a=1),這與實際分布較接近6結(jié)論對于熱帶氣旋這樣的中尺度運動運用尺度分析和攝動法可以獲得描述熱帶氣旋運動的控制方程組,并可求得熱帶氣旋的結(jié)構(gòu)。研究表明:對斜欖式在執(zhí)帶氣旋的內(nèi)區(qū),運動時時刻刻都受旋轉(zhuǎn)風控制,而流場及氣壓場的演變,受演化中國煤化工Kof aue e8/a2r5)8CNMHG控制。在熱帶氣旋的外區(qū),運動時時刻刻都受梯度風控制,而流場及氣壓場的演變,受演化方374北京大學學報(自然科學版)第35卷9(r+0:((r+m和e)]=0控制。熱帶氣旋的內(nèi)外區(qū)流場及氣壓場的具有相似的演變方程,水平流場與熱帶氣旋垂直結(jié)構(gòu)存在一定的制約關系。對于一級近似得到的演變方程,不能描述熱帶氣旋的非對稱結(jié)構(gòu),螺旋結(jié)構(gòu),需更高一級近似方程去描述。另外對于分離變量的解,未能體現(xiàn)位溫擾動等在r方向上的變化。參考文獻1 Peng M S, Williams R T Dymamics of Vortex Asymmetries and Their Influence on Vortex Motion on a B-plane. J Atmos Sci, 1990, 47: 1 687-2 0032凌國燦,李顯霖.地轉(zhuǎn)渦內(nèi)層結(jié)構(gòu)解.力學學報,1986,18:289-2963劉式適,劉式達.熱帶氣旋的內(nèi)外區(qū)結(jié)構(gòu)(一):正壓模式,熱帶氣象學報,1994,10:193~203劉式適,劉式達.熱帶氣旋的內(nèi)外區(qū)結(jié)構(gòu)(二):斜壓模式.熱帶氣象學報,1994,11:291-2995 Xu Q. Semibalance Model-connection between Geostrophic Type and Balanced-type Intermediate Models. J Atmos sci,1994,51:853-970Quasi-balanced Dynamic Structure of Tropical CycloneSUN Feng LIU ShikuoDepartment of Geophysics, Peking University, Beijing, 100871)Abstract Tropical cyclone is divided into inner and outer regions in which the scale of time-space andhysical quantity are all different making use of the scale analysis and perturbation method on the two re-gions of tropical cyclone the governing equations of baroclinic models are obtained respectively The innerregion is governed by cyclic wind while the outer region by gradient wind, but the governing equations areimilar, they can be solved analytically by the same equations. The obtained structure of the stream andpressure fields consistents approximately with observationsKey words tropical cyclone; perturbation method; dynamic structure中國煤化工CNMHG