第19卷第4期大學數(shù)學Vol.19,N2. 42003年8月COLLEGE MATHEMATICSAug.2003關(guān)聯(lián)分析的方法及應用郝一凡(沈陽教育學院數(shù)學與計算機系,遼寧沈陽110016)[摘要]提出了根據(jù)采集的數(shù)據(jù)來分析其關(guān)聯(lián)程度的方法.[關(guān)鍵詞]線性;速率;關(guān)聯(lián);關(guān)聯(lián)度[中圖分類號] O159[文獻標識碼] B[文章編號] 1672- 1454(2003)04-0010-05在復雜的客觀世界中,任何事物之間都存在著不同程度的相互關(guān)聯(lián).然而,這些關(guān)聯(lián)往往是灰色的、模糊的,很難確定哪些事物之間的關(guān)聯(lián)密切,而哪些事物之間的關(guān)聯(lián)不密切.這便使我們在處理問題的時候,很難抓住問題的主要矛盾和主要特征.從嚴格的意義上講,兩個事物之間是否有關(guān)聯(lián),應該通過反映這兩個事物的數(shù)量特征之間的關(guān)系來研究.為此,我們有定義設(shè)有變量 X和變量Y,若Y=f(X),則稱變量Y與變量X按關(guān)系f相關(guān)聯(lián).但是,實際上大多數(shù)事物之間的關(guān)聯(lián)都是不確定的,按上述定義來研究兩個事物之間的關(guān)聯(lián)未免太理想化了,也是很難做到的..設(shè)數(shù)據(jù)樣本X;(t)= {x;(t),x;(t2),..,x;(tn)}(1)及X;(l)= {x;(l),x;(e),..x;(1n)}(2)是通過相等的時間間隔采集得到的.即對k=2,3,..,n-1,有te+1-tn=tn-tn-.我們的目的是:分析X;(t)與X;(t)這兩組數(shù)據(jù)之間按什么關(guān)系關(guān)聯(lián);關(guān)聯(lián)程度多大.確切地說,X;(t)與X;(t)兩組數(shù)據(jù)之間按關(guān)系f的關(guān)聯(lián)程度可以表示為1門(3)n 1+x,(tr)-fLx;(tk)丁i不難看出,R,不僅依賴于數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),而且與f的選擇有關(guān).而問題就出在客觀存在的f是未知的,事先并不知道X;(t)與X;(t)究竟按什么關(guān)系關(guān)聯(lián)更密切.在種類繁多的f中,選擇什么樣的f對問題的研究更有意義?為此,我們給出下面的關(guān)聯(lián)分析的方法.1線性關(guān)聯(lián)分析對于數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),假定x;(t)≠x;(2), x;(中國煤化工CNMHG. x;(tk+1:YHw;(th)=x(tn)- -x;(tk-1) .. x;(te+1)-x;(tk)(5)x;(tn)-x,(tk-1)'[收稿日期] 2002-07-22第4期郝一凡:關(guān)聯(lián)分析的方法及應用1分別稱為數(shù)據(jù)組X,(t)和X;(t)在th時刻的線性變化率.這里規(guī)定，如果分母x;(tk)-x;(tn-1)=0 (或 x;(tn)-x;(ta- 1)=0),則用x;(to-1)-x;(tx-2) (或x;(te-1)-x;(t- 2))來替換.....直至分母不為0.顯然:當x;(te+1)=x;(tn)=x;(tx- )時,X;(t)在th時刻呈線性水平狀態(tài);當w;(t)=1時,X;(t)在tk時刻呈線性遞增或線性遞減狀態(tài);當w;(t)>1時,X;(t)在tk時刻呈加速遞增或加速遞減狀態(tài);當0≤w;(t;)<1時,X(t)在tk時刻呈減速遞增或減速遞減狀態(tài);當w,(t2)<0時,X,(t)在tk時刻呈極大或極小狀態(tài).我們認為,w;(tn)與w,(t)越接近,X;(t)與X;(t)在tk時刻的線性關(guān)聯(lián)程度就越高.因此,對于數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),定義的(l)= -1+x;(tx+1)-x;(tk)_ x;(t&+1)-x;(tg)(6)| x;(tk)- x;(tn-1) x;(tn)- -x;(tr-1)稱為X,(t)與X;(t)在te時刻的線性關(guān)聯(lián)系數(shù);定義(7)n一2稱為X,(t)與X;(t)的線性關(guān)聯(lián)度.關(guān)于這個定義的合理性,可做如下證明:事實上,如果R,=1,則對任意的k=2,3...,n-1,必有氣(t)=1.即對任意的k=2,3...,n-1,有x:(te+)-x;(tk)_ xj(te+1)-x;(th)(設(shè)為a≠0).x;(tn)- x;(tk-1) xj;(tn)- xj;(tk-)于是有x;(le+1)-x;(n)=a[x;(te)-x;(1n-1)]，x;(n+)- x;(tn)=a[x;(tn)- x;(- )].整理得x;(te+1)-x;(t)=ak-'[x;(t2)- x;(t)]，x;(le+1)- -x;(n)=a"-'[x;(t2)- x;(t)].所以x;(te+1)-x;(t)_ x;(t2)- x;(t)x;(t*+1)- - x;(tn)~ x;(t2)- x;(t)"這表明點列{(x;(t),x;(1))(x(2),x(2)),(x;(tn),x;(n))}(8)在一條直線上,即X;(t)與X;(I)線性關(guān)聯(lián).反之,如果X,(t)與X(l)線性關(guān)聯(lián),則對任意的k=1,2,.n,都有x;(ln)=ax;(l)+b.于是,對任意的k=2,3,.,n-1,都有x;(tx+1)-x;(tp)_[ _ax;(tx+1)+b]- [ax;(tk)+b]_ x;(te+1)-x;(tp)x;(tp)- x;(tk-1) [ax;(tp)+b]- [ax;(tx-1)+b]~ x;(th)- x;(tk-1)所以,對任意的k=2,3,..,n-1,有R,=1.中國煤化工特別地,如果點列MHCNM HG{(1,x;(t)),(lz,x;(l2)),",(in,z;(Ln))}在一條直線上,點列{(1 ,x;(l)),(l2,x;())..(n,x;(1,))}也在一條直線上,那么,點列(8)-定在一條直線上.事實上,設(shè)點列(9)在直線y=anx+by上,點列(10)在直線y=aqx+b2上，即對任意的k=1,2,3,2大學數(shù)學第19卷..n，都有x;(tk)=ante+b，x;(tz)=azte+b2.于是,如果as≠0,則有x;(tn)="x;(t)+'ab,-a2b.a這表明點列(8)在直線._aabz-a2b1an上;如果an=0,則點列(8)在直線x=b1上.上述事實說明:如果an≠0且ar≠0或an=0且a2=0,即點列(9)與點列(10)都不在水平線或都在水平線上，則X,(t)與X,(t)線性關(guān)聯(lián);如果a1=0但ar≠0或an≠0但an=0,即點列(9)與點列(10)其中一個在水平線上而另一個不在水平線上,可以理解為X;(t)與X;(t)非線性關(guān)聯(lián).線性關(guān)聯(lián)分析法還可以采用下面的形式:對于數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),應用最小二乘法擬合點列(8),設(shè)得到的近似關(guān)系為x;(t)≈ax;(tn)+b,則定義R= n臺1+ |x,(u)-[ax;(t)+6]1'稱為X;(t)與X;(t)的線性關(guān)聯(lián)度.很顯然,這樣的定義也是合理的.2相對速率關(guān)聯(lián)分析對于數(shù)據(jù)樣本(1)和(2),假設(shè)它們都取正值.定義λ;(tk)=x;(t+1)- x;(th)(12)x;(t)[4e+1-4x]'稱為數(shù)據(jù)組X;(t)在th時刻的相對速率.我們同樣認為,入(tn)與);(tk)越接近,X;(t)與X;(t)在In時刻的關(guān)聯(lián)程度就越高.因此,定義(13)1十x;(t6+1)-x;(t)_ x;(t6+1)- x;(tn)’x;(tk)[te+1-tk] x;(tn)[te+1-tr]稱為X,(t)與X;(t)在te時刻的相對速率關(guān)聯(lián)系數(shù).定義R;=z;(t)，(14)n-1臺稱為X,(t)與X;(t)的相對速率關(guān)聯(lián)度.關(guān)于這個定義的合理性，可做如下證明:事實上,如果R,=1,則對任意的k=1,2,3,.,n-1,必有rj(tn)=1.即對任意的k=1,2,3,...n-1,有x,(to+1)-x;(t2) _ x;(h+I)-x,(t)(設(shè)為a).x;(tn)x;(t)于是有中國煤化工x:(te+1)- x;(tk)=ax;(tn)，2.MHCNMH G對任意的k=1,2,3...n,有x;(t)=(1 +a)*-'x;(t)，x;(t)=(1 +a)*-'x;(t).所以x;(th) _ x;(t)即x;(r)=')x;(n).x;(th) x;(t)'第4期郝一凡:關(guān)聯(lián)分析的方法及應用1:這表明X;(t)與X;(t)按相對速率關(guān)聯(lián).反之,如果X;(t)與X;(t)按相對速率關(guān)聯(lián),則對任意的k=1,2,3,..,n,都有x;(tk)=ax;(tn).于是,對任意的k=1,2,3...,n-1,都有x;(t+1)- x;(tk)_ ax;(te+1)- ax;(tn)_ x;(te+1)- x;(t)x;(ln)所對,任意的k=1,2,3,,n-1,有R,=1.相對速率關(guān)聯(lián)分析比線性關(guān)聯(lián)分析更注重數(shù)據(jù)的變化，更強調(diào)數(shù)據(jù)之間依賴變化才有較高的關(guān)聯(lián)度.3關(guān)聯(lián)分析的舉例陜西人民出版社1983年出版的《理科最新常用數(shù)據(jù)手冊》中記載了1931 年~1960年世界各地區(qū)月平均溫度、濕度及降雨量等數(shù)據(jù)資料.在此我們以法國巴黎地區(qū)1931年~1960年平均溫度、濕度及降雨量(表1)為依據(jù)來分析溫度、濕度及降雨量這三者的關(guān)聯(lián)程度.表11931 ~ 1960101112溫度(C)3. 13. 87.210. 314.017.119.018.515.911.16.4. 1濕度(%)89847569707278降雨(mm)53252應用線性關(guān)聯(lián)分析方法，首先應用公式(4)計算月平均溫度、濕度及降雨量在不同時刻的線性變化率(見表2).表2380溫度w)(tn) .4. 860.911. 190.840. 61-0. 265.21. 850.90| 0. 63濕度w2(tn)1.80. 67-0. 170. 83降雨ws(tn)-0.552. 33-0.14-2.51.4-1.570.18.-0.5-1其次應用公式(6)計算月平均溫度、濕度及降雨量之間在不同時刻的線性關(guān)聯(lián)系數(shù)(見表3).表36溫度與濕度ξ2(tn)0. 250. 810. 460. 540.560. 310.310.540.88| 0. 61濕度與降雨ξxs(tn)0. 450. 300. 880.63 0. 180. 550. 430.5降雨與溫度5is(tn)0.210.410. 470. 510.240.380.130. 370. 420.38.最后應用公式(7)計算月平均溫度、濕度及降雨量之間的線性關(guān)聯(lián)度.溫度與濕度的線性關(guān)聯(lián)度為0.25+0.81+0.45+0.54+0.56+0.31h°21 'r中國煤化工=0.527.濕度與降雨的線性關(guān)聯(lián)度為fYHCNMHG_ 0.56+0. 45+0.30+0.88+0.30+0.63+0. 18+0. 55+0.43+ 0. 50=0. 478.降雨與溫度的線性關(guān)聯(lián)度為Ris=0.21+0.41+0.47+0.51+0.24+0.38+0.13+0.37+0.42+0.38=0. 352.14大學數(shù)學第19卷應用相對速率關(guān)聯(lián)分析方法，首先應用公式(12)計算月平均溫度、濕度及降雨量在不同時刻的相對速率(見表4).表4451011溫度小(tx)0. 230. 890. 430. 360.22 0.11-0.03|-0.14-0.30-0.39 -0.40濕度λ2(tn)-0.06-0.11|-0.08 00. 010. 030. 080. 06)降雨Ag(tz)-0.20|-0.26 0.190. 37-0.04 0.100. 13-0. 18|-0.04 0.02-0. 02其次應用公式(13)計算月平均溫度、濕度及降雨量之間在不同時刻的相對速率關(guān)聯(lián)系數(shù)(見表5).表5溫度與濕度τ12(ts)0.770.50. 660. 740.82 0.910.940.82.0. 720. 690.71溫度與降雨T23(te)0.880. 870. 790.730. 960.920.910.790. 98降雨與溫度T1s(t)0.700. 470. 810. 990.99.0. 86最后應用公式(14)計算月平均溫度、濕度及降雨量之間的相對速率關(guān)聯(lián)度.溫度與濕度的相對速率關(guān)聯(lián)度為R12=0.77+0.50+0.66+0.74+0.82+0.91+0.94+0.82+0.72+0.69+0.71=0. 75.1濕度與降雨的相對速率關(guān)聯(lián)度為p_ 0. 88+0.87+0.79+0.73+0.96+0.92+0.91+0.79+0.89+0.96+0.98_、 ee降雨與溫度的相對速率關(guān)聯(lián)度為R1s=0.70+0.47+0.81+0.99+0. 79+0.99+0.86+0.96+0.79+0.71+0.72,= =0. 80.以上結(jié)論不難發(fā)現(xiàn),月平均溫度、濕度及降雨量三者之間線性關(guān)聯(lián)程度的排序為:溫度與濕度關(guān)系較密切;濕度與降雨關(guān)系次之;降雨與溫度關(guān)系較弱.而三者之間相對速率關(guān)聯(lián)程度的排序為:濕度與降雨關(guān)系較密切;降雨與溫度關(guān)系次之;溫度與濕度關(guān)系較弱.兩個結(jié)論不盡相同,其實這并不矛盾,因為兩種關(guān)聯(lián)程度的側(cè)重點并不相同,前者強調(diào)“線性”關(guān)系，兩個量之間只要接近線性關(guān)系,就認為它們有較好的關(guān)聯(lián);后者強調(diào)“相對速率”，兩個量各自的相對速率越接近,就越認為它們有較好的關(guān)聯(lián).這兩個側(cè)重恰恰在上面的例子中得到了體現(xiàn).[參考文獻][1]鄧聚龍.灰色系統(tǒng)(社會.經(jīng)濟)[M].北京:國防工業(yè)出版社,1985..[2]漆貫榮等.理科最新常用數(shù)據(jù)手冊[M].西安:陜西人民出版社,1983.The Method and Applicating of Relevance and Anal ysis中國煤化工HAO Yi-YHCNMHG(Department of Mathematics and Computer, Shenyang College of Education, Shenyang 110016， China)Abstract : This paper advances the method of analysing relating level according to the collected data.Key words: linear; rate; relevance ; relating level