第54卷第6期2005年6月物理學(xué)報(bào)1000-3290/2005/5406y25520ACTA PHYSICA SINICA⊙2005Chin.Phys.So.少體硬球系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)研究*付文玉侯錫苗賀麗霞鄭志剛北京師范大學(xué)物理系北京100875)004年8月18日收到2004年11月8日收到修改稿)研究了少數(shù)幾個(gè)封閉于箱子中的硬球組成的系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)行為.著重研究單粒子位形空間的碰撞分布計(jì)算表明硬球的半徑較小時(shí)單粒子統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)在空間主要是均勻分布著半徑的增大均勻分布部分逐漸減小,當(dāng)硬球半徑與箱子尺寸比值超過(guò)臨界值時(shí)單粒子分布函數(shù)呈現(xiàn)雙峰形式,還利用少體硬球系統(tǒng)模擬布朗運(yùn)動(dòng)研究表明當(dāng)硬球系統(tǒng)作為介質(zhì)時(shí)系統(tǒng)不存在擴(kuò)散過(guò)程發(fā)現(xiàn)大粒子的平均平方位移與時(shí)間是平方關(guān)系,說(shuō)明大粒子在硬球介質(zhì)中的輸運(yùn)是彈道輸運(yùn)過(guò)程關(guān)鍵詞:硬球,動(dòng)力學(xué),布朗運(yùn)動(dòng),遍歷PACC 0500引言另一方面熱力學(xué)體系非平衡性質(zhì)與微觀動(dòng)力學(xué)特征之間的關(guān)系研究近年來(lái)成為新的熱點(diǎn).一方面統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究對(duì)象——熱力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)根人們探討了熱力學(xué)系統(tǒng)的輸運(yùn)系數(shù)的規(guī)律以及它們本特點(diǎn)就是熱力學(xué)過(guò)程的不可逆性1]不可逆性在與非線性動(dòng)力學(xué)指數(shù)如李雅普諾夫指數(shù)KS熵分熱力學(xué)上由第二定律給出而其微觀動(dòng)力學(xué)根源迄今維等之間的關(guān)系,并已經(jīng)取得了豐富的成果61.另為止一直是統(tǒng)計(jì)力學(xué)中一個(gè)古老而重要的問(wèn)題.在牛一方面對(duì)非平衡問(wèn)題的研究如小體積的的非平衡頓力學(xué)的框架下系統(tǒng)的幾率分布演化由劉維定理給過(guò)程如熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散、自由膨脹、絕熱壓縮等這些研出了可逆的描述. boltzmann推導(dǎo)出稀薄氣體單體約究中很多問(wèn)題尚不清楚特別是系統(tǒng)遍歷性在其中的化概率分布的演化方程并推導(dǎo)出H定理使我們從作用少體系統(tǒng)的熱力學(xué)定律成立與表現(xiàn)等問(wèn)題.這統(tǒng)計(jì)層面上看到了不可逆性.為了從動(dòng)力學(xué)上解釋這些研究有助于從微觀動(dòng)力學(xué)上理解宏觀非平衡過(guò)程定理, boltzmann提出了遍歷性假說(shuō)2].遍歷性理的起源值得引起注意論架起了從動(dòng)力學(xué)向統(tǒng)計(jì)過(guò)渡的橋梁.二十世紀(jì)非線動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)的關(guān)系問(wèn)題研究中一個(gè)非常經(jīng)典性動(dòng)力學(xué)和混沌的硏究使人們對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)且有效的模型是硬球系統(tǒng)η8).本文將研究幾個(gè)封閉特征有了深一步旳理解在此期間遍歷性、混合性、K于箱子中的硬球組成的系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)行為.我流等不同概念提了岀來(lái)3研究表明動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的們首先研究單粒子位形空間的碰撞分布.研究表明全局性混沌是系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)成立的根本要素.在此意義碰撞分布可以分為幾個(gè)區(qū)域.當(dāng)硬球的半徑較小時(shí),上系統(tǒng)的無(wú)限大自由度已不是決定性的因素.人們單粒子統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)在空間主要是均勻分布隨著半已建立了少自由度系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)及熱力學(xué)4遍徑的增大均勻分布部分逐漸減小.當(dāng)硬球半徑與箱歷性理論也不僅僅是數(shù)學(xué)家們的研究對(duì)象,它也為物子尺寸比值超過(guò)臨界值時(shí)單粒子分布函數(shù)呈現(xiàn)雙峰理學(xué)家理解熱力學(xué)系統(tǒng)中的許多問(wèn)題如相變玻璃形式田八砸琙玄統(tǒng)模擬了大粒子在小態(tài)等提供了新的啟示561硬球中國(guó)煤化工發(fā)現(xiàn)硬球系統(tǒng)不存在擴(kuò)散CNMH應(yīng)子平均國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究規(guī)劃973項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)x2000077304),全國(guó)優(yōu)秀博士論文作者專項(xiàng)基金批準(zhǔn)號(hào)200120),教育部青年教師獎(jiǎng)專項(xiàng)基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)209)高校博士點(diǎn)基金批準(zhǔn)號(hào)027011)霍英東教育基金會(huì)(批準(zhǔn)號(hào)81006)北師大本科生研究基金資助的課題Emai7方數(shù)揭 bnu. edu. cn6期付文玉等少體硬球系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)研究2553平方位移與時(shí)間是平方關(guān)系說(shuō)明大球在小球碰撞下是典型的彈道輸運(yùn)過(guò)程3.空間碰撞分布2.硬球模型硬球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)硏究中最重要旳就是碰撞過(guò)程我們關(guān)注硬球碰撞時(shí)的空間位置分布.以x分量為硬球系統(tǒng)由局限在一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的箱子中的N例我們研究其中一個(gè)硬球的空間碰撞位置分布P。個(gè)相互彈性碰撞、半徑為R的硬球組成如圖1所(α)以前我們研究過(guò)硬球的空間位置分布并且對(duì)示.系統(tǒng)的哈密頓可以寫為于N=2的情形可以給出相應(yīng)的解析表達(dá)式9對(duì)碰/2撞分布碰撞時(shí)的兩球的質(zhì)心位置需滿足條件|r|=2R因此一球的分布要取決于與其碰撞的另一球的這里m;代表第i個(gè)硬球的質(zhì)量;為其速度我們假位置另外在器壁附近球的位置分布也必然與器壁定硬球之間、硬球與器壁之間的碰撞都是完全彈性有關(guān)系.這樣解析的求解是較為困難的但不難數(shù)值的所以對(duì)球一壁碰撞我們有→-ⅵ其中α代上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)實(shí)際上雖然我們無(wú)法解析求解但基本表垂直于器壁的方向?qū)η?球碰撞碰撞前后的總上可以把單粒子碰撞位置分布分成以下幾個(gè)區(qū)域動(dòng)能和總動(dòng)量守恒.讠,j球碰撞后的速度為(1)自由區(qū)批此區(qū)中一球的位置分布并不明顯依賴于另外與其碰撞的球故分布為均勻的,P(x)P0.這個(gè)區(qū)通常在容器中央?yún)^(qū)域且當(dāng)球比容器尺寸)產(chǎn)(2)小很多時(shí)存在(2)禁飛區(qū)在非常靠近器壁的地方當(dāng)一個(gè)球其中M=2mmKm;+m)為約化質(zhì)量r=r/r為單位矢量這里r=r1-r為兩個(gè)硬球質(zhì)心間的方在的時(shí)候另外一個(gè)球就不能從靠近器壁的區(qū)域通向矢量.硬球系統(tǒng)看起來(lái)很簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)上卻是非常過(guò)此時(shí)的分布為Px)=03)關(guān)聯(lián)區(qū)迕在離開器壁相對(duì)較遠(yuǎn)但兩個(gè)球仍然復(fù)雜的研究已經(jīng)表明在二維和三維空間中運(yùn)動(dòng)的相互影響很大的區(qū)域分布可能為較復(fù)雜的形式硬球系統(tǒng)只要N≥2就是遍歷的K系統(tǒng)并滿足全圖2給出了當(dāng)N=2,L=10,m1=m2情況下不局混沌9.在此基礎(chǔ)上我們可以建立少體系統(tǒng)的統(tǒng)同半徑硬球系統(tǒng)的空間碰撞分布.我們假定容器的區(qū)計(jì)力學(xué)和熱力學(xué)我們?cè)敿?xì)研究了硬球系統(tǒng)的速域?yàn)閤yκ)([0,L][0,L][0,L])可以清楚度、空間位置平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布并用少體的玻爾茲曼熵研究了向由非平衡態(tài)平衡態(tài)的演化9我們還看到上面所提到的三個(gè)區(qū)域禁飛區(qū)滿足x∈[0,R或L-R,L]自由區(qū)位于x∈[3R,L-3R]R越研究了少體硬球的熱力學(xué)第二定律0.最近幾年硬小自由區(qū)越大這從圖xa)(d)可以清楚觀察到球系統(tǒng)還被用來(lái)研究熱傳導(dǎo)問(wèn)題1.下面我們以空當(dāng)3R≥L-3R即R≥R2=L/6時(shí)自由區(qū)將消失間三維硬球系統(tǒng)為例進(jìn)行討論對(duì)于我們的參數(shù),R。=5/3≈1.666…在位于[RL3R吸其L-3R,-R的區(qū)域分布為直線,為關(guān)聯(lián)區(qū).在x=R或L一R處分布不連續(xù)隨著靠近中央?yún)^(qū)域分布概率線性增加說(shuō)明碰撞發(fā)生于中部的機(jī)會(huì)更大.這是比較容易理解的.當(dāng)自由區(qū)消失后從圖xf河看出在中央?yún)^(qū)域出現(xiàn)了一個(gè)低谷在此處的碰撞機(jī)會(huì)相對(duì)較小分布岀現(xiàn)雙峰結(jié)構(gòu).這是因?yàn)橛睬蚝艽髸r(shí)球基太上被后限于一個(gè)角落很難越過(guò)去所中國(guó)煤化工碰撞的機(jī)會(huì)較小CNMHG不同對(duì)空間碰撞位置圖1硬球模型示意圖的影響.圖3給出了不同質(zhì)量比時(shí)的碰撞分布左邊2554物理學(xué)報(bào)54卷是質(zhì)量大的球右邊是質(zhì)量小的球.當(dāng)球的半徑較小有影響這是因?yàn)樾∏蚺鲎埠髸?huì)具有很大的運(yùn)動(dòng)速時(shí)如圖3(a),(b)可以看到質(zhì)量比的大小對(duì)分布沒度因而在一段時(shí)間內(nèi)可以很快達(dá)到遍歷分布洏而大有明顯的影響而當(dāng)球的半徑較大時(shí)大的質(zhì)量比對(duì)球則每次與小球碰撞得到較小的速度改變運(yùn)動(dòng)緩大球的碰撞位置分布就較大而對(duì)小球分布基本上沒慢因而分布遠(yuǎn)未達(dá)到遍歷分布0.00100.00050.000u0.0010R=1.01.5s0.00050.00000.0010R=1.7R=2.0圖2等質(zhì)量硬球碰撞空間分布0.00100.0005R=1.70.00000.00100s00075R2.0(c0.00050圖3不同質(zhì)量比下大球和小球的碰撞位置分布4.用少體硬球模擬布朗運(yùn)動(dòng)這里我們用硬球來(lái)進(jìn)行類似的模擬研究系統(tǒng)的輸運(yùn)過(guò)程.我們關(guān)心用少量硬球能否模擬隨機(jī)噪聲的布朗運(yùn)動(dòng)描述了大顆粒在液體中的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng).影響.設(shè)所有硬球具有同樣的半徑但有一個(gè)硬球具液體分子對(duì)大顆粒物質(zhì)的頻繁碰撞產(chǎn)生隨機(jī)力使得有非中國(guó)煤化工球產(chǎn)生對(duì)大球的頻繁大顆粒產(chǎn)生擴(kuò)散性的運(yùn)動(dòng).考慮一個(gè)質(zhì)量為m的大碰撞CNMHG子的角色,提供隨機(jī)顆粒在隨機(jī)力下的運(yùn)動(dòng)力)為了方便我們使用周期邊界條件即假定大球m+5(t)3)遇到容器邊界就進(jìn)入一個(gè)新的完全一樣的容器而在這里η為阻尼系數(shù),(t)為強(qiáng)度為kBT的白噪聲.每個(gè)箱子中有數(shù)目固定且相同的小球這樣球的密度布朗運(yùn)動(dòng)的搜趣系數(shù)D滿足愛因斯坦關(guān)系:D=是固定的為了考察擴(kuò)散性我們可以計(jì)算大球的平6期付文玉等少體硬球系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)研究2555均平方位移〈△r(t)隨時(shí)間是平方的關(guān)系即a≈2這一結(jié)果說(shuō)〈Δr(t)》〓〈r(t)-r(θ)≡2D,(4)眀少體硬球系統(tǒng)不能很好模擬布朗運(yùn)動(dòng)大球的輸運(yùn)過(guò)程不是擴(kuò)散過(guò)程,而是彈道輸運(yùn).圖4的小圖給10°-0一R=0.1出了系數(shù)D隨球半徑R的變化關(guān)系.可以看到當(dāng)球0一R=0.3△-R=0.5半徑較小時(shí)大球的彈道輸運(yùn)系數(shù)基本不變;當(dāng)球半R=0.6徑變大時(shí)系數(shù)D在R>0.6時(shí)迅速變小.大球在小sR=0.70球系統(tǒng)中的彈道輸運(yùn)說(shuō)明少體硬球系統(tǒng)雖然可以具有很強(qiáng)的混沌性,但還無(wú)法很好模擬完全隨機(jī)的噪聲要實(shí)現(xiàn)擴(kuò)散型的輸運(yùn)我們還需要更多的硬球數(shù)0.030目a4a。5.小結(jié)0200本文研究封閉區(qū)域中的少體硬球組成的系統(tǒng)的圖4大球平均平方位移隨時(shí)間的變化小圖為D與球半徑的動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)行為對(duì)單粒子位形空間碰撞分布的研關(guān)系究表明碰撞分布可以分為幾個(gè)區(qū)域這些區(qū)域隨硬球半徑的增加而發(fā)生變化或消失.當(dāng)硬球半徑較小時(shí)單粒子統(tǒng)計(jì)分布在位形空間大部分是均勻分布其中上面是系綜平均即對(duì)于大量隨機(jī)初始條件進(jìn)行隨著硬球半徑的增大這些均勻分布部分逐漸減小平均.0≤α≤2是標(biāo)度指數(shù).當(dāng)α=1時(shí),系統(tǒng)輸運(yùn)是擴(kuò)散性的,D為擴(kuò)散系數(shù)當(dāng)α=2時(shí)系統(tǒng)輸運(yùn)是彈直到硬球半徑與箱子尺寸比值超過(guò)臨界值時(shí)單粒子分布函數(shù)會(huì)呈現(xiàn)雙峰形式.還我們用少體硬球系統(tǒng)道性的D與彈道運(yùn)動(dòng)速度成正比模擬了大粒子在小硬球體系當(dāng)中的無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng).計(jì)算發(fā)在圖4中我們計(jì)算了大球與小球質(zhì)量比為100現(xiàn)硬球系統(tǒng)不能很好模擬布朗運(yùn)動(dòng)不存在擴(kuò)散過(guò)1容器長(zhǎng)度L=5每個(gè)容器有3個(gè)小球時(shí)大球的平均平方位移.可以看到K△r(t)》隨時(shí)間的長(zhǎng)時(shí)間程大粒子的平均平方位移與時(shí)間呈現(xiàn)平方關(guān)系,說(shuō)明大球在小球碰撞下是典型的彈道輸運(yùn)過(guò)程變化并不是線性的.我們仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn),[ 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Lett物理學(xué)報(bào)54卷Dynamics and statistics in few-body hard-ball systemsFu Wen-Yu Hou Xi-Miao He Li- Xia Zheng Zhi-cReceived 18 August 2004 revised manuscript received 8 November 2004)e dynamic and statistical properties of several hard balls restricted in a box are studied. The collision distribution inconfiguration space is main object of the research. Numerical simulations indicate that the distribution function is uniformhorizontal line)when the radius of balls is very small. This uniform part decreases with increasing size of the balls and adouble-peak distribution is found when the radius exceeds a critical value. Brownian motion is simulated by using hard-ballsystems. It can be found that the mean square displacement is proportional to the square of time i e. the transport processdominated by ballistic transporan aa diffusion behasaviorKeywords: hard balls dynamics, Brownian motion ergodicityPACC 0500Project supported in part by the Special Foundation for State Major Basic ReseatH中國(guó)煤化工CNMHG2000077304),the NationalFoundation for the Author of Excellent Doctoral Dissertation of China( Grant NO. 200120, the I'RAPOY'I in Higher Education Institutions ofMOE Grant No. 209), the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China( grant No. 20020027011), theFok-Ying-Tong Education Funds for Excellent Young Teachers( Grant No. 81006),and the Fund for Undergraduate Students of BNUAuthor of Correspondence. E-mail zgzheng bnu.edu.cn