1232電子5信總?報(bào)2:3物并幾. S。(0)= N。，即覆益支撐T所需的δ網(wǎng)坐標(biāo)立方體個(gè)數(shù)，而H有冪定律So(q) xδ-T'nI.這里定義:+(q) = SIPnsn 0處達(dá)到，則有d(f(x)- aq)/da= 0,求導(dǎo)得到q=d()/do5)再由(3)式得r(q) = f(a()) - qa(q)6)若a作為q的函數(shù)可微，則dr(g)/dq = (d/da)(dn/dg) -“- q(da/dg)(7)代入a=a(q)由(5)式得a(y) = -dr()/)圖1 Weierstrass 曲線-1圖2 Weierstrass 曲線. 2我們對多重分形譜作進(jìn)一步的.分析可以得知，當(dāng)q = 0時(shí),有Ss(0)=Ns，故由(6)式(b)r(0) = f(a(0)) =分形維數(shù)，當(dāng)(5)式df(x())/dar二0，對應(yīng)了/[(a)的最大值.再考慮q= 1，有0.6 6Ss(1)=1.因此，T(1)=0, 利用(5)和(6)式，f(a(1) =a(1)，并H d(1))/da= 1, 再由(2)式有圖3多重分形 譜的比較(a) Weierstrass 曲線1 (b) Weicerstrass 曲線- 2》= 4(1))17)(6)↑inS。(Q) =9)故在9=1時(shí)&(5, 假定當(dāng)δ→0時(shí)這個(gè)導(dǎo)數(shù)收斂，則由(4)和(9)式可得a(1)= .. dr(1)_ Jim 2i3 (y()()1uus(r,)(8)(10)dq 8-40Ino表達(dá)式(2:(1))(u(r()()))稱為由8-剛立方體給出測度μ的劃分熵，其中的和是對剛的邊長為δ的立方體所取.它表示由μ度量的關(guān)于點(diǎn)τ的信息平均總量.它由了解包含點(diǎn)x的立方體Hy1T,)()給出。因此a(1)即關(guān)于尺度8的熵稱為u的信息維數(shù),對應(yīng)于曲線f(a)-o斜.率為1的點(diǎn)。f(a)-ar 的左半部分對應(yīng)于q> 0的情況，右半部分對應(yīng)于q<0的情況，q≈0時(shí)f(n(0))便是集合的分形維數(shù).中國煤化工MYHCNMHG1231電.予與信息孕R23 t3多重分形在圖像處理中的應(yīng)用多五分形可以從圖像中取出許多有價(jià)值的特性，同樣儀靠單一的維數(shù)難以對圖像進(jìn)行詳盡的描述，許多圖像雖然有相同的維數(shù)，但對于人眼來進(jìn)它們完全是不--樣的，因此，運(yùn)用多爪分形便成為圖像處理的必要工具.我們]將圖像放置在二維空間中來考慮。在三維空間(r.y.z)定義{測度[2l:U5(V)(8)=E 1:(r.y.z)|(11)其中灰度值:= f(r,y)，V, 為某- δ網(wǎng)坐標(biāo)立方體(這里為小立方體)，1,(1y二) 為1或0當(dāng)(r,y.2)在1r;(x,y.z)中或不在，其中像素點(diǎn)個(gè)數(shù)N= DxD.對于圖像中的像素點(diǎn)(r.9).如果其對應(yīng)的灰度值為z，那么我們將高度為z;的小立方性中所有的小立方體均填充為1，來表示該像索點(diǎn)對三維空間(x, y, z)的填充能力，于是便得到- .個(gè)圖像在三維空間的分布，測度仍然用(11)式.對圖4中的SAR圖像進(jìn)行處理后得到的多重分形譜如圖5.(a)山丘1 (b)山丘2 (c)海面 1 (d) 海面24 SAR園像2.82從圖5中可以看出，對于相似的圖(d+像如海面1,海面2有者相近的維數(shù)分278別是2.77和2.8，并且其位置和分布也27 I很相近.再如山丘1,山丘2維數(shù)分別是2.64和2.672也很相近，并月f(0)的位置和分布也很相近.而對于不大相206同的圖像如山丘1,山丘2和海面1.潤2162面2，它們的維數(shù)大小、位咒、分布等2.538都顯得有較大差別?？梢娒胤中未_能從不同的圖像中提取出各白不同的紋理2.21 ..35 2.43 2.5 2.65 2.75 2.87 2.90 .特征例;而從相似的圖像中提取出相似的紋理持征，在這里。維數(shù)表示圖像對圖5 SAR 圖像多重分形譜三維空間的填充能力.多重分形刻畫了無序動(dòng)力系統(tǒng)的行為特性,測度的選擇是進(jìn)行多重分形分析的關(guān)鍵，多重分形譜則能有效地區(qū)分不同類型的圖像，顯示了不同圖像各自不同的紋理特征，從我們對SAR圖像的分析可以看出，單一的分形維(這里我們使用的是計(jì)盒維數(shù))在一一定 程度上刻畫r事物的統(tǒng)計(jì)特性，它衡量了不規(guī)則集合對空間的填充能力，事實(shí)上，單一的分形維數(shù)已經(jīng)被用來進(jìn)行中國煤化工_MYHCNMHG11期喬應(yīng)軍，倍號(hào)奇異性分析1235雷達(dá)微弱目標(biāo)信號(hào)的識(shí)別與檢測，從強(qiáng)噪聲背景中提取出目標(biāo)信號(hào)，用維數(shù)來區(qū)分EI標(biāo)和噪聲背尿的不同從而提取出目標(biāo)信號(hào)來.盡管如此，在復(fù)雜的圖像紋理分析中，單一的維數(shù)仍不能進(jìn)行細(xì)致深入的分析，而多重分形則彌補(bǔ)了單-維數(shù)的不足，對于分形維數(shù)相同的集合仍然能有效地區(qū)分識(shí)別，獲取信號(hào)的信息。與傳統(tǒng)的信號(hào)處理的方法相比，分形理論更能有效方便地描述復(fù)雜信號(hào)的分布，不需要進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算和了解信號(hào)精確的信息.4結(jié)論對奇:異性的分析是信息處理的有效途徑，因?yàn)樗鼣y帶廠信號(hào)許多重要且有價(jià)值的信息,而傳統(tǒng)的方法(如傅里葉變換)對此卻難以發(fā)揮大的作用，在本文中,新的研究工具--多重分形任信號(hào)整體奇異性分析上顯示了它的優(yōu)越性，這是以往傳統(tǒng)方法所不能比擬的。Lipschiz 指數(shù)a和多重分形諧f(a)構(gòu)成了信號(hào)奇異性分析的總框架。在局部奇異性分析中，可以用Lipschiz指數(shù)a來刻畫信號(hào)的不規(guī)則性和奇異性，而當(dāng)信號(hào)中存在大量的奇異點(diǎn)的情況下(即整體奇異性)，使得求解a變得非常圖難而無從下手,這時(shí)多重分形便成為我們解決問題的新途徑.它不僅被用于-維信號(hào)處理，而且也被用于二維圖像的識(shí)別和檢測以及紋理特征的分析中，因而，多電分形將會(huì)是信號(hào)奇異性研究的重要工具.參考文獻(xiàn)川[英] Kenncth Falconer著曾文曲，劉世耀澤，分形幾何-數(shù)學(xué)皆礎(chǔ)及其應(yīng)用，沈陽，東北大學(xué)出版社出版，1993,第17童.2] A. langi. W. Kinsner, Singularity processing of zonstationary signal,IEEE Trans.on Electricaland Computer Engineering, 1996, 2(3), 687 -691.3}) F. Arduini, S. Fioravanti, D. D. Giusto, A multifracta!- baserd approach to natural scne aunalysis,IEEE Trans. on Acoustics Speech aud Signal Processing, 1991, 4(6): 2681 -2684.ANALYSIS OF SIGNAL SINGULARITYQiao Yingjun(Dept. of Electrun. Eng., Beijing Univ. of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083. China)Abstract Singularity often caries the most important information of signal, so it is vahableto study the singularity of signal. Because of the linitation of classical approaches (such asFourier transform) in processing the singularity of signal; this paper applies multifracta! theoryto analyse the singularity of signal, and presents an algorithn and some fnndamental resultswhich indicate that ulictial theory is really a useful tool for analysing signal singulariry.Key words Lipschiz exponent, Mutifractals, Signal singularity喬應(yīng)軍男、 1975年生， 碩士，主要從事航空電子綜合化、 訃算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、圖像處理等方面的研究[作.中國煤化工MYHCNMHG