2006裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報(bào)2006第20卷第4期邊界元角點(diǎn)問題的重節(jié)點(diǎn)法分析張秀珍陳強(qiáng)(1.裝甲兵工程學(xué)院機(jī)械工程系,北京100072;2.第二炮兵裝備研究院,北京100085)摘要:應(yīng)用重節(jié)點(diǎn)法處理三維彈性力學(xué)角節(jié)點(diǎn)問題,釆用等參變換插值逼近的方法離散邊界積分方程,解決了由于角節(jié)點(diǎn)表面力不連續(xù)帶來的方程求解困難問題。算例分析結(jié)果表明,該方法具有操作筒單,計(jì)算方便,求解結(jié)果滿足計(jì)算精度的要求等優(yōu)點(diǎn),尤其在角點(diǎn)存在應(yīng)力集中場(chǎng)合更具優(yōu)越性。關(guān)鍵詞:重節(jié)點(diǎn)法;角點(diǎn)問題;非連續(xù)邊界元;等參變換中圖分類號(hào):0242.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):1672-1497(2006)04-0096-04Analysis of Boundary Element Angle Problemwith Nodes Superposition MethodZHANG Xiu-zhen CHEN Qiang(. Department of Mechanical Engineering of the Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, ChinaEquipment Research Institute, Beijing 100085, China)Abstract: Superposition of nodes is put to use for the analysis of three dimensional elastic mechanics angleproblem. A method is introduced to deal with boundary integral equation of 3D-BEM. Isoparametric conversion and interpolation approach is used in this process. Nodes on the angle location take on discontinuity superficial force, which result in solution is difficult. With this method, it is solved. This methodwith a great deal of merits such as simple operation, convenient calculation and accurate result. It is predominant especially in such situation that stress convergence appears on angle position.Key words: nodes superposition method; angle problem; discontinuity boundary element; isoparametric conversion0引言紋問題,它的局限是要對(duì)奇異點(diǎn)單元進(jìn)一步細(xì)分,增大了工作量36。對(duì)于三維問題,對(duì)內(nèi)插函用邊界元法分析結(jié)構(gòu)復(fù)雜、幾何形狀不規(guī)則數(shù)的修正將增大工作量,局部單元的細(xì)分以及影物體、以及接觸問題、裂紋間題等是工程上常用響系數(shù)的計(jì)算也將降低計(jì)算效率,使得求解復(fù)到的方法。同有限元法不同,邊界元對(duì)元素間物雜化理量連續(xù)性的要求是不必要的,因而在工程上得筆者以三維彈性力學(xué)問題為例,采用三維等到廣泛應(yīng)用。由于非連續(xù)邊界元可以很好的處參元離散邊界積分方程利用重置節(jié)點(diǎn)法處理三理幾何角點(diǎn)和邊界條件不連續(xù)問題,因而在邊界維問題角點(diǎn)表面力不連續(xù)問題。通過對(duì)幾何形元分析中被廣泛采用2。在二維彈性問題中對(duì)狀的微小修正在重點(diǎn)配置表面力的分量使得于角點(diǎn)問題多采用非協(xié)調(diào)元法,它適用于處理復(fù)總中國煤化工相等,從而解決了雜邊界以及高應(yīng)力集中問題4,特別是處理裂由CNMHG的方程求解困難收稿日期:200509-17作者簡(jiǎn)介:張秀珍(1974-),女,山西壽陽人,講師,碩土第4期張秀珍等:邊界元角點(diǎn)問題的重節(jié)點(diǎn)法分析問題。該方法操作簡(jiǎn)單,計(jì)算效率高,能夠滿足N(1,2)=(1-6)(1-s62)e=5,7計(jì)算精度的要求邊界積分方程及其離散化N(51,2)=1(1-52)(1-r61)e=6,8三維彈性體的邊界積分方程為(不計(jì)體力作N(5,5)=N-2(M+N)用)N(5,)=A·-1(N+M)C,(P),(P)=U,(P,Q)t,(e)drN(s;,)=N·-1(M+N)T(P, Q)u(e)dr,式中C(P)與P點(diǎn)處幾何形狀有關(guān),當(dāng)P處邊N(6,)=N-2(N+M)界光滑時(shí),C(P)=6,當(dāng)P處邊界非光滑時(shí)(5,52)=A(1+1)(1+52)表面力基本解取極限將得到不同的結(jié)果T(P,Q)和U(P,Q)為三維彈性力學(xué)的式中r,51分別表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)方向和2方Kelvin解向的局部坐標(biāo)分量。彈性體內(nèi)點(diǎn)應(yīng)力計(jì)算公式為將(3)式代人邊界積分方程(1)中,得到離散a,(P)=D(P,Q)T(Q)dr的邊界積分方程為C(P)3(P)Sy(P, Q)Uk(Q)dr∑∑式(1)和式(2)往往只能對(duì)于幾何形狀和受φ(6i,52)1J,52)d)r"(Q)力形式簡(jiǎn)單的情況給出解析解,對(duì)于一般問題需利用數(shù)值方法求解。為了對(duì)式(1)和式(2)進(jìn)行U(P, Q)x邊界元分析,將物體邊界離散為N個(gè)單元,在每d(5,5)1J(61,5))(Q),(5)個(gè)邊界元素上對(duì)幾何采用八節(jié)點(diǎn)等參變換的插式中1J(6,)1為單元上的面力變換雅可比值函數(shù)逼近,邊界單元的離散模式如圖1所示。系數(shù)。x(Q)=∑M(51,52)x對(duì)每個(gè)配位點(diǎn)沿三維彈性體邊界進(jìn)行積分可以得到邊界元分析的代數(shù)方程組H(Q)=∑中(,)n利用(6)式,考慮邊界條件后,解線性代數(shù)方程4(Q)=∑v(5,52)r組,可得各點(diǎn)的位移和面力,在代人內(nèi)點(diǎn)物理量計(jì)算公式,便可確定內(nèi)點(diǎn)物理量值設(shè),x,a“分別表示單元局部編號(hào)為b,c的點(diǎn)的位移、坐標(biāo)、面力分量2角節(jié)點(diǎn)上的面力不連續(xù)問題其中當(dāng)節(jié)點(diǎn)位于非光滑邊界上(角點(diǎn)或棱邊)時(shí)中國煤化工CNMHG圖1八節(jié)點(diǎn)單元等變換98裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報(bào)第20卷發(fā)生表面力不連續(xù),這就意味著表面力為未知也就是說,先按重節(jié)點(diǎn)法生成HG矩陣的時(shí),對(duì)應(yīng)角節(jié)點(diǎn)建立的方程數(shù)少于所求的未知參元素,然后將B、C節(jié)點(diǎn)的相應(yīng)元素H3,HC加到量數(shù)。對(duì)于這類角節(jié)點(diǎn)表面力不連續(xù)問題,本文A節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的元素上,G矩陣不變。這樣A作為采用重節(jié)點(diǎn)法。設(shè)單元J和J+1在公共節(jié)點(diǎn)Q未知量被求解出來。有一不等于零的夾角a,并且2單元都位于位移或混合邊界上此時(shí),公共節(jié)點(diǎn)的未知量個(gè)數(shù)大3算例及分析于3,而問題總的未知量個(gè)數(shù)大于3N,如圖2(a)例1:材質(zhì)相同的兩彈性立方體接觸,如圖3所示。為了建立起足夠數(shù)目的方程,剖去Q而以所示,其中A(30mm×30mmx10mm),B(20A和B代替Q成為單元J,+1的節(jié)點(diǎn),如圖2mm×20mmx10mm),彈性模量E=1×103(b)所示。點(diǎn)A和點(diǎn)B距點(diǎn)Q點(diǎn)的距離取單元邊MPa,泊松比υ=0.2,摩擦因數(shù)μ=0,均布載荷q長(zhǎng)的001~0.1倍,因此可以認(rèn)為它們3點(diǎn)的位=1×104MPa移相等。由于在點(diǎn)A和點(diǎn)B至多可以建立6個(gè)方程,從而保證了總方程數(shù)目不會(huì)少于總的未知量數(shù)目。對(duì)于每一個(gè)力點(diǎn)可列出下面的方程HAH。H圖3兩立方體接觸模型主要節(jié)點(diǎn)(如圖4所示)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比見表1,其中應(yīng)力單位為MPa。文獻(xiàn)[7]采用三角形[…G、GGc…]{l(7)常數(shù)單元,A體劃分84個(gè)單元,252個(gè)節(jié)點(diǎn),B體劃分56個(gè)單元,168個(gè)節(jié)點(diǎn);筆者采用4~8可變節(jié)點(diǎn)二次元,A體劃分35個(gè)單元,55個(gè)節(jié)點(diǎn),B由于A=B=c,將未知數(shù)a來代替uB、uc,合體劃分25個(gè)單元,33個(gè)節(jié)點(diǎn),方程數(shù)目明顯減并系數(shù),可得方程少。本文法向應(yīng)力值與文獻(xiàn)[7]的值接近,切向[…H+H3+GeGe…]{日?qǐng)D4接角區(qū)上部分節(jié)點(diǎn)40+(+D中國煤化工CNMHG(a)具有3個(gè)以上未知量的節(jié)點(diǎn)Q(b)剖去角點(diǎn)Q后的邊界面圖2角節(jié)點(diǎn)模型第4期張秀珍等:邊界元角點(diǎn)問題的重節(jié)點(diǎn)法分析應(yīng)力值優(yōu)于文獻(xiàn)[7]的解?？紤]摩擦影響時(shí),接觸區(qū)略小于忽略摩擦的接觸區(qū),法向應(yīng)力和切向應(yīng)力略大于忽略摩擦?xí)r的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。F0.6表1主要節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果比較參數(shù)本文結(jié)果文獻(xiàn)[]結(jié)果.H女理論解法向力t(節(jié)點(diǎn)15)17.555×10法向力r(節(jié)點(diǎn)21)12.847×1034.102×103002040.60.81.012法向力t(節(jié)點(diǎn)29)8.500×108.430×103切向力r(節(jié)點(diǎn)15)2.632×10圖6接觸面壓力分布切向力r(節(jié)點(diǎn)21)1.601×102.118×10切向力r(節(jié)點(diǎn)3.3598.9×103結(jié)論例2:兩實(shí)心圓柱體非線性接觸問題:已知本文用等參插值逼近離散邊界積分方程,在兩圓柱半徑R=10cm,長(zhǎng)l=20cm,彈性模量E對(duì)角點(diǎn)問題的處理方面拓展了二維彈性問題的=2×103N/m2,泊松比υ=0.3摩擦因數(shù)μ=0重點(diǎn)法,將它應(yīng)用于處理三維彈性問題邊界條件圓柱頂部受均勻線載荷q=50kN/mm2作用。不連續(xù)問題,即用重節(jié)點(diǎn)法解決三維角點(diǎn)表面力考慮對(duì)稱性,取2個(gè)半圓柱作為計(jì)算模型,不連續(xù)問題,構(gòu)造了新的剛度矩陣,并通過數(shù)值如圖5所示,在下半圓柱的底面施加剛性約束算例表明了該方法的有效性與可行性。每一個(gè)半圓柱的表面分成28個(gè)8節(jié)點(diǎn)單元,共計(jì)有172個(gè)節(jié)點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果與理論解的比較見表參考文獻(xiàn)2。圖6為接觸面上沿接觸半徑的壓力分布?？蒣1 evelyn J. Use of discontinuous boundary elements for frac.以看出,計(jì)算結(jié)果與理論解吻合得很好。ture mechanics analysis[ J]. Engineering Analysis with Bound2“ Elements,19033[2] Rego Silva J J, wrobel L. C. F. A family of continuous/eiscontinuous three dimensional boundary elements with application to acoustic wave propagation[ J].Int. J.numer.Methodseng,1996,36:1661-1679[3] Blandford G.E. Two-dimensional stresstation using the boundary element method[ J].Int.J.Num[4]姚振漢鐘曉光邊界元法中邊界變量的確定及誤差的直圖5計(jì)算模型見度量[J].華中理工大學(xué)學(xué)報(bào),1989,17(6):288294[5] Blandford G E. Two-dimensional stress intensity factor compu表2圓柱接觸時(shí)最大接觸壓力Pn與接觸半徑rtations using the boundary element method J]. Int. J. Num.Herz解本文解Meth.Eng,1981,17:387404接觸區(qū)半徑r/cm2.400[6]申光憲,肖宏,邊界元法[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版最大正壓力Pn/MPa1322.48社,1998[7] Garrido, J A, Foces A, Paris F. An incremental procedure forStruct,1994,20:201215中國煤化工CNMHG