中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)2012年第6期逆平行的應(yīng)用浙江省瑞安市塘下中學(xué)葉挺彪(郵編:325204)定義11與△ABC外接例2設(shè)△ABC三邊長為a、b、c,D為圓在頂點C處的切線l平行直△ABC內(nèi)部一點,且DA=a,DB=b,DC=線A'B'稱為AB的逆平行線c;∠DAB=a2,∠DAC=a3,∠DBA=B如圖1,若A'B′逆平行于∠DBC=B,∠DCA=y,∠DCB=y2,求證AB且交CA、CB分別為點A′n) sin(a2+y:) sin(a3+B,則△A'B'C逆向相似于△ABC證明在DA所在射線上任取一點A,作莫要看它有點古怪,有時將起到出奇制勝的DA'B′=∠DBA=B1交DB于B功效.作∠DAC"=∠DCA例1從點P發(fā)出的三條射線與直線分別交X交DC于C于A、B、C(如圖2),設(shè)PA、PB、PC長分別為a如圖3所示b·c,記△PAB、△PBC、△PCA的外接圓半徑依不妨設(shè)DA′=bck,次為r、n.、n6,求證:ar=brb=c由△DAB'∽△DBA證明設(shè)∠APC△DAC∽△DA得圖3∠BPC=BDB=ak,DC′=abk,在PA所在射線上任取=bDB,DBC'c△DCB點A',作∠PAB'=∠B因此BCBO交PB于B';作∠PAC′D’=·ab′k=ak∠PCA交PC于C圖同理,AB′=ck,AC′=bk如圖所示.不妨設(shè)PA′=bck,又△ABC的三內(nèi)角:∠A=B+y,∠B則由△PAB′∽△PBA、△PAC′ca2+y2,∠C=a3+A3△PCA得故由正弦定理可得結(jié)論PB= uck. PC= abk定義2與四面體D-ABC外接球在點D隈一一4PCO△FB,處的切面平行面稱為平面的遞平行平面因此BC=BC設(shè)a的逆平行平面截四面體D一ABC交三棱依次為A′、B、C',如圖4,顯然△A'BC′三邊同理,A'B′=AB·,AC'=AC,硬依次逆平行于△ABC三邊.又∠BAC=∠PCA-∠B=B,事實上,若側(cè)面DAB交切面于直線l,則l是∠ABC=∠PCB-∠A=a△DAB外接圓的切線,而A'B'∥l,于是A'B'逆ACB'=∠A+∠B=x-(a+B),平行于AB因此在△A'B'C′中由正弦定理得例3設(shè)四面體D一ABC底面△ABC三邊BC·aAC·kAB·ck分別為a1、b、c,與才中國煤化工2stnac2,則以a1a2、b1b2、C1HCNMHG即rc.2012年第6期中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)37利用導(dǎo)數(shù)證明不等式中構(gòu)造函數(shù)策略探究湖北省大冶市第一中學(xué)黃俊峰袁方程(郵編:435100不等式的證明因其靈活多變、技巧性強著以當(dāng)x>1時,f(x)>f(1)=0,即x-1-ln2x稱.很多復(fù)雜的不等式證明,如果能靈活構(gòu)造函2alnx>0.故當(dāng)x>1時,恒有x>ln2x數(shù),并利用導(dǎo)數(shù),往往能獲得簡捷解決,而構(gòu)造相2alnx+1應(yīng)函數(shù)是關(guān)鍵.如何構(gòu)造、從哪里構(gòu)造函數(shù),許多評注:第(Ⅱ)問利用第(I)問的結(jié)論很容易同學(xué)找不到突破口,下面就此問題進行探究證明;(2)在判斷函數(shù)單調(diào)性的過程中,可能需要直接構(gòu)造對不能直接確定符號的部分還要構(gòu)造函數(shù)例1(2010年安微理科18題)設(shè)a≥0,2等價構(gòu)造f(x)=.r-1-In2x+2alnr(x>0).(I)A例2求證:當(dāng)a≥1時,不等式e-x-1≤F(x)=xf(x),討論F(x)在(0,+∞)內(nèi)的單ax2elxl調(diào)性并求極值;(Ⅱ)求證:當(dāng)x>1時,恒有x>2對于x∈R恒成立In'r-2alnx+1解(1)當(dāng)x≥0時,要使e-x-1≤解(Ⅰ)略2一成立,只需cs2+x+,即只需證(Ⅱ)分析本題要證明的不等式x>ln2x2alnx+1是由已知函數(shù)f(x)>0變形而來要明1≤,令f(x)則證明此不等式,只需要研究已知函數(shù)f(x)=xl·e-(x+1)e1-ln2x+2alnx(x>0)的單調(diào)性Cx)=ar t(e)2證明由a≥0知,F(x)的極小值F(2)=又a≥1,x≥0,故f(x)≥0,即f(x)在2ln2+2a>0.于是,對一切x∈(0,+∞),[0,+∞)上是增函數(shù),故f(x)≥f(0)=1,從恒有F(x)=xf(x)>0.從而當(dāng)x>0時,恒有成立f(x)>0,故f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加.所證明在圖4中,設(shè)有用的副產(chǎn)品:△A'BC′三邊為a1′、b1′、例4若以a1、b1、c1為三邊,以a2,h2,c2為ma:b:ci=araz其對棱有四面體存在,則以a1a2、bb2、c1c2為三邊,以b2c2、a2c2、a2b2,為其對棱有四面體也存在事實上,不妨設(shè)DA′=利用此命題可將與四面體邊長有關(guān)的關(guān)系b2c2k(k為比例常數(shù)),則由式通過這命題轉(zhuǎn)化為四面體的一些新的關(guān)系式△DAB'∽△DBA得從而達到探索有關(guān)規(guī)律的一種途徑AB′DA′DB,所以CICak參考文獻梁紹鴻.初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究(平幾)[M.北京:人民同理a′1=a1a2k,b1=b1b2k教育出版社,1979.17利用例3中的△AB'C三邊關(guān)系,為探索四2孔令恩中國煤化工換.數(shù)學(xué)通面體的有關(guān)新規(guī)律提供了一種途徑,有關(guān)四面體訊,1995HCNMHG不等式的探索,見文[2].同時我們順便得到一個(收稿日期:2012-09-26)