第22卷第6期重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào)Vol 22 No 62000年12月Journal of Chongqing Jianzhu University文章編號(hào)∶1006-732X20006-0001-04彈性動(dòng)力學(xué)的相似邊界元法程玉民1,彭妙娟2(1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海200072;2.上海大學(xué)土木工程系,上海200072)摘要時(shí)論了彈性動(dòng)力學(xué)邊界元法中邊界單元相似時(shí)單元之間的一些矩陣關(guān)系建立了相似邊界元法的公式。在一組相似單元中只要求得一個(gè)單元的相應(yīng)矩陣通過比例關(guān)系即可求得其它單元的相應(yīng)矩陣然后通過迭加建立代數(shù)方程組系數(shù)矩陣。與通常的每個(gè)單元都各自進(jìn)行積分計(jì)算相比本文方法可大幅度減少計(jì)算量。關(guān)鍵詞彈性動(dòng)力學(xué);邊界積分方程;相似單元;相似邊界元法中圖分類號(hào):O343文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A在邊界元法中要建立最終可求解的代數(shù)方程組需要在所有單元上進(jìn)行大量的積分運(yùn)算。當(dāng)單元數(shù)目較多時(shí)單元上積分的計(jì)算量將大大增加計(jì)算時(shí)間。在有限元法的研究中文1時(shí)論了單元相似時(shí)相似單元之間單元?jiǎng)偠染仃嚨年P(guān)系。在無限元法的研究中虹2地討論了單元相似時(shí)的情況。在邊界元法中若能建立相似單元之間相應(yīng)矩陣的關(guān)系則可以減少大量的積分運(yùn)算為此本文對(duì)彈性動(dòng)力學(xué)問題的邊界元法討論了邊界單元相似時(shí)單元之間的一些矩陣關(guān)系建立了彈性動(dòng)力學(xué)的相似邊界元法。在一組相似單元中只要求得一個(gè)單元的相應(yīng)矩陣通過比例關(guān)系即可求得其它單元的相應(yīng)矩陣然后通過迭加建立線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣。與通常的每個(gè)單元都各自進(jìn)行積分計(jì)算相比本文方法可大幅度減少計(jì)算量。彈性動(dòng)力學(xué)邊界元法對(duì)于均勻、各向同性的線彈性材料在小變形條件下運(yùn)動(dòng)微分方程為Ccf-c2 ) u; i ( x,t)+c2u; (x,)+f(x,)=u(x,t)xEn其中c1和c2分別為彈性體內(nèi)膨脹波和畸變波的傳播速度;為體力分量為彈性體所在的域,其邊界為rx=(x1x2,x3對(duì)三維問題咸x=(x1,x2〔對(duì)二維問題應(yīng)力和位移滿足如下邊界條件x,t)=rin;=p(x,)x∈r(2)u x t)= g(x t)∈和初始條件u(x0+)=;(xx∈g(x0+)=t(x)本構(gòu)關(guān)系為Ii (x ,t)=ol(ci-2c2 )um m( x , t )um m( x,THa中國煤化工(x,t))x∈CNMHG(4)其中r和r分別為已知面力和位移的邊界r∪T=Fδ為 Kroneker delta收稿日期2000-05-01基金項(xiàng)目國家自然科學(xué)基金作者簡介程玉民1965-)男山西人教授博士導(dǎo)師博士主要從事計(jì)算力學(xué)、大跨空間結(jié)構(gòu)研究。重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào)第22卷對(duì)式1)-(4)作用 Laplace或 Fourier變換即得相應(yīng)的變換域中的方程再應(yīng)用加權(quán)殘數(shù)法,得到彈性動(dòng)力學(xué)問題在變換域中的邊界積分方程Ck Q )u(o)=ukit dr-t hil dr+ufida(5)其中Q為邊界點(diǎn);k和t為基本解:C(Q是自由項(xiàng)與Q點(diǎn)處邊界的幾何特征有關(guān);;和;分別表示變換域中的位移和面力分量在無體力的情況下邊界積分方程5河離散為C(Q)(Q)=221,Nm從5d7t后N,),)d其中N為邊界單元數(shù)每個(gè)單元均為有M個(gè)節(jié)點(diǎn)的等參單元邊界節(jié)點(diǎn)總數(shù)為K;"n,"分別表示第n個(gè)單元第m個(gè)節(jié)點(diǎn)的i方向的位移和面力洲N()=12灬,M是形函數(shù)沃Jacobi行列式K安,)對(duì)嵌6進(jìn)行數(shù)值求解即得變換域中邊界節(jié)點(diǎn)的位移和面力分量然后由數(shù)值反變換求得時(shí)間域中的解。將邊界積分方程6瀉成矩陣形式〔CIU=Σ[ GIT)]-∑ HIUn=1其中U〕={u1},i=12…,,K為節(jié)點(diǎn)位移向量fUn]={n"},i=12灬…,M為單元n的節(jié)點(diǎn)位移向量fTn〕=〔t"〕,i=12灬…,,M為單元n的節(jié)點(diǎn)面力向量C〕為與〔U對(duì)應(yīng)的自由項(xiàng)矩陣;〔Gn〔H玢分別為與TnUn]對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣進(jìn)一步方程(8)寫為〔C〕+〔H〕U)=〔GT〕其中T]={t1}i=12灬…,,K為節(jié)點(diǎn)面力向量fH〔G是分別由Hnl〔Gn組裝而成的對(duì)應(yīng)于〔U〔T)的系數(shù)矩陣。2相似邊界元法由方程9冋知只要求得矩阼〔H〕和〔G〕,求解方程組即可求解。而〔H〕和〔G〕是分別由〔HnGn咀組裝而成的。要求得HnGn〕需要做大量的如下形式的積分thiN(s n) s n sdn=0(10)uNm(,)安dn(11)在非奇異單元上采用Gaus積分在奇異單元上需對(duì)奇異積分做消除奇異性或降低奇異性階數(shù)處理或利用剛體位移特解來求奇異積分相似邊界元法的基本思想是將彈性體所在的TH為減少形如01的積分的計(jì)算量本文V中國煤化工之了相似邊界元法。CNMH(條件或幾何形狀劃分為若干局部區(qū)域然后將每個(gè)局部區(qū)域剖分為若干相似單元建立相似單元上矩陣〔Hn〕及〔Gn〕的關(guān)系。在一組相似單元中只要求得某個(gè)單元上的Hn)和〔Gn)其它單元上的〔H和Gn即可由比例關(guān)系得到而不需再做積分運(yùn)算。下面來推導(dǎo)相似邊界元法的公式。第6期程玉民等彈性動(dòng)力學(xué)的相似邊界元法將一局部區(qū)域剖分為一組相似單元即有i= ax(12)z=az"-(如果需要的話)其中:x"〃和z"為此局部區(qū)域中第n個(gè)單元的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)a為比例常數(shù)。那么J(13)可得〔Hn]=a2Hn-1(14)〔Gn)=a2Gn-1(15)這樣就建立了相似單元之間矩陣〔Hn〕及〔Gn的關(guān)系。則在一局部區(qū)域中不論有多少單元只要通過積分求得〔H1)〔G1〕由式(14廂和式15)求得此局部區(qū)域中所有單元上的〔Hn]和〔Gⅷ而不必再做大量的奇異或非奇異積分運(yùn)算從而大幅度減少計(jì)算量。對(duì)二維問題有Jn aJ(16)〔Hn〕=a[Hn-1(17)3算例以下對(duì)突加載荷σ作用下的二維矩形中心裂紋板的應(yīng)力強(qiáng)度因子作了計(jì)算。矩形中心裂紋板的模型如圖1所示板長4cm寬2cm裂紋長度為2aa=0.24cm。材料的彈性模量E=2.0×105MN/m2泊松比ν=0.3質(zhì)量密度p=0.005MNs2/m4對(duì)I型對(duì)稱裂紋其動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式為k(1)=212x(4k1)-)(19)其中對(duì)平面應(yīng)變問題k=34y對(duì)平面應(yīng)力問題k=(3v)(1+v);Kt廂和v(t)分別為裂紋尖端單元上B點(diǎn)和C點(diǎn)在t時(shí)刻y方向的位移。計(jì)算所得的正則應(yīng)力強(qiáng)度因子(即K1(t)K1,K1為靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子)其與前人所- BEM-PLT做工作的比較見圖2。可以看出本文方法的計(jì)算結(jié)果與其它方法基本吻合。參考文獻(xiàn)HE中國煤化工力強(qiáng)度因子CNMHG[1] Leung AYT and Su RKL. Mode I Crack Problems by Fractal Two Level Finite Element Methods J). EngineeringFracture Mechanics 1994 A86)847-856[2]應(yīng)隆安.無限元方法(M〕北京北京大學(xué)出版社1992[3]嵇醒臧躍龍程玉民.邊界元法進(jìn)展及通用程序〔M〕.上海同濟(jì)大學(xué)出版社997重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào)第22卷Similar Boundary Element Method in ElastodynamicsCHENG Yu-min, PENG Miao-juan2(1. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University Shanghai 200072, Chian 2. Department of Civil Engineering Shanghai University Shanghai 200072 China)Abstract: For the boundary element method of elastodynamics some properties of matrices are discussed in case of similar boundary elements and the similar boundary element method is presented. In aseries of similar boundary elements when the corresponding matrices of a boundary element are obtained the ones of other boundary elements in the series can be obtained by proportion. Then the coefficient matrix of the last system of linear algebraic equations can be obtained by the method of superposition. Compared with the general boundary element method the computing speed can be raised bythe similar boundary element method given in this paperKeywords elastody namics i boundary integral equation similar boundary elements i similar boundaryelement methodH中國煤化工CNMHG