第23卷第3期經(jīng)濟數(shù)學Vol.23No.3.2006年9月MATHEMATICS IN ECONOMICSSep.2006煤炭資源最佳開采時期研究李新春(中國礦業(yè)大學管理學院,徐州,221008)摘要煤炭資源是一種不可再生資源,即耗竭性資源.現(xiàn)在的煤炭資源開采策略是一-種掠奪式的開采,不僅浪費資源,而且會使我國的煤炭將來很難滿足現(xiàn)代化建設(shè)的需要.為此,本文采用經(jīng)濟控制論模型試圖探討煤炭資源的最佳開采時期. .關(guān)鍵詞煤炭資源，開采時期,最佳1.引言我國煤炭資源目前已探明儲量近1500億噸,在全世界僅次于美國.我國的煤炭產(chǎn)量早在1989年就突破10億噸,居世界第-位.進入90年代,我國的煤炭生產(chǎn)已經(jīng)開始過剩,再加上地方小煤炭企業(yè)的無序生產(chǎn)和銷售,煤炭行業(yè)逐漸處于疲軟狀態(tài).到1999年底,國有重點煤礦76戶處于虧損狀態(tài),虧損面為80%,相當數(shù)量的煤炭企業(yè)瀕臨破產(chǎn).煤炭行業(yè)之所以走向低糜,其根本原因在于我國沒有對煤炭資源進行合理開發(fā).煤炭資源是一種不可再生資源.目前我國煤炭資源開發(fā)出以后僅作為能源供燃燒使用,而隨著科學技術(shù)逐漸發(fā)展,我們將會發(fā)現(xiàn)煤炭的其他新用途.同一單位的燒炭資源在不同時期開發(fā)所帶來的經(jīng)濟效益是不一樣的,即煤炭資源的價值具有時間效應(yīng).同一礦區(qū)的煤炭資源開發(fā)的時間選擇就成為我國煤炭資源最佳開發(fā)的關(guān)鍵問題.為此,本文構(gòu)造數(shù)學模型,計算一下如何最優(yōu)利用煤炭資源.2模型建立在建立模型前,首先定義一些變量:p(t)表示在時刻t煤炭資源的價格;q=f(p)表示人們對煤炭資源的需求函數(shù),df/dp<0;c=G(q)表示成本函數(shù),表示開采q單位煤炭資源時付出的代價;Q(t)表示時刻t的煤炭資源儲存量,Q(0)>0;T>0為終端時刻;p>0為社會貼現(xiàn)率.成本函數(shù)c=G(q)是開采量q的函數(shù),開采量應(yīng)等于需求量,需求量q又是價格p的函數(shù),因此成本又可看作價格p的函數(shù);c=G(q) = G[f(p)中國煤化工生產(chǎn)者利潤函數(shù)由下式表示;“THCNMHGπ(p)= pf(p)- g(p)萬些熟星期:2005-12-28一290一-經(jīng)濟數(shù)學第23卷當價格太低時,必然要虧本,因此存在一個價格使得利潤為0;當價格太高時,需求量降至很少，收入pf(p)也將很小,也要虧本,因此存在另一個較高的價格使利潤為零.當進行煤炭資源最優(yōu)利用的規(guī)劃時,是否只須考慮利潤最大就可以了呢?回答是否定的.我們還必須考慮消費者這-方的消費者剩余:消費者剩余=消費者愿意花的錢-實際花的錢當價格為p=p"時消費者剩余ψ(p° )定義為:(p*)= |'.f(p)dp上式中p表示煤炭資源的極限價格,即當資源價格高于此時將不存在消費者.生產(chǎn)者利潤有時也稱之為生產(chǎn)都剩余,它指的是生產(chǎn)者出售產(chǎn)品q之后所賺的錢.而消費者剩余可以理解為消費者獲得的收益.那么目標函數(shù)中應(yīng)同時考慮生產(chǎn)生產(chǎn)都剩余與消費者剩余,使其總和最大.當社會貼現(xiàn)率為P時目標可定為:maxJ=| [ψ(p) + π(p)]e- "dt另外,當市場需求量或生產(chǎn)者開采量為q= f(p)時,總儲量存量Q(t)將下降,單位時間內(nèi)下降的數(shù)量為q= f(p),即dQ(t)/dt=- f(p).由此,煤炭資源最優(yōu)利用問題可描述為:max J= [[4(分) + r(p)]e-*dts.t=- f(p)dQQ(0)為已知,Q(T)203. 模型分析令需求函數(shù)為f(p)=β- p(p為常數(shù)),成本函數(shù)為G(q)=q'=(p- p)”,則生產(chǎn)者利潤函數(shù)為r(p)= p(p- p)-(歷- p)”,消費者剩余函數(shù)為ψ(p)=|' (p-s)ds= (p-p)Jp-它。二上。于是,資源最優(yōu)開采模型為maxJ=[(p-p)-1+p(p-p)-(幣- p)2 |e -"dts.t.=一(P-p)Q(0)為給定值,Q(T)≥0現(xiàn)采用最大值原理求解以上模型,作哈密爾頓函數(shù):H=[F(p-p)-芒;R+p(β-p)-(幣- p)*]e-*+λ[-(幣-p)]中國煤化工巴三-(-0門*+2(p-FpMHCNMHG依極大值原理有必要條件:采取的價格策略p應(yīng)使得哈密爾頓函數(shù)值取極大.拉格郎日算子λ_aH滿足λ==0.系統(tǒng)狀態(tài)方程為Q(t)= -(p- p).由此可以解出第3期李新春:煤炭資源最佳開采時期研究Q(t) = -+ Q(0)從該式求出常數(shù)cc=頭(Q(7)-Q(0)+到下面分幾種情況討論解的含義:第1種情況:當T/3≤Q(0) ,即TS3Q(0)/F時,若令Q(T)=0,即終端時刻正好煤炭資源耗盡,且令T= 3Q(0)/p,則可知:c= 0,p= 2p/3.計算表明,當采用價格p= 2p/3開采煤炭時，在T= 3Q(0)/F時煤炭資源耗盡;且目標值最大.第2種情況:若在T"時資源耗盡,即Q(T*)=0，c=3p (0- Q(0)與第1情況不同,在這種情況下:T*>3Q(0)/p .p(T")=影+一(雪一Q(o)-在終端時刻T* ,p(T* )應(yīng)等于p,以使得煤炭資源耗盡,需求為零.因此有p(T")=號p+g°(BT*-Q(0)|e"=F通過上式,可以把資源耗盡的終端時間T"求出,得.T. .1二-+ 32(0)此時有e-pT*pT*一3Q(0)|erp()=鄂p+ -3Q0)0一3=烏(2 +exu-r*)由此可知最優(yōu)價格策略為:p(t) =專(2+ec-"*),t≤T',t= T*從以上兩種情況的討論結(jié)果來看,對煤炭資源,如果要在較短時間骨耗盡它,那么決策者可采用較低的價格,直至資源枯竭.如是打算長期使用該資源,那么應(yīng)逐步提高資源價格,直至資源開采完畢.如果p=0,它表明對資源開采出來在現(xiàn)在使用利中國煤化工么有:p(t)= pMYHCNMHG即在這種情況下,煤炭資源應(yīng)封凍不要開采,永久保存.這當然不合實際情況.因為隨著自然科學的進步,新資源、新技術(shù)將不斷被發(fā)現(xiàn).資源現(xiàn)在開采比未來開采困難,即p不會為0... 如果g→∞,現(xiàn)在開采比未來使用效用大無窮多倍.從上可知,當t