第15卷北京印刷學(xué)院學(xué)報2007年12月Vol 15 No 6Journal of Beijing Institute of graphic CommunicationDec.2007機構(gòu)中的碰撞動力學(xué)趙振(北京印刷學(xué)院,北京102600)摘要:多點碰撞問題一直是多剛體動力學(xué)的難題之一。性等諸多問題。把 Keller方法拓展到多點碰撞問題上,通過給定局部的力第二類采用速度的跳斷規(guī)律來解決碰撞問題。位移模式,獲得壁撞法向沖量的增量比,而這一比值與局每一個碰撞和沖擊的發(fā)生都是由于系統(tǒng)非協(xié)調(diào)狀,部累計能量相聯(lián)系。干是這一方法從本質(zhì)上揭示出壁撞態(tài)導(dǎo)致的劇烈的相互作用,通過跳斷規(guī)律的引入,過程是一個能量的交換和傳遞的過程。避免了對劇烈相互作用引起的復(fù)雜的動力學(xué)行為關(guān)鍵詞;多點碰撞;摩擦;沖量中圖分類號:TS113文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A的精細(xì)處理。 Newton恢復(fù)系數(shù)就是采用這文章編號:1004-8626(2007)06-003503方法解決兩質(zhì)點的碰撞問題,后來 Whitaker把Newton的這種方法發(fā)展到含摩擦碰撞問題上Multi-Impact Dynamics in MechanismKane在應(yīng)用這種方法到多同體系統(tǒng)時,遇到了碰ZHAO Zhen撞后系統(tǒng)的動能比碰撞前系統(tǒng)的動能增加的Beijing Institute of Graphic Communication“Kane動力學(xué)之謎”1。后來 Stronge2直接定義Beijing 102600, China)能量恢復(fù)系數(shù),以反映局部碰撞過程的能量收放Abstract: Multi-impact is one of the more difficult problems特征。 Keller利用近似沖擊動力學(xué)方程來反映A method for multi-impactpresent on the basis of Keller's impact equations. The rela空間兩剛體碰撞過程的復(fù)雜微運動形式。我們把tionship between the increment ratios of normal impulses ofKelr的方法發(fā)展到多剛體的單點碰撞問題上different impact points and the local accumulative energy is最近,在單點碰撞的基礎(chǔ)上,我們又給出了多點碰discovered if the contact force-displacement mode is given.撞問題的解決辦法。The method indicates that impact is a process for energyexchange and transfer in nature.學(xué)術(shù)界曾經(jīng)想把多點碰撞問題分解為兩點碰撞Key words: mul問題,但同時發(fā)現(xiàn)不同的碰撞序列獲得不同的跳斷規(guī)律,而實際機構(gòu)的碰撞結(jié)果往往是穩(wěn)定的。機構(gòu)的動力學(xué)仿真是機械設(shè)計和制造領(lǐng)域發(fā) Ceanga V和 Hurmuzlu y把球鏈的碰撞分解為3展的內(nèi)在要求。而碰撞和沖擊的存在又使得仿真?zhèn)€球的碰撞問題,認(rèn)為碰撞傳遞過程中,相鄰3個球工作變得困難。怎樣建立起高效而且經(jīng)濟(jì)的碰撞的沖量比為常數(shù),然后以3個球為單位,延伸到多個動力學(xué)模型,從而迅速地把握機構(gòu)的整體動力學(xué)行球的碰撞。把多點碰撞問題分解為單點和兩點問題為,成為機構(gòu)仿真問題的重要課題。從目前學(xué)術(shù)界很大程度上存在著過多的人為假定。影響實際機構(gòu)的發(fā)展水平來看,解決碰撞問題分成兩大類別的多點碰撞結(jié)果的因素很多,例如碰撞點的分布,各第一類采用局部的柔化模型來解決碰撞和接個碰撞點的相對速度,碰撞點的接觸剛度比以及碰觸問題。局部模型可以采用局部的數(shù)學(xué)模型,也可撞時機構(gòu)的整體構(gòu)型等。這些因素相互映影響,很以采用局部的有限元模型。局部柔化模型的應(yīng)用難分解成獨立的兩點或者三點碰撞表明,采用怎樣的接觸剛度對機構(gòu)運動影響很大系統(tǒng)中碰撞與非碰撞、接觸與非接觸等不同尺度的1多點碰撞動力學(xué)運動形式并存的現(xiàn)象,需要多尺度的計算技巧,而V凵中國煤化工碰撞問題時利用多尺度計算本身存在著計算結(jié)果的收斂性和穩(wěn)定系統(tǒng)CNMHG廣義沖量貢獻(xiàn)的假設(shè)條件,把碰撞問題轉(zhuǎn)化為沖量空間的一階微分基金項目北京市教委科技發(fā)展面上項目(KM600150程問題。北京自然科學(xué)基金資助項目(1062007這里,我們?nèi)匀焕眠@兩個假設(shè)條件,給出碰北京印刷學(xué)院年撞動力學(xué)微分方程們的增量之間存在一種比值關(guān)系。我們利用沖擊模型來導(dǎo)出這種關(guān)系。a;d4=>(W%., dPN ;+wi. dPi.j)1.1法向沖量之間的增量比=1,2,…,n(1)這里,我們引人碰撞的法向局部模型利用Klr的沖量方法處理沖擊問題時,把Ay=K(6,(q,t)?j=1,2,……,s(2)沖擊過程看作廣義速度隨法向沖量變化的過程。其中j代表第j個接觸點∷λN,為法向接觸力;對于單點碰撞問題,法向沖量只有一個,把它視為K,為接觸剛度;(q)為局部刺穿深度,它是系統(tǒng)位自變量然后對碰撞過程積分,可以獲得碰撞后的形q的函數(shù);是冪系數(shù),對于 Hertz接觸,n=3/2狀態(tài)速度。所以對于單點碰撞問題,相對容易處通過計算,可以獲得不同接觸點,點和l點之理。但是對于多點同時碰撞,法向沖量有多個,它間法向沖量增量的分配比為K,六“∑(+9)P+(1+2k(3)dPq,tat(l+nKi在沒有預(yù)壓力或者預(yù)壓力可以忽略不計的情其中e灬,表示第j對接觸點的 Stronge能量恢況下(一般都可以忽略:預(yù)壓力有限,K,都很大),復(fù)系數(shù)。W為碰撞恢復(fù)階段接觸力所做的功,為Ax,(0)=0,(3)可得:負(fù)值;W。為壓縮階段接觸力所做的功,為正值。t為壓縮最大點時刻,可以利用相對速度由正變?yōu)樨?fù)的條件來判斷。t為碰撞結(jié)束點,利用恢復(fù)系數(shù)20)dP4:+ate,來判斷。在碰撞過程中,如果某一對碰撞點在恢復(fù)階所做的功滿足(6),我們就可以認(rèn)為這一點的碰撞公式(3)或者(4)就提供了(s-1)個獨立的結(jié)束了。如果所有點的碰撞都結(jié)束了,整個多點碰方程撞過程也就結(jié)束了12切向沖量與法向沖量之間的 Coulomb摩擦定律2平面圓盤的兩點碰撞(見圖1)我們假設(shè)庫侖摩擦定律是成立的dP,=-psgn(+)dP,計≠0≤H,dPNift;≡0其中,是接觸點的切向相對速度。通過式(5),就可以消去(1-4)中的dP1.3 Stronge的能量恢復(fù)系數(shù)公式(1),(5)再加上(3)(或者(4)只是提供了碰撞過程中的控制方程,但是我們并不知道碰撞什圖1平面圓盤么時間結(jié)束。 Stronge的能量恢復(fù)系數(shù)提供某2.1碰撞的動力學(xué)對接觸點局部應(yīng)變能的吸收與釋放特征,可以用作均質(zhì)圓盤,在無重力場的條件下,由右向左貼判斷一對接觸點碰撞是否完成的判據(jù)。著平面與斜面發(fā)生碰撞,接觸點非理想,假設(shè)切向WodP滿足庫侖摩擦(圖1)。廣義坐標(biāo)(x,y,0),其中xy為質(zhì)心坐標(biāo),0為圓盤轉(zhuǎn)角中國煤化工q(6)CNMHG-dPisinPN, u aq2mrde=dPi+ dP第6期趙振:機構(gòu)中的碰撞動力學(xué)37法向沖量分配比:設(shè)接觸模型滿足:λN=K,(q)",=1,2接觸點1其中:61rcosθ。那么沖量增量比為q, dPdP,/K, 315000dP積分步數(shù)dp接觸點法向速度對比(-y-rtsing)dPI接觸點(-tsina +ycosa-rosine)dP22.2較為簡單的碰撞形式接觸點2物理參數(shù)m=1,r=1,K1/K2=1,線性模型n1,能量恢復(fù)系數(shù)e,=1,動摩擦系數(shù)μ=1,靜摩10000擦系數(shù)p=1.5。a=π/4積分步數(shù)圖5切向速度變化對比圖2和圖3是整個碰撞過程中,接觸點1和2存在著無數(shù)次碰撞的沖量累計,我們發(fā)現(xiàn)在開始階段,接觸點1的作計算參數(shù)設(shè)置如下:用并不十分強烈(累計法向沖量變化不大),兩個接a=π/6,e,=1,p=2,p=3其他參數(shù)與3.2相觸點并沒有同時到達(dá)最高點,說明碰撞過程中各個同。計算結(jié)果如圖6所示。接觸點的作用并不是一致的。而當(dāng)接觸點1結(jié)束碰撞之前,接觸點2又開始了第二次碰撞(圖3最后階段)。圖5中我們發(fā)現(xiàn)兩個接觸點的切向運動交替黏滯,伴隨著能量的交替轉(zhuǎn)換。2.3多次碰撞形式當(dāng)a較小,摩擦系數(shù)較大時,平面圓盤會出現(xiàn)多次碰撞,伴隨著局部能量的交替轉(zhuǎn)換,直到動能積分步數(shù)/x104損失殆盡為止,碰撞后圓盤被卡住。整個碰撞過程圖6接觸點1累計法向沖量參考文獻(xiàn):[1 Kane T R. David A, Levinson, Dynamics: Theory and Ap-plications[M. New York: McGraw-Hill. 1985[2] Stronge W J. Rigid body collisions with friction[J].Proceedings of Mathematics and Physics Sciences, 1990, 431(18)積分步數(shù)[3]Keller J B. Impact with friction[J]. Transactions of ASME圖2接觸點1累計法向沖量rnal of Applied Mechanics, 1986, 53(1): 1-4[4] Zhao Zhen, Liu Caishan, Chen Bin. The Numerical methodfor three-dimensional impact with friction of multi-rigid-bodysystem[J]. Science in China Ser, G, 2006, 48(6): 1-19a215to. Nonsmooth Mechanics[M]. London: Spring中國煤化工CNMHGk at an old problemsPried Mechanics-Transac100005000tions of the AsMe, 2001, 68(4): 575-583.圖3接觸點2累計法向沖量(責(zé)任編輯:周宇)