第8卷第5期2006年9月須面牌Sept. 2006分形理論王啟文(呼倫貝爾學院物理系,內(nèi)蒙古海拉爾區(qū)021008)摘要:本文介紹分形理論的產(chǎn)生與發(fā)展現(xiàn)狀,讓初學者了解這一非線性科學中的又一角色在我們認識復雜世界的思維過程中的重要性,讓我們再一次看到自然界的混沌性。希望更多的有志青年投入到貫穿各個領域的非線性科學的研究中。關鍵詞:分形;混沌;分維;非線性中圖分類號:O4155文獻標識碼:A文章編號:1671-9972(2006)05-005404大家知道,以經(jīng)典歐幾里德幾何為基礎的傳統(tǒng)數(shù)我們周圍的許多不規(guī)則和支離破碎的形狀,并通過鑒別學,研究的都是一些簡單化、規(guī)則化、模型化的東西。出一族我稱為分形的形狀,創(chuàng)立了相當成熟的理論?！钡?奧妙、神奇的大自然展現(xiàn)給我們的往往都是復雜且具有不規(guī)則幾何形態(tài)的物質(zhì)世界,展示給我們的是奇妙的分形。如:圖-1和圖-2中的分形和混沌勾勒出了豐富多彩的真實世界。l2在非線性科學中,分形與混沌有著不同的起源,但它們又都是非線性方程所描述的非平衡的過程和結果正如分形理論的創(chuàng)立者芒德布羅(B. B Mandelbrot)在他的名著《大自然的分形幾何學》中開始就說:“為什圖-1蕨類植物的葉么幾何學常常被說成是‘冷酷無情’、‘枯燥乏味’的?原因之一在于它無力描寫云彩、山嶺、海岸線或樹木的形狀。云彩不是球體、山嶺不是錐體、海岸線不是圓周、樹皮并不光滑、閃電更不是沿著直線傳播的.。這些圖形的存在,激勵著我們?nèi)ヌ剿髂切┍粴W幾里得擱置在邊、被認為是‘無形狀可言’的形狀,去研究‘無定形’的形態(tài)學。然而數(shù)學家們蔑視這種挑戰(zhàn),他們越來越多地選擇了、想出了種種與我們看得見或感覺得到的圖-2科赫雪花任何東西都無關的理論來逃避大自然。作為這個挑戰(zhàn)的回答,我構思和發(fā)展了大自然的一種新的幾何學一分1.分形理論的產(chǎn)生與發(fā)展形幾何學。并在許多不同領域中找到了用途。它描述了分形理論是非線性科學研究中十分活躍的一個分支,它的研究對象是自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不收稿日期:20060721責任編輯:王婷婷光滑和不規(guī)則的幾何形體。分形理論的數(shù)學基礎是分作者簡介:王啟文(1963-),男,蒙古族,呼倫貝爾學院物理系副形幾何。教授,主要從事大學物理的教學、統(tǒng)計物理及非線性混沌分形理論的基本思想起源于20世紀初、發(fā)展于20理論的研究世紀60年代后。創(chuàng)立分形理論的代表人物為美國數(shù)學家、美國科學院院士芒德布羅(B.B. Mandelbrot)。1960的等邊三角形并挖去中間的一個,如此分下去,最后所年,芒德布羅到哈佛大學去講課,發(fā)現(xiàn)自己硏究的經(jīng)濟得到的圖案便構成一個無窮層次的自相似結構,稱為席模式中高低收入的分布圖與利塔沃經(jīng)濟中心大廈黑板爾賓斯基墊片或箭頭圖案。上的棉花價格變動圖是一樣的,他不無怨氣地開玩笑說:“我的圖怎么能在做報告前就畫出來了呢?”,之后,他轉(zhuǎn)向為分析棉價變化。他采用一種特殊的變換尺度的方式考察棉價變化的內(nèi)在序列,驚人地發(fā)現(xiàn)了:盡管棉價的每一次變好是隨機的,但價格的日變化和月變化的曲線竟然完全一致!這就是說,在大量的無序的數(shù)據(jù)里存在著一種出乎意料的有序。圖-4席爾賓斯基墊片芒德布羅又從“英國的海岸線有多長”的問題著手進行研究,提出了一個驚人的論點:任何一段海岸線都2.3.席爾賓斯基地毯( Sierpinski carpet);:如圖5是無限長的。雖然一條曲折的海岸線不能精確測量,但個正方形,等分為9個小正方形并挖去中間的一個,把它卻有某種特征量,就是分形所揭示的分數(shù)維數(shù),可以剩下的八個又這么處理,如此做下去,最后得到一個無對分形對象內(nèi)部的不均勻性、層次結構性的整體數(shù)量特窮層次的自相似結構,稱為席爾賓斯基地毯。征進行刻畫。分形的意義在于摸索自相似,自相似是跨越不同尺度的對稱性,圖案之中套圖案。1975年,芒德布羅用“分形”一詞囊括了其思想,相繼出版了杰作《分形對象——形、機遇和維數(shù)》、《分形——形、機遇和維數(shù)》、《大自然的分形幾何學》三本專著。在這些專著中,第一次系統(tǒng)地闡述了分形幾何的思想、內(nèi)容、意義和方法。這些專著的發(fā)表標志著分形幾何作為一個獨立的學科正式誕生。圖-5席爾賓斯基地毯1998年,研究幾何與混沌的麥克·馬倫獲菲爾茲獎再一次說明了混沌、分形理論在科學研究領域的地位以上是人為的理想的自相似結構,在真實的宏觀世界中也能看到各種自相似結構。當然物體總是不可避免地受到環(huán)境的各種隨機的作用,這就使得所形成的自相似結構不可能是嚴格規(guī)則的,只是大體上或統(tǒng)計意義上的自相似,這種分形稱為統(tǒng)計分形或無規(guī)分形。3453.分形與混沌的關系20世紀70年代,混沌和分形都處在草創(chuàng)階段,兩圖-3康托爾集者表現(xiàn)得風馬牛不相及。當時,混沌理論只為少數(shù)專家學者所知,可混沌不是完全無序,它包含著豐富的內(nèi)部2.幾種理想的規(guī)則分形結構,可以出現(xiàn)所謂的奇怪吸引子,它有無窮層次的自2.1.康托爾集( Cantor set):如圖-3,這是康托爾于相似結構。因此,混沌與分形應該說有很深的內(nèi)在聯(lián)系。1883年首先提出來的一種一維空間中的自相似結構,取芒德布羅的理論并沒有提及混沌動力學本身,但這些著一直線段(0,1),把它分為3等分,然后去掉當中一作中包含許多與混沌直接相關聯(lián)的論題,如流體湍流和段,對留下的每一段又三等分并去掉其中間一段,如此宇宙的大標度結構?；蛟S最基本的分形結構就是奇怪吸不斷地做下去,留下的所有線段就構成了所謂的康托爾引子所顯露的客體,所以現(xiàn)在習慣把奇怪吸引子定義成集。顯然康托爾集構成了一個無窮層次的自相似結構分形吸引子。于是 Hausdorff發(fā)明的分維被芒德布羅發(fā)2.2.席爾賓斯基墊片( Sierpinski gasket):如圖-4,取現(xiàn)并利用,成為描述吸引子結構的一個定量特征參數(shù)。一個等邊三角形,將其分割為4個大小相等的等邊三角因而如今在科學中分形以兩種不同的方式出現(xiàn):作為研形并挖去其中間的一個,對剩下的三個又各分為4個小究不規(guī)則過程和形式的一種描述性工具;作為內(nèi)在混沌動態(tài)的一種數(shù)學推論數(shù)系統(tǒng)( Iterated Function System,簡稱IFS)出發(fā),可混沌表示的不是無序和混亂,而是某種不規(guī)則性定義(隨機)移位動力系統(tǒng),而移位動力系統(tǒng)正是一個更像是沒有周期性的次序。因此,混沌和分形是數(shù)學兄混沌動力系統(tǒng)。所以,如果把混沌廣義地看作是具有自弟,它們都與不規(guī)則結構斗爭得難解難分。在它們中間,相似的隨機過程和結構,則分形也可看作為一種空間混幾何想象至關重要,混沌運動的高度無序和混亂性反映沌。反之,混沌運動具有在時間標度上的無規(guī)自相似性在分形的無窮復雜性上。奇怪吸引子是混沌運動軌跡經(jīng)它也可以看作是時間上的分形。即分形是空間上的混過長時間之后所形成的終極形態(tài),沒有明顯規(guī)則和次沌,而混沌是時間上的分形序,由許多回轉(zhuǎn)曲線構成,不同層次間存在自相似性,所以,分形是描述混沌運動的一種幾何語言。不過幾何4.分形維數(shù)學在混沌中附屬于動力學而在分形里則居統(tǒng)治地位。如維數(shù)是空間和客體(集合)的重要幾何特征量。如:果說分形幾何為吸引子的內(nèi)部結構提供了一個很實用相空間的維數(shù)就是描述動力系統(tǒng)運動所需要的變量個的語言,那么,混沌運動則被認為是產(chǎn)生分形結構的根數(shù)或自由度數(shù)。而在吸引子中,維數(shù)則說明了該吸引子源之一。所以混沌和分形有著密切的聯(lián)系。中點的密集程度或刻畫它所必需的信息量。芒德布羅推在非線性科學中,混沌和分形有著不同的起源,但廣了維數(shù)概念、得到了分形維數(shù)簡稱分維( fractal它們又都是非線性方程所描述的非平衡過程和結果,這 dimension),其定義有多種,現(xiàn)簡介如下:表明它們有著共同的數(shù)學祖先—動力系統(tǒng)。4.1.拓撲維數(shù)分形起源于對不規(guī)則集合的研究(如:彎彎曲曲的在經(jīng)典幾何學中,維數(shù)是形體的一個重要特征量,海岸線、凸凹不平的路面等自然物的表面幾何形狀,數(shù)即為了確定幾何形體的每一個點在空間中的位置所需學中處處連續(xù)而不可微的函數(shù)等“邏輯怪物”或“病態(tài)”要的獨立坐標的數(shù)目。在平直的歐氏空間里,形體的維函數(shù),這些都屬于不規(guī)則點集);混沌則起源于對非線數(shù)是顯然的:點是零維的;線是一維的;面是二維的;性動力學的研究,即混沌是研究非線性確定性方程所具體是三維的。對點、線、面、體這樣的幾何形體在連續(xù)有的內(nèi)在隨機性在時間上的非周期過程。簡單地說,分拉伸、壓縮、扭曲等形變下,其對應的維數(shù)是不變的、形來自于對幾何學的研究,而混沌則產(chǎn)生于對物理學的是正整數(shù),我們稱此維數(shù)為拓撲維數(shù)。研究4.2.豪斯多夫維數(shù)它們又具有類似性?；煦缰饕芯糠蔷€性動力學系測量一個幾何形體大小所得到的數(shù)值N與形體維統(tǒng)的不穩(wěn)定的發(fā)散過程,但系統(tǒng)狀態(tài)在相空間中總是收數(shù)(拓撲維數(shù))和測量的標度(長度單位)1有密切關斂于一定的吸引子,這與分形的形成過程十分相似。因mN(2,若1足夠小,則上式與此,若說混沌主要研究非線性系統(tǒng)狀態(tài)在時間上演化過程的行為特征,那么分形則主要研究吸引子在空間上的無關。這對任何大小和形狀的幾何體都成立。對通常的結構?；煦邕\動的隨機性與初始條件無關;而分形結構幾何體而言,d是整數(shù)。1919年,德國數(shù)學家豪斯多夫的具體形式或其無規(guī)則性卻與初始條件有著密切的關( FHausdorff)認為,可以把上式推廣到維數(shù),則d不系?；煦缥优c分形都具有自相似性,所以二者是從一定取整數(shù)。人們便將此定義的維數(shù)d稱為豪斯多夫不同側(cè)面來研究同一個問題的。維數(shù)( Hausdorff dimension),并記作dn,即從理論上說,動力系統(tǒng)既與混沌存在著一定的關In N(l)系,又與分形有著密切的聯(lián)系。動力學與混沌的關系是動力系統(tǒng)存在混沌必須滿足三個條件,即對初始條件的4.3.容量維數(shù)敏感依賴性、具有拓撲傳遞興致、周期點的稠密性。這豪斯多夫維數(shù)的式子是以被測幾何體的容量大小三個條件正對應著產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的三個條件,即不可預進行分析計算的,因此通常叫做容量維數(shù)( capacity測性、不可分解性及有一定的規(guī)律成分。對初始條件的 dimension),可記作d,又稱盒維數(shù)( box dimension敏感依賴性在動力系統(tǒng)中表現(xiàn)為其長期行為的不可預或 boxcounting dimension),記作db測性;拓撲傳遞性表明,動力系統(tǒng)不可能被分解成兩個4.4.相似維數(shù)( similarity dimension)或幾個互不影響的子系統(tǒng);周期點的稠密性表明,動力設幾何體的體積壓縮比為k,線度壓縮比為λ,幾何系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌并非完全無序,而是有一定的規(guī)律成體的維數(shù)為d,則它們之間的關系是分。動力系統(tǒng)與分形的關系在于:從生成分形的迭代函將這一概念推廣應用于分形,由于分形的自相似的山脈、蜿蜒曲折的江河、彎彎曲曲的海岸線、天空中性,線度變小(縮小)仍將得到與原分形體相似的子集。變化無窮的積云、漫天飛舞的雪花、郁郁蔥蔥的森林、設此分形體是由k個與之相似的不相交子集所組成,于材料無規(guī)則的裂紋等等,這些都是變化無窮的曲線。雖是推廣上式可得然它們處處連續(xù),但并不處處可微,顯然傳統(tǒng)的數(shù)學已經(jīng)無法用來描述它們。因此,這類幾何客體往往被排斥在研究對象之外,并稱之為“病態(tài)”客體,從而使經(jīng)典d3是與此分形體的結構有關并有維數(shù)特征的特征量,數(shù)學陷入了危機,于是分形幾何便應運而生。分形概念稱為相似維數(shù)。產(chǎn)生后,許多自然界中的復雜現(xiàn)象及問題得到了很好的除了以上維數(shù)外,還有標度關系、多重分形等關于解釋。如用分形理論研究湍流和相變、研究中醫(yī)病理、分形結構的描述。在此就不再一一講述。6n研究癌變機制、研究地震預報、硏究高分子凝膠等等,對此,傳統(tǒng)理論一直感到困惑,但有了分形理論后,這5.分形研究的意義些問題便有望得到解決。特別是越混亂、越無規(guī)則、越現(xiàn)在,分形理論已應用到了各個領域,人們已提出復雜的領域,分形理論越能顯示出其有效性,因此有人了自然分形、時間分形、空間分形、社會分形、思維分稱它是“反常科學”。它從另一極端對傳統(tǒng)科學提出了形等概念。其重要意義如下嚴峻的挑戰(zhàn),同時又給傳統(tǒng)科學提供了天然的彌補和深第一,分形理論沖破了整體與部分之間的隔膜,找刻的啟示。到了從部分過渡到整體的媒介和橋梁,即整體與部分之間的信息“同構”。第二,分形理論的提出,轉(zhuǎn)變了人們傳統(tǒng)的思維方參考文獻法,認識到整體與部分之間的關系可由線性進展到非線王啟文,陳紹英,混沌研究點滴[,呼倫貝爾學院學報,2005(6性的階段,且它與系統(tǒng)論還能共同揭示整體與部分之間2]陳紹楹,王啟文,分形理論及其應用J.呼倫貝爾學院學報的多層次、多視角、多維度的關聯(lián)方式。2005(2)第三,分形理論為人們提供了一種認識世界的新的(3]劉秉正,彭建華.非線性動力學[M.北京:高等教育出版社,方法論,進而為人們提供了從部分中認知整體,從有限中認知無限的可能和依據(jù)4]黃潤生,混沌及其應用[M,武漢:武漢大學出版社,2000第四,分形理論的提出進一步豐富和深化了唯物辯5]郝柏林,混沌與分形——郝柏林科普文集[M.上海:上?？谱C法關于普遍聯(lián)系和世界統(tǒng)一性的原理,它與混沌理論技出版社,2004起構成了非線性科學的重要基礎。896](美)EN洛侖茲,混沌的本質(zhì)[M,北京:氣象出版社,19977]李淅生,倏忽之間—一混沌與認識M,北京:冶金工業(yè)出盡管經(jīng)典幾何所研究的對象是規(guī)則而光滑的幾何形狀,如一條幾何曲線總是處處連續(xù)且處處可微,然而,8]苗東升,劉華杰,渾沌學縱橫論[M.北京:中國人民大學出自然界中往往存在著千姿百態(tài)的自然形狀,如起伏不平版社,1992.Fractal TheoryWang Qi-wen( Hulunbeier College Physics Department, Hailaer, Neimenggu, 021008, ChinaAbstract: The article introduces the formation and development situation of the fractal theory, in order to let beginnersknow it is a new part of the nonlinear science and its importance in understanding the process of thinking in such acomplicated world. We could see the chaos of nature again. Hope more aspiring young people join the research of thenonlinear science which runs through various fieldsKey words: fractal; chacfractal dimensionnonlinear