第28卷第1期工程數(shù)學學報Vol. 28 No. 1011年02月CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSFeb.2011文章編號:1005-3085(2011)01-0028-09非空可測集劃分的破碎度量研究←郭嗣琮(遼寧工程技術(shù)大學理學院,遼寧阜新123000摘要:為解決材料科學中物體破碎度量的數(shù)學刻畫問題,本文將物體的破碎抽象為具有有限測度的可測集合的一個劃分,在分析了用碎塊測度描述物體的破碎概念應(yīng)滿足的準則的條件下,依照破碎準則構(gòu)建了一個能夠刻畫物體破碎程度的劃分測度函數(shù),得到了幾何物體破碎程度的數(shù)學表達式同時,研究了所提岀的破碎度函數(shù)的一些性質(zhì),并討論了幾個方面的應(yīng)用.破碎度的數(shù)學表述可以廣泛地應(yīng)用于礦物加工、巖石爆破、醫(yī)藥與食品加工等諸多領(lǐng)域.關(guān)鍵詞:測度;劃分:破碎度;完整度;劃分測度函數(shù)分類號:AMS(200028E15中圖分類號:O143文獻標識碼:A1引言破碎度的概念被廣泛地使用在材料科學,2、爆破科學β,、煤礦安全、地理信息科學和旅游景觀評價以及醫(yī)藥、食品加工等諸多領(lǐng)域.然而,至今在數(shù)學上對破碎度仍沒有一個統(tǒng)一的刻畫方式.盡管熵的概念可以描述事物的多樣性,但是用來刻畫物體的破碎程度還存在不足之處.分形理論S似乎是以“破碎”的幾何體為研究背景,但是人們也只是局限于討論破碎幾何體的分形維數(shù)⑨.事實上,在工程實際和日常生活中,由于觀察對象和研究目的不同,人們對于破碎的理解和描述也不同,因此,破碎度概念本身也難以給出統(tǒng)一的定義.例如,在以粉碎物體為目標的工作中,人們會用被破碎的小碎塊測度(如體積,面積、質(zhì)量、直徑)來描述物體被破碎的程度;在某些諸如巖石巷道的支護、公路路面的養(yǎng)護等工程問題中,對象的破碎狀況不僅僅取決于小碎塊的測度,而且也與斷裂的裂隙分布形態(tài)有關(guān);在圖像處理技術(shù)的研究中,圖像的破碎程度要取決于圖像的多種拓撲性質(zhì).從這一方面來看,要從數(shù)學上對物體破碎程度作岀刻畫,至少要分為測度和形態(tài)兩個方面來硏究.本文站在用碎塊測度描述物體被破碎程度的角度上,給出了破碎概念應(yīng)滿足的準則,并將物體的破碎抽象為可測集合的一個劃分,依照破碎準則構(gòu)建了一個能夠刻畫破碎程度的劃分測度函數(shù)為破碎度.本文硏究了所提岀的破碎度函數(shù)的性質(zhì),同時討論了幾個方面的應(yīng)用2基于劃分的破碎度與劃分測度函數(shù)設(shè)(X,5,m)是一個有限測度空間,其中X是具有有限測度的非空集,為X所有子集構(gòu)成的a代數(shù),m是上的測度,稱A1,A2,…,An是X的一個n劃分,若每個A∈,且對任何i≠j,有A1∩A=重(空集),∪A2=X,記A={41,A2,…,An}.A1稱為A的一個劃分單元,i=1收稿日期:2008-08-04.作者簡介:郭嗣琮(1951年10月生),男,教授,研究方向:模糊信息處理技術(shù)與軟計算*基金項目:遼寧省教育廳高等學校科研項日(20060377郭嗣琮:非空可測集劃分的破碎度量研究又設(shè)B={B1,B2,…,Bm}是X的一個m劃分,m>n且對于任何i=1,2,…,m,B1要么是n劃分A的一個單元,要么是某個Ak(k=1,2,…,n)的劃分單元,則稱B是A的細分.例如,設(shè)A={A1,A2,A3},B={A1,A2,B1,B2},其中B1∩B2=重,B1UB2=A3則B是A的細分用C(X)表示非空可測集X的所有劃分的全體,顯然,X∈C(X)定義21設(shè)A,B∈C(X),如果B是A的細分,稱B細于A,記B2.2Px(A∑P(A1)由定義2.3,X在劃分B下的完整度為PX(Ai),即為在劃分A下的完整度的二分之綜上分析,我們給出一個可以表述可測集X劃分破碎度的數(shù)學表達式定義24設(shè)A={A1,A2,…,An}是具有有限測度的非空可測集X的一個劃分,劃分A的單元A關(guān)于X的相對測度為Px(A1),i=1,2,定義F(X;A)=∑Pk(4)[1-Px(A4=1-∑P(A為X在劃分A下的破碎度,并稱P為X在劃分A下的完整度對于X的一個無限劃分A={A1,A2,…,An,…},則定義Fr(X; A)=13破碎度的性質(zhì)定理31對于具有有限測度的非空可測集X的一個n劃分A={A1,A2,…,An當m(A1)=m(A2)=…=m(An)時,Fr(x;A)達到最大證明由于m(A1)=m(A2)=…=m(An),意味著Px(A1)=Px(A2)=…=Px(An)1/n.記Px(A1)=x,i=1,2,…,n,則式(4)可寫成7(X;A)=1-∑32工程數(shù)學學報第28卷1,x;≥0,由拉格朗日乘數(shù)法,可得到當r1=x2rn=1/n時,Fr(X;A)取最大值,故定理3.1成立定理3.1說明,將一個物體打破成n塊,如果n一旦被確定,則每個子塊測度均等時,物體的破碎度最大.此時,有F(X;A)=1-∑P當n→∞時,Fr(X;A)=(n-1)/mn→1,這說明只有當物體被均勻分解為無限多的測度趨于無窮小的單元時,破碎度趨于1,這一結(jié)論與我們對破碎性的理解是一致的.定理32設(shè)A={A1,A2,…,An}是X的一個劃分,且B1={B1,B12,…,B1k1},B2{B21,B2,…:,B2k2},…,Bn={Bn1,Bn2,…,Bnkn}分別是對A1,A2,…,An的劃分,則B={B1,B12,…,B1k1,B21,B2,…,B2kBnkny是A的一個細分,有F7(X;B)=1-∑∑PA(B21)P(A1)(7)其中PA、(B)=mBA為B關(guān)于A的相對測度明由式(4),有F(X;B)=1-∑∑P(B1其中Px(By)是B關(guān)于X的相對測度.由于B1≌A,于是Px(B,)=m(B)=m(B). m(A) =PA(B). Px(A,代入式(8),則定理32成立在定理32中,B2={B1,B2,…,B}是集合A的一個劃分,顯然∑P,(B)是集合A1在劃分B下的完整度,故記PA (Bii)= Fr(Ai; Bi),于是,式(7)可以寫成Pr(A;B)·P(A1)定理32的結(jié)論也可以推廣到對X的一個無限劃分情形中去,此處不贅述定理33設(shè)A={A1,A2,…,An}是X的一個劃分,B={B1,B2,……,Bm}是Y的一個劃分,X和Y是兩個互不相交的非空可測集,定義AUB={A1,A2,…,An,B1,B2,…,Bm}郭嗣琮:非空可測集劃分的破碎度量研究為XUY的一個劃分,并記PxUr(X)=m(X)(Y)n(Xur)(XUY則Fr(XUY: AUB)=1-[Fr(X; A). P(XIXUY)+Fr(Y: B). PXUr(Y). (10)證明記Pxuy(A1)和Pxuy(B)分別為A;和B,關(guān)于XUY的相對測度,并n,j=1,2,…,m.由式(5),有Pr(XUY;AUB)=∑Py(A)+∑Py(B1)而PxUY(Ai)m(A) m(Ai) m(X)=Px(A:). Pxur(Xm(XUr) m(X)m(XUy類似地,可得到Pxur (B,)=Px(B,). Pxur(Y),代入式(11),得到P(XUY;AUB)=∑P(A)P(X)+∑PB)Py()=Fr(X;A)·Pu(X)+Fr(Y;B)·Puy(Y)于是Fr(XUr: AUB)=1-[Fr(X; A). P2(XIXUY)+Fr(Y; B). PXUY(Y)兩個劃分A,B的并運算A∪B的背景是將兩個破碎的幾何體并在一起,則Fr(XUY;AUB)表示合并后的幾何體的破碎程度.只要稍加注意即可看出,定理33是式(9)的特例,只是兩者的解釋不同由Fr(X;A)=1-Fr(X;A),Fr(Y;B)=1-Fr(Y;B),代入式(10),得到Fr(XUY: AUB)=1-[(1-Fr(X: A)). PXur(X)+(1-Fr(Y; B). PXUr(Y)1-PXuY(X)-PXur r)+ Fr(X; A). PXuY(x)+Fr(Y; B). PXuy(y)記M={X,Y},由于X和y互不相交,則M是可測集XUY的一個劃分,由式(6)集合xUY在劃分M下的破碎度為Fr(XUY;MD=1-By(X)-BRy(y),于是方Fr(XUY; AUB)=Fr(XUY; M)+Fr(X; A). PXUx(X)+Fr(Y; B). PXUx(y).(12)有時我們僅僅關(guān)心一個幾何體的破碎程度,而對其劃分形式不感興趣.此時,為了表述上的方便,在不至于引起混淆的情況下,具有有限測度的可測集Ⅹ(在某個劃分下)的破碎度可以簡記為Fr(X;*).由式(12),我們不難得到如下推論學報推論31設(shè)A={A1,A2,……,An}是X的一個劃分,且A1在某個劃分下的破碎度為Fr(A;*),其中=1,2,…,n,則X的破碎度為Fr(X;*)=Fr(X;A)+∑F(A4;*)·P(A1)A1和B分別是X和Y的子集,AxB1={(x,y)x∈X,y∈Y}.設(shè)A={A1,A2是X的一個劃分,B={B1,B2,…,Bm}是Y的一個劃分,則定義笛卡爾乘積集X×Y上的劃分如下A×B={A1×B31A1∈A,B1∈B,i=1,2,…,m;j=1,2,…,m}定理34A和B分別是X和Y的劃分,則劃分A×B下X×Y的破碎度為Fr(XxY; Ax B)= Fr(X; A)+Fr(Y: B)-Fr(X; A). Fr(Y: B)證明記Px(A2),By(B)分別為A1關(guān)于X的相對測度和B關(guān)于Y的相對測度,i1,2,…,m;j=1,2,…,m,則A×B關(guān)于X×Y的相對測度為Px(A1)·By(B).于是F(XxY;A×B)=1-∑∑[Px(A),By(B=1-∑B(A∑P(B)=1-F7(x;A),Fr(Y;B[1-Fr(X;A)]·[1-Fr(Y;B)1-[1-Fr(X; A)-Fr(Y; B)+Fr(X; A). Fr(Y; B)Fr(X; A)+Fr(Y; B)-Fr(X; A). Fr(Y; B)4破碎度概念的應(yīng)用4.1工程中巖體破碎度的估計在許多工程實際中破碎度是個重要的指標,如在某些巖石爆破中通過對巖石的破碎情況來檢驗爆破旳效果,在煤巷掘進中通過對鉆孔煤屑的破碎程度檢驗來預(yù)測煤與瓦斯突岀的危險程度,等等.但是,無論是巖石爆破還是煤巖的鉆探,破碎體常常是由成千上萬個小的碎塊(單元)組成,為了描述其破碎程度,需要對這成千上萬個單元逐一進行測量是根本無法做到的,為此,我們給出一種破碎度近似計算方法設(shè)M為破碎物體的所有碎塊(單元)的集合,我們可將M中碎塊按照某種測度(如體積,直徑或重量)的大小分成n個等級區(qū)間xo,x1,(x1,x2],…,(xn-1,xn],其中xo和xn分別為所有碎塊測度的最小值和最大值,且x0