第20卷第4期模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)Vol.20，No. 42006年8月F uzzy Systems and MathematicsAug. , 2006文章編號(hào):1001-7402(2006)04-0028-06Quantale矩陣的合成郭智蓮,趙彬(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西西安710062)商要:給出Quantale矩陣的幾類合成運(yùn)算,并且討論了合成運(yùn)算的-系列好的性質(zhì)。關(guān)鍵詞:Quantale矩陣;Quantale矩陣的合成;冪等Quantale矩陣中圖分類號(hào):O153. 1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A1引言文[1]提出了格值矩陣的概念,文[2]討論了格值矩陣的合成。本文討論了Quantale矩陣間的V-&.型合成,并把格值矩陣A-V型合成和八一→型合成分別推廣到Quantale矩陣的&.- V型合成和&.-- >型合成,并且研究了&.- V型和&.-→型合成的性質(zhì)。2基本概念與性質(zhì)定義2.153]設(shè)Q 是完備格，&.是Q上滿足以下兩條的二元運(yùn)算:(1)日a,b,c∈Q, a&.(b&c) = (a&b)&c;(2)V a∈Q, {ba}∈Q, a&.(supb.) = sup(a&b。) 且(supb.)&a = (6.&a)，則稱Q是Quantale。定義2.25設(shè)Q是Quantale,若V a,b∈Q, a&b= b8a,則稱Q是可換Quantale。定義2.358]設(shè)Q 是Quantale,若Va∈Q, a&.a =a，即a是冪等的，則稱Q是冪等Quantale。定義2.4設(shè)Q是Quantale,若V a∈Q, a8.1 =a(1&a =a),這里1是Q中的最大元,則稱Q是右邊(左邊)Quantale。若Va∈Q,a8.1=1&.a=a,則稱Q是雙邊Quantale。設(shè)Q是Quantale,Va,b∈Q,把a(bǔ)Vb記作a+b,a&b記作ab.設(shè)Q是Quantale, V a,b∈Q,令b→a = max{x∈Q:bx≤a} =V {x∈Q:bx≤a} (根據(jù)Quantale的定義)。令a- b= min{x∈Q:b+x≥a}，若a- b存在，則稱之為b關(guān)于a的偽補(bǔ)元。如果Va,b∈Q,.a-b都存在，則稱Q為對(duì)偶的Brouwerianquantale。由文獻(xiàn)[4]知, Q是對(duì)偶Brouwerian quantaler當(dāng)92當(dāng)個(gè)帶呈相花TD)。中國(guó)煤化工V x∈Q, V {v;}i∈1∈Q,TYHCNMHGx+(Ay;).(CD、)注2.1若Q=[0,1], V a,b∈Q, a&b=a X b,這里的X是數(shù)與數(shù)間的普通乘法,則。收稿日期:2005-09-06基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10471083);教育部“高校青年教師獎(jiǎng)”基金資助項(xiàng)目(教人司[2000]26號(hào))作者簡(jiǎn)介:郭智蓮(1980-).女，山西太原人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院研究生，研究方向:格上拓?fù)鋵W(xué);趙彬(1965-),男，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授,博士生導(dǎo)師,研究方向:格上拓?fù)渑c模糊推理。第4期郭智蓮,趙彬:Quantale矩陣的合成291，a≥bb→a=b0，a≤b注2.2 若Q是Quantale并且是完備布爾格。V a,b∈Q,則b→a=V {x∈Q:bxr≤a}且a-b=a A b'，這里b'是b在Q中的補(bǔ)元。設(shè)Q是Quantale，令Mmx,(Q)表示Q上的m X n矩陣之集, M,(Q)表示Q上的n階矩陣之集。VA,B∈Mmx(Q), D∈M,x(Q), R∈M,(Q),定義:C= A+ B臺(tái)Cjj= a+ b;， i = 1,2,.,m; j = 1,2,..nA≤B臺(tái)aj≤b，i = 1,2,.,m; j = 1,2..,nC= A'臺(tái)C;,= aj，i = 1,2,..,n; j = 1,2,..,mC= AD臺(tái)cqj=ainsdhs， i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,l .C= A。D臺(tái)cqj= II (aik +dy)，i= 1,2...mn; j= 1.2..,I,= (8;), δ;=10，i≠ji,j = 1,2,..,n(1，i= ;'R°= I。R*+1 = R*R，k = 0,1,2,...R* = (.;()如果Q滿足條件(CD1), 定義:C=A- B臺(tái)cj=a- b;，i= 1,2,..,m; j= 1,2,.,n如果Q是可換的,定義:C= A*Dθcqj=. | | (ds;→a;)， i = 1,2,.,m; j= 1,2,.,l分別稱AD、A。D和A* D為Quantale矩陣的V-&.型、&-V型和&.-→型合成。設(shè)R∈M,(Q)，如果R°≤R,則稱R是傳遞的;如果R?= R,則稱R是冪等的;如果V i∈{1.2...n), ri= 1,則稱R是反射的;如果V i,j∈{1,2,..,n}, ri≥rj,則稱R是弱反射的;如果V i∈{,..n},r;=0,則稱R是非反射的;如果V i∈{,2..n}, ri≤r;,則稱R是幾乎非反射的;如果RT= R,則稱R是對(duì)稱的。設(shè)A∈Mmxn(Q),如果V i,k∈{,..,m}, j∈{1,2...n}, aij=akj,則稱A是常值的;如果V i≠j, k≠j, aj=anj,則稱A是幾乎常值的。V x∈Q，V {y+,ye,.,yn}∈Q,x+([[s)= [[(x+ y)(CD2)引理2.1設(shè)Q是滿足CD、的可換Quantale中國(guó)煤化工(1)a一b≤a;TYHCNMHG.(2)b≤c→a- c≤a- b且b-a≤c- a;(3)a - b= 0θa≤b;(4)a - (b+c)≤(a- c) + (b- c);(5) (a +b) -c= (a-c) + (b- c)。證明易證(1)~(4)。模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)2006年(5)c + ((a-c) + (b-c)) = (c+ (a-c)) + (c十(b- c))≥a十b，則(a +b)-c≤(a-c)+(b-c)。由(2)可知，(a+b)-c≥a-c,(a+b)-c≥b-c,從而(a+b)-c≥(a-c) + (b-c)，所以(a +b)-c= (a-c) + (b-c)。引理2.2設(shè) Q是Quantale,a∈Q, i = 1,2..,n, j= 1,2...,m, 則I 2a≥2Ia引理2.3設(shè)Q是滿足CD、和CD2的Quantale, a,a,.",an∈Q(n≥2),則(1)(a;一a2)十(az一a3)十...十(an-1-an)十a(chǎn)n=a1+a2+...+an;(2) (an 一a2)十...十(an-1- an)十(an- a)≥(an+ a2+ ...十a(chǎn)n)一(aa...an)。證明(1) 運(yùn)用數(shù)學(xué)證明等式當(dāng)n= 2時(shí)，(al-a2) +a:=an+ a2顯然成立。假設(shè)n=k- 1時(shí)等式成立，下面證明當(dāng)n = k時(shí)等式成立。(an-a2) + (a2-a3)+..+(an-1一an)十a(chǎn)n=(a一a2)十((a2一as)十.十(an-I一an)十a(chǎn)n)=(a]一a2)十(a2十a(chǎn)3十...十a(chǎn)n)=((a1-a2)十a(chǎn)2)十(as+...+an)=an+a2+..+an.(2)(a1-a2)+. + (an--an) + (a,-a) + aa..an= II ((an-a2)+ (an-1-an) .+ (an-a)+a;)=II ((a;-a;+) +.. + (a,-a1)+ (a1-a2)+.. + (a,-1-a) +a;)=1T (a;+a;+1+ ... +an+a+a2+ .+a;-1+a)≥an+a2+ ..+an (由CD2得)，所以(a1- a2) + (a2- as) + ... + (an-1-an) + (an- a)≥(a1 +a2+ ... +an)一(a.". an)。3 Quantale矩陣的V - -&型合成設(shè)Q是Quantale,A= (a)?！蔒,(Q),定義矩陣A的行列式det(A)如下:det(A) = > acau)a20()... ano(n)其中,S。是{1,2...,n}的所有排列之集。定理3.1設(shè)Q是可換的冪等Quantale,A∈M,(Q),則(1) det(AAT)≥det(A);(2) det(AB)≥det(A)det(B)。.證明(1)設(shè)AAT=P,p;;=>aa;xajk. V σ∈Sn，P11P22**" Pmm= (Eax)(2ax...a. ≥(a(u)2<>.... Ano(n因此det(AAT)≥Pr2.... Pm≥l2a2<**.naon) = det(A)(2)det(AB)= 2( >aba1>>ax....amOea(m) )中國(guó)煤化工.TYHCNMHG.≥(apaxk, ... > b.ycnxex*.b.o.>))=2(as(axp, ... det(B))=( 2aran""amn, )det(B)(k,ok,."k.)∈S,第4期郭智蓮,趙彬:Quantale矩陣的合成= det(A)det(B)推論3.1設(shè)Q是可換的冪等Quantale,A,∈M,(Q),i=1,2,.,m,則det(A1 )det(A)..det(Am)≤det(A+A.-.Am)命題3.1設(shè)Q 是Quantale,A∈M,(Q),則A(C+ D)= AC + AD(A + B)C= AC+ BC證明令 A(C+ D)= E, AC+ AD= F,ej= 2aa(Caj+ dk})= 2(ance;+ asd,) =anCnj+ 2and,= f.因此A(C+ D)= AC+ AD.令(A+ B)C=G, AC+ BC= H, g;= .2((ax + bn)cx)= 2(ancn+ bxCn)=aixCk;j+> b;&Ckj= h..因此(A + B)C= AC+ BC.4 Quantale矩陣的&.- V型合成本節(jié)給出Quantale矩陣&.-V型合成的一些性質(zhì),并由&.-V型合成構(gòu)造出一個(gè)冪等矩陣。定理4.1設(shè)Q 是滿足CD2的可換Quanatale,A∈Mm(Q)，B∈Mnp(Q), C∈Mw(Q),則(A。B)。C=A。(B。C)證明令 A。B= D, D.C= F, B。C= E, A。E=G,則有din= II (a+ bu), f;=I[(da+ce;)= I(I[(au +bu)+ey)= I II(an+bu +ce),e,= II(bu +un),g=k= 1k-1 1=1k-1 l=1IT(aia+e)=II (a;+ I[(bw+cn)=II(I[(a;+bu +cn)= I IT(an+bu +cn)。從=11=1-1 1-11=1 k-1而f;j= g小.因此(A。B)。C=A。(B。C)。定理4.2設(shè)Q是quantale. A∈M,(Q)是對(duì)稱的和幾乎非反射的矩陣,則(1)如果Q是雙邊的,則A。A≥A;(2)A。A是對(duì)稱的和幾乎非反射的;(3)如果Q是冪等右邊quantale,A2是弱反射的。證明(1) 令S=A°A,則s,=II (a;+an;)≥aii+a;j=a,因此A。A≥A.(2)s;= II (a,+an)= I[(an+an)=s,所以S是對(duì)稱的。sn= l[(a+an)= II an≤l=i=1中國(guó)煤化工II (a; + an)= s,,因此S是幾乎非反射的。l=1MYHCNMHG(3)令T=A",則t;=>Ja,;an= 2a≥2analj=切，即T= A2是弱反射的。定理4.3設(shè)Q是Quantale, A,B∈Mmxn(Q), C∈M,xr(Q)且D∈Mpxm(Q)，則(1) (B。C)T=CT。B";(2)如果A≤B,則D。A≤D°B且A°C≤B。C.32模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)2006年證明(1) 令D= (B。C)T ,E=Cr。BT ,d,= I(b,x+cu)= I[(cu + bx)=e;.所以.k-1(B。C)T= CT。B".(2) II (d;n + anj)≤° |I (dli + bx;) ,因此D。A≤D。B.同理可以證明A °C≤B。C.定理4.4設(shè)Q是quantale,A∈Mmx.(Q)，則A。AT是幾乎非反射和對(duì)稱的。更進(jìn)一步，如果A∈M,(Q)是非反射的，則A。AT是非反射的。證明令R=A°A", 則rn= I(an+ai)= IIan≤I(au +an)=r,即R=A°AT是幾乎非反射的. r,=II (ai +a;)= [T(a; +an)=r,,因此R=AoAT是對(duì)稱的。更進(jìn)一步，因?yàn)锳是非反射的,所以r;=. |I (a;+a)= I an= a*.*."a,m= 0,故A。AT是非反射的。定理4.5令Q是冪等quantale, A∈M,(Q)是對(duì)稱的、非反射的矩陣,則R= B。A是冪等且?guī)缀醭Ｖ档?這里0B=，a;∈Q, i= 1,2,..,n0 ... an)證明由R=B。A可得(0,rij=II (0+ aij)(a;+a)= (|| a;)(a; + a) =I[aua， i=j' i-=12,"i≠i( i≠i則r19)= rirn.(1)當(dāng)i≠j時(shí)，rg"”= rara+rar,+rijr,=0= riy.≠i,j(2)當(dāng)i= j時(shí),r.2)= >rtrn;+ri;=r;，即R?=R.所以R= B. A是冪等的。由于對(duì)于k≠i,j任意i≠j.k≠j,rj=rx=0，所以R是幾乎常值的。推論4.1設(shè)Q是冪等右邊quantale,A∈M,(Q),則(1)(A。AT)2是弱反射的;(2)如果A是非反射的，則Im。(A。AT)是冪等的和幾乎常值的。證明由定理 4.2、定理4. 4.定理4.5直接可得。定理4.6設(shè)Q是雙邊quantale, A∈M,(Q) 是非反射的、傳遞的,則(1)A。A"=0;(2) AT。A= 0。證明(1) 令S=A°A",則s;= II(c中國(guó)煤化工a;) =a;ja;≤a; (由A1- 1YHCNMHG的傳遞性)=0。所以S = 0。(2)類似可證。5 Quantale矩陣的&.-- >型合成定理5.1設(shè)Q是可換的雙邊Quantale,A∈Mmx.(Q)，則A*A"是反射的和傳遞的。第4期郭智蓮,趙彬:Quantale矩陣的合成證明令S=A*A", 則s;= II (a;→ain)。顯然s;= T (ain→ax)= 1。所以S是反射的。更進(jìn)一步，由于a;p(au→aix)(a;k→au) = (an→ain)(a;(aja→aln))≤(an→a;n)au≤ai,所以(an→aix)(ax→an)≤aj→ai.進(jìn)而ssi= II(ap→aip)I(aa→an)≤I(ax→an)=si，p= Ik=1k-1且S°≤S,即S是傳遞的。定理5.2設(shè)Q是可換的雙邊Quantale,A∈Mmx.(Q),則(A*AT)A=A.證明令 B=(A*A")A,則b,=2(I (au→a))av≤2aa;= aij，,=11=1則B≤A.另一方面,由5.1知，A*A°=C是反射的,所以b,= 2cinan,=cna1,+ .+.nt,+...十Cinanj≥aw,因此B≥A.參考文獻(xiàn):[1] Give'on Y. Lattice matrices[J]. Information Control , 1964 ,7:477~481.[2] Tan Y J. On compositions of lattice matrices[J]. Fuzzy Sets and Systems ,2002,129:19~28.[3] Rosenthal K I. 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