2011年第2期杜丹江教育學(xué)隴學(xué)報(bào)2,2011(總第126期)JOURNAL OF MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATIONSerial No 126導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用李國(guó)華(齊齊哈爾高等師范專(zhuān)科學(xué)校,黑龍江齊齊哈爾161005)[擴(kuò)要]導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中最基本的概念,本文通過(guò)導(dǎo)數(shù)在求切線方程中的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函教的最大值和最小值等方面的應(yīng)用分析,說(shuō)明了導(dǎo)數(shù)的重要性。[關(guān)鍵詞]導(dǎo)數(shù);凹凸性;拐點(diǎn)[中圖分類(lèi)號(hào)]O174[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]1009-2323(2011)02011202導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對(duì)于自變量變化而變化的快慢程(2,+∞),單調(diào)減少區(qū)間為(1,2)度,即函數(shù)的變化率,它使人們能夠用數(shù)學(xué)工具描述事物變從此例題可知確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟化的快慢及解決一系列與之相關(guān)的問(wèn)題。(1)確定函數(shù)的定義域;一、導(dǎo)數(shù)在求切線方程中的應(yīng)用(2)求出使函數(shù)∫(x)=0和∫(x)不存在的點(diǎn),并以例1求曲線y=x在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率并寫(xiě)這些點(diǎn)為分界點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間出切線方程和法線方程(3)確定f(x)在各個(gè)子區(qū)間的符號(hào),從而確定f(x)解:y=(x2)=3x2,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,所求切線的的單調(diào)區(qū)間斜率為三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)為x1,x2,…,x則比較f(a),所求切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0f(x),f(x),…,f(x),f(b)值的大小,其中最大的是f(x)過(guò)(1)點(diǎn)法線的斜率為一1一-,所求法線在例的最,小的是(口在2的方程為y-1=-3(x-1),即x+3y-4=0上的最小值。解:f(x)=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)二、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性令:∫(x)=0得駐點(diǎn)x1=3,x2=-1.x=-1不在給函數(shù)單調(diào)性的判定法:設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連定區(qū)間[1,]內(nèi)故不必討論續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f(3)=2×33-6×32-18×3-7=-61(1)如果在(a,b)內(nèi)f(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在f(1)[a,b]上單調(diào)增加;f(4)-2×42-6×42-18×4-7=-47(2)如果在(a,b)內(nèi)∫(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在比較這三個(gè)數(shù)的大小得知,f(x)在[1,4]上的最小值[a,b]上單調(diào)減少為∫(3)=-61例2確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)四、利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式例4證明:當(dāng)x>1時(shí),3/>3-1解:這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?一∞,+∞),求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。證明:令∫(x)=2z-(3-1),則f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)解方程∫(x)=0,即解6(x-1)(x-2)=0,r(a)-2-2x-解得x=1,x2=2,這兩個(gè)根把定義域分成三個(gè)子區(qū)間:(-∞,1),(1,2),(2,+∞).列表如下:f(x)在[1,+∞)上連續(xù),在(1,+∞)內(nèi)∫(x)>0,因此在[1,+∞)上f(x)單調(diào)增加,從而當(dāng)x>1時(shí),f(x)>f1,2)(1)由于f(1)=0,故f(x)>f(1)=0,即3/x-(3-)>0由該表可知:函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞,1)和中國(guó)煤化工[收稿日期]2010-0801THCNMHG[作者簡(jiǎn)介]李國(guó)華(1977-),男,黑龍江蘭西人,齊齊哈爾高等師范專(zhuān)科學(xué)校講師,主要研究方向:高等數(shù)學(xué)和概率論與教理統(tǒng)計(jì)通過(guò)這個(gè)題我們可以看到當(dāng)證明不等式時(shí),當(dāng)不等式稱(chēng)為邊際分析方法。不能作差或作商時(shí)我們可以用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決。1.邊際威本五、利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所我們已經(jīng)掌握了求極限的幾種方法,但對(duì)“?！薄荨毙驮黾拥某杀?。設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為q單位時(shí)所需的總成本為C=C(q).由于的極限,不能直接運(yùn)用四則運(yùn)算法則求極限,一般先要對(duì)其C(q+1)-C(q)=△C(q)≈dC(q)=C(q)△q=C(q)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q、化簡(jiǎn),使其滿(mǎn)足四則運(yùn)算法則的條件,再所以邊際成本就是總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量q的導(dǎo)數(shù)。求其極限。變換、化簡(jiǎn)很麻煩,有時(shí)甚至無(wú)法化簡(jiǎn)。那么我2.邊際收入們可以利用羅彼塔法則來(lái)求其極限。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際收入定義為多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品所塔法則:設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿(mǎn)足條件增加的銷(xiāo)售收入(1)lim f(r)=ling(r)=o(a lim f(x)=lim g(z)=oo),設(shè)某產(chǎn)品的銷(xiāo)售量為q時(shí)的收人函數(shù)為R=R(q),則(2)在點(diǎn)x的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)x?？沙?,(x)及g收入函數(shù)關(guān)于銷(xiāo)售量q的導(dǎo)數(shù)就是該產(chǎn)品的邊際收人R(x)都存在且g'(x)≠0;3.邊際利潤(rùn)存在。(或?yàn)椤拊O(shè)某產(chǎn)品的銷(xiāo)售量為q時(shí)的利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=L(q),當(dāng)(當(dāng)x→x0改為x→∞L(q)可導(dǎo)時(shí),稱(chēng)L(q)為銷(xiāo)售量為q時(shí)的邊際利潤(rùn),它近似等于銷(xiāo)售量為q時(shí)再多銷(xiāo)售一個(gè)產(chǎn)品所增加(或減少)的利時(shí),定理仍然成立潤(rùn)。由于利潤(rùn)函數(shù)為收人函數(shù)與總成本函數(shù)之差,即例5求lim由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可知L'(q)=R(q)-C(q)即邊際利潤(rùn)為邊際收入與邊際成本之差例8設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為q(單位:1)時(shí)的總成本函數(shù)(單例6求lin1n2x位:元)為C(q)=1000+7q+50q,求(1)產(chǎn)量為100噸時(shí)的總成本21nr(2)產(chǎn)量為100噸時(shí)的平均成本;lim 2Inr.=0(3)產(chǎn)品從100噸增加到225噸時(shí),總成本的平均變化率;六、利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)(4)產(chǎn)品為100噸時(shí),總成本的變化率(邊際成本)定理設(shè)f(x)在[ab上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和解:(1)產(chǎn)量為100噸時(shí)的總成本為:二階導(dǎo)數(shù),那么C(100)=1000+7×100+50√100=2200(元)(1)若在(a,b)內(nèi)∫(x)>0,則∫(x)在[a,b]上的圖形(2)產(chǎn)量為100噸的平均成本為是凹的;C(100)22(元/噸)(2)若在(a,b)內(nèi)∫(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。(3)產(chǎn)品從100噸增加到225噸時(shí),總成本的平均變化例7求曲線y=x2-2x3+1的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。率為解:y=4x3-6x2y=12x2-12x=12x(x-1)2-s22-023325-2200令y=0,解得x=0,x=1(4)產(chǎn)品為100噸時(shí),總成本的變化率,即邊際成本為列表來(lái)討論曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)0(0,1)(1,+∞)c(10)-=(100+1+50q)1m=(7+25)|r-mf(x)+f(r)點(diǎn)(0,1)拐點(diǎn)(1,0)∽這個(gè)結(jié)論的經(jīng)濟(jì)含義是:當(dāng)產(chǎn)量為100噸時(shí),再多生產(chǎn)曲線在(-∞,0)及(1,+∞)兩個(gè)區(qū)間上是凹的,在(0,1噸所增加的成本為9.5元1)區(qū)間上是凸的,(0,1)和(1,0)是它的兩個(gè)拐點(diǎn)[參考文獻(xiàn)][1]王勁松,高等數(shù)學(xué)[M.重慶:西南師范大學(xué)出版社,2008七、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[2]顧靜相經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M.北京:高等教育出版社,2009邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念,一般指經(jīng)濟(jì)函[3]劉嚴(yán),丁平新編高等數(shù)學(xué)[M]大連理工大學(xué)出版社,2007數(shù)的變化率。利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化的方法Application of Differential Coefficient(Qiqihaer Specialized Higher Normal School, Qiqihaer, Heilongjiang 161005)Abstract: Differential coefficient is the basic definitI nnlealse. The article attemptsto get the application of tangential equation by differential中國(guó)煤化工 esential coeffto get monotoof function and make use of differenCNMHG and minimum offunction, stating the importance of differential coefficient.Key words: differential coefficient; concavity; inflexion[賚任編輯:叢愛(ài)玲]