第33卷第4期鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol 33 No 42001年12月JOURNAL OF ZHENGZHOU UNIVERSITYDee.2001基于誘生物質(zhì)想法的五維 Dirac方程馬光文,郭宗寬,馬紅彩(鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院鄭州450052)摘要:根據(jù) Wesson-Liu誘生物質(zhì)的想法,典型粒子的靜質(zhì)量可通過(guò) Kaluza- Klein型理論約化到四維空時(shí)而獲得.通過(guò)引入附加維的動(dòng)量算符并把它認(rèn)同于靜質(zhì)量本征值算符而將 Dirac方程推廣到五維共形不變形式.當(dāng)約化到四維空時(shí)時(shí)得到類(lèi)似通常形式的 Dirac方程,粒子靜質(zhì)量對(duì)彎曲空時(shí)是隨空時(shí)坐標(biāo)變化的.具體求解了五維宇宙學(xué)問(wèn)題,并考察了所得的封閉宇宙模型和靜態(tài)球?qū)ΨQ(chēng)引力場(chǎng)所得結(jié)果的合理性關(guān)鍵詞:誘生物質(zhì)理論; Kaluza- Klein理論;空-時(shí)-質(zhì)理論; Dirac方程中圖分類(lèi)號(hào):O412.1文章編號(hào):1001-8212(2001)04-0040—06在 Kaluza- Klein型理論的現(xiàn)代發(fā)展中,有一類(lèi)有趣的理論即 Wesson十幾年前提出的五維空一時(shí)質(zhì)理論門(mén).該理論把附加的維度即第五維與典型粒子的靜質(zhì)量聯(lián)系起來(lái),從而把質(zhì)量納入幾何體系.它的一個(gè)顯著特點(diǎn)是,一般地將得到典型粒子靜質(zhì)量可變的結(jié)論,這在某種意義上體現(xiàn)了Mach精神23.一個(gè)讓 Wesson反復(fù)思索的問(wèn)題是如何將 Einstein引力場(chǎng)方程推廣到五維空間,即五維能動(dòng)張量應(yīng)取什么形式.最終, Wesson確定了自己的想法:五維能動(dòng)張量恒為零,即五維引力場(chǎng)方程的一般形式為RMN=0,其中,M,N取0,1,2,3,4.當(dāng)它約化到四維時(shí)能得到通常的 Einstein引力場(chǎng)方程87G(l(1)其中,μ,ν取0,1,2,3.這里有效的四維物質(zhì)場(chǎng)能動(dòng)張量T是通過(guò)如下的對(duì)應(yīng)從附加維得到的,即TR,e-(RWesson把這樣的思想稱(chēng)為誘生物質(zhì)理論:.在此后的很多工作中, Wesson及其合作者都力圖貫徹這想法.最近,文獻(xiàn)匚6基于誘生物質(zhì)的想法,把標(biāo)量場(chǎng)的 Klein-Gordon方程以如下方式推廣到五維彎曲空間,即使當(dāng)約化到四維時(shí),與附加維有關(guān)的部分視為等效的質(zhì)量項(xiàng).鑒于共形變換能夠保時(shí)空的因果結(jié)構(gòu)不變,故場(chǎng)方程的共形不變形式是值得追求的.把[6]中的方程(3)進(jìn)一步由最小耦合情況推廣到共形不變的形式)g"Np+1R4=0并在此基礎(chǔ)上考査了某些典型引力場(chǎng)中典型標(biāo)量粒子的靜質(zhì)量,得到了更為理想的誘生可變靜質(zhì)量的結(jié)果H中國(guó)煤化工考慮到對(duì)于任何一個(gè)新理論,從其提出到其最終被CNMHG各個(gè)角度對(duì)其進(jìn)行考查檢驗(yàn)和完善,對(duì)于 Kaluza Klein型的可變引力理論(即丑維仝呵一頂埋化),這樣的工作一直在進(jìn)行著8.馬也曾提出過(guò)對(duì)于附加維的新解釋及關(guān)于五維能動(dòng)張量的另一建議10. Macias討論了在此基收稿日期:2001-04-20作者簡(jiǎn)分月?lián)?-).男,教授,主要從事高維引力研究第4期馬光文等:基于誘生物質(zhì)想法的五維 Dirac方程41礎(chǔ)上的 Dirac方程.本文則從誘生物質(zhì)的思想出發(fā),研究 Dirac方程的五維推廣方案及其特征.由于Dirac方程的波函數(shù)的多分量特征,原則上會(huì)遇到不同于 Klein- Gordon方程的新問(wèn)題,解決這些問(wèn)題也是本文的目的點(diǎn)之1五維平空間中的 Dirac方程四維空時(shí)中的Drac方程的協(xié)變形式為iyymoy=0其中,選取了c=h=1的單位制, Dirac矩陣γ滿足反對(duì)易關(guān)系,即(6)其中,"= diagonal(+1,-1,-1,-1),而y的一種標(biāo)準(zhǔn)表示為其中,取1,2,3;Ⅰ為2×2的單位矩陣;σ為泡利矩陣.按照誘生物質(zhì)的概念, Dirac方程推廣到五維平直空間是簡(jiǎn)單的,取”yy,M=0,{5m",3),y}=25n,5mm=diag(+1,1).其中,5y"仍取為(7)式,5)y4可取為y=y1y2y3然而,如果直接按照文獻(xiàn)[6]和[門(mén)的做法,令y(x")=y(x")em,把(9)約化到四維時(shí)得到bymoDy=0它不是熟知的四維 Dirac方程(5),這似乎是個(gè)困難,但這一困難不是實(shí)質(zhì)性的,容易解決.例如,如果把P=y“i這一動(dòng)量算符的附加維度分量認(rèn)同于靜質(zhì)量算符,考慮自由Diac粒子,則其波函數(shù)為y=a(p,m0)expi(px+mx1-Et).代入方程(8)得ElEl其中,x1=上邊的方程有解的必要條件是左邊系數(shù)行列式為零,即y29AEⅠp·a+im。IEl由此得E=士(P2十m3)2.其中,E和E分別為正能解和負(fù)能解.若進(jìn)一步定解,可解自旋本征值方程,這里不再給出.由此可以看出這一解與方程(5)對(duì)自由 Dirac粒子的解完全一樣實(shí)際上,如果以sy°左乘(8)兩邊可得yy=0其中,a=(5)y06y=an0/:2=(xoy=i10易驗(yàn)證它們滿足關(guān)系中國(guó)煤化工故(9)式正是Drac方程的通常形式,即方程(5)的等價(jià)CNMHG當(dāng)然,也可以以(-(5y4)左乘(8)式兩邊,并記亦即易驗(yàn)證,γ滿足上邊的反對(duì)易關(guān)系(6).方程(8)現(xiàn)在化為42鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第33卷y把(10)定義的矩陣γ視為四維空時(shí)的 Dirac方程,則方程(11)就是另一旋量表示中的方程(5)2彎曲空間中的 Dirac方程先回憶四維空時(shí)的情況.當(dāng)考慮引力場(chǎng)對(duì) Dirac旋量粒子的影響,即要把四維 Dirac方程推廣到彎曲空時(shí)時(shí),必須引入標(biāo)架場(chǎng)1213vu(x)-a5x(r)其中,(x)為X點(diǎn)的局部慣性坐標(biāo);a是空時(shí)的 Lorentz指標(biāo),其升降用m.顯然,gm=VVn,旋量協(xié)變導(dǎo)數(shù)定義為y=(+r)v.其中,n為自旋聯(lián)絡(luò)n=1V"Va,.=1[,y]為 Lorentz群生成元. Dirac方程到彎曲空時(shí)的推廣形式為iyvy- my=0其中,γ滿足反對(duì)易關(guān)系{γ",γ}=2g灬.按誘生物質(zhì)思想,五維時(shí) Dirac方程在彎曲空間的推廣為(14)所涉及到的 Dirac矩陣、標(biāo)架、自旋、聯(lián)絡(luò)和旋量協(xié)變導(dǎo)數(shù)均是四維情況的直接推廣,3五維理論中的 Dirac粒子的有效質(zhì)量當(dāng)把五維彎曲空間中的 Dirac方程(14)約化到相應(yīng)的四維形式并與四維彎曲空時(shí)的 Dirac方程(13)比較時(shí),就會(huì)得到一個(gè)有效質(zhì)量項(xiàng)m,也可稱(chēng)為誘生質(zhì)量.應(yīng)當(dāng)指出,在五維平空間中,這種約化程序完全是由解算符P的本征值方程完成的(見(jiàn)上述)而誘生質(zhì)量就是P4的本征值(常數(shù));在五維彎曲空間中,起靜質(zhì)量作用的量不再僅由P4單獨(dú)決定,且由于引力的影響,動(dòng)量也不是常量在多數(shù) Kaluza-Klein型的理論中,人們往往取g4=0.此時(shí)gm=gm,五維線元為dx= gndxdx-中dl/.其中,≡x4,五維標(biāo)架可取為VA0④·非零五維聯(lián)絡(luò)系數(shù)為gg5=-cg④P=-1=g,n=中'T4其中星號(hào)“興”表示對(duì)l求偏導(dǎo)數(shù).自旋聯(lián)絡(luò)為T(mén)=Tn+中g(shù)nV"",5r=V10( 3/2gV)-中.,V°由 Dirac方程(14)得0=i5yvMy=i(5ya5)vy+i(5)(5)Viy vy+liGyop-gvo4y+iry中國(guó)煤化工在繼續(xù)關(guān)于ma的討論之前,先須注意如下幾點(diǎn):(1)彎CNMH應(yīng)為廣義協(xié)變的梯度算符(乘以i),即5)VM,作為的本征值不再代表 Dirac粒子的有效靜質(zhì)量.(2)注意到gm=0,g4φ2及(gm=g灬,則(10)式的推廣式應(yīng)取為3)12y1(5)y=-重-1(5)5y(16)第4期馬光文等:基于誘生物質(zhì)想法的五維 Dirac方程43這樣定義的γ滿足反對(duì)易關(guān)系.把(15)式兩邊左乘以-1/(-g412)y,應(yīng)用(16)并設(shè)y(x)y(x")em4,可得0=iyVy+v+117④gma+ia,o(V-gmV)+中,4]yir.y-mird'grVo4-oiVo4(VBk-0govB)-iVago4y該式與方程(13)比較得Zell 2i>*gp-gvo4-ivo(Ve-28nev21va9,n"Jy(17)可以看出,一般來(lái)說(shuō),m是隨空間坐標(biāo)變化的,這是該理論所期望的4具體引力場(chǎng)中的應(yīng)用這里,用兩個(gè)具體的例子說(shuō)明以上理論的應(yīng)用.首先考慮靜態(tài)球?qū)ΨQ(chēng)場(chǎng),其線元為1.151dS2=Ad(2-A-4dy2-A-4-byd22-A'dlA()≡1-2GM/,1=a2+ab+b2標(biāo)架可合理地選為V= diagonal(A2,A-",A"r, A arsine,A2),式(17)現(xiàn)化為1 bGM(m2-m0)XI0(18)bGMX2方程(18)有解的必要條件為左側(cè)系數(shù)行列式為零,由此解得m=m±160A4=號(hào)-)(19)文獻(xiàn)[7定出b≈0.002,a≈0.999,代入(19)并恢復(fù)到常用單位,得m=m,±0.007Mh如以太陽(yáng)表面無(wú)量鋼引力勢(shì),M2=2.12×10-,=R=6.96×10cm和電子質(zhì)量m=m=9,11×10-g代入上式,則得m=ml(1±1.17×10-3°).這一結(jié)果雖然目前不能用實(shí)驗(yàn)精確檢驗(yàn),但至少它肯定不違背經(jīng)驗(yàn)事實(shí),而理論上卻有重要意義,即體現(xiàn)了Mach原理現(xiàn)在考慮宇宙學(xué)的情況.為此首先求解如下宇宙學(xué)問(wèn)題,線元取為()(、d2顯然,g灬=g為四維封閉(k≡+1)宇宙模型中的 Robertson- Walker度規(guī).直接計(jì)算可知非零Rici張量為R0=3+(RR+2R2+2)RRRR中國(guó)煤化工(5)Roo -rRRCNMHGf(5,Rm= sin205,Ro,= Rm-r2sinoRR,Rf-3f/五維引力場(chǎng)方程給出(RMN=0,給出萬(wàn)方路8/=0,7+3/R=0.f+(+2+2k)=0(20)44鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第33卷方程(20)的前兩個(gè)給出∫=R,代入第三式得RR+R2+1=0在四維情況封閉的 Robertson- Walker宇宙模型中,如果物態(tài)方程為p=P/3,則宇宙動(dòng)力學(xué)方程恰可給出方程(21)并有RR其中,P和R分別為物質(zhì)密度和標(biāo)度因子的目前值可見(jiàn),F=R相當(dāng)于給定了物態(tài)方程p=3方程(22)的解容易求得為R(t)(A-a)2(23)其中,=(5)2k,并已用公1一H,R=0及八>H因是封閉穿宙4=+1)定出了積分常數(shù)a=(°p-H2)R,進(jìn)而可計(jì)算出(24)標(biāo)架可取為V=diag(11-,Rr, Rosin0,).式(17)化為+1R)IX(meft -mo+RI/X2要求其系數(shù)行列式為零,可得mf=mn±R,恢復(fù)到常用單位制時(shí),可重寫(xiě)為m=mn±1h盡管所得宇宙學(xué)解(23),(24)并不適用于宇宙目前時(shí)期,但作為粗略估計(jì),不妨形式地代入目前值注意到減速參數(shù)目前值q?！?,哈勃參數(shù)目前值H,≈(4.11×107秒)1,則有R?！諬。及8πGρ。/3≈2H1.(22)可給出R≈8丌R≈-2H,連同電子質(zhì)量m≈9.11×10-2g代入(25)式得m=m(1±1.5×10-3)又一次看到結(jié)果的合理性5結(jié)論按照 Wesson-Liu的誘生物質(zhì)思想,本文在建立共形不變的五維 Klein- Gordon方程的基礎(chǔ)上建立了共形不變的五維 Dirac方程.由于描述 Dirac粒子的波函數(shù)是多分量的矩陣形式,所以 Dirac方程的建立原則上不是 Klein-Gordon方程建立方案的簡(jiǎn)單模仿.我們首先對(duì)五維平直空間的情況把附加維動(dòng)量算符認(rèn)同于靜質(zhì)量算符,通過(guò)解動(dòng)量的本征值問(wèn)題使無(wú)質(zhì)量項(xiàng)的五維 Dirac方程約化到四維時(shí)獲得質(zhì)量項(xiàng),并通過(guò)找到五維 Dirac矩陣(5)γ和四維 Dirac中國(guó)煤化工16)把五維Drac方程推廣到彎曲空間,給出了誘生有效質(zhì)量的一般表達(dá)式CNMHG的具體例子,求得了相應(yīng)于四維封閉 Robertson-Walker宇宙模型的五維宇宙學(xué)畔,開(kāi)x該群考盤(pán)了誘生質(zhì)量結(jié)果令人滿意總之,按上述思路建立的 Dirac方程有如下一些值得追求的特點(diǎn):(1)符合誘生物質(zhì)的想法,這些想法曾是 Einstein的夢(mèng)想.(2)方程是共形不變的.(3)對(duì)五維理論給出了附加維動(dòng)量算符及其本征值的具體的物理數(shù)搪4)所得的誘生有效質(zhì)量一般與空時(shí)幾何有關(guān),而時(shí)空幾何又取決于宇宙物質(zhì)分布,故質(zhì)量取決于宇宙物質(zhì)分布,這正是Mach原理所主張的.(5)所得結(jié)果用典型的引力場(chǎng)進(jìn)行考查,其結(jié)果第4期馬光文等:基于誘生物質(zhì)想法的五維 Dirac方程45不與事實(shí)矛盾致謝作者感謝加拿大 Waterloo大學(xué)的 Wesson教授不斷寄贈(zèng)其論著及論文拷貝,感謝劉宏亞教授和吳又粼教授的有益討論參考文獻(xiàn)[1 Wesson P S. 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The normal Dirac equation is gained by reducing the generalization to fourdimension space. The rest mass of a particle in curve space vary with the space and time coordinatesa class of exact cosmological solution of the apparently empty 5D Kaluza-Klein field equations is derived. The conclusion is checked reasonable for theric gravity and the closecosmological model中國(guó)煤化工Key words: induced-matter theory Kaluza-KleiCNMHGer theory: Dirac equations